湖南省岳陽市第十五中學326班 李博亞
巧用奇函數的性質解數學題
湖南省岳陽市第十五中學326班 李博亞
函數是高中數學中的一個重要內容,也是難點之一。主要體現在函數思想的運用,而掌握函數的一個重要手段就是分析函數的性質。從函數的性質入手來求解數學問題,也是解決函數問題的非常適用的工具。而我們在解決函數問題時往往容易忽視的地方主要體現在:一是忽視從函數的本質特性入手,如定義域、對應法則、函數的單調性、奇偶性等。二是容易忽視分析題設所給式子的結構特征。因此,我們可以從奇函數的定義出發,證明出奇函數的性質,函數的性質是函數的靈魂。在解答一些類似很抽象的問題時,我們先從函數的性質入手,認識這個函數的本質特征,巧用其性質來解答,可以達到事半功倍的作用。
在我們的教材中奇函數是這樣定義的:設函數y=f(x)的定義域為D,如果對D內的任意一個x,都有x∈D,且-f(x)=f(-x),則這個函數叫做奇函數。其中的關鍵詞有“D內的任意一個x”、“都有”“-f(x)=f(-x)”。用數形結合的思想來理解奇函數的定義就是:奇函數的定義域關于原點對稱,其圖形關于原點成中心對稱圖形。從這個定義出發,我們很容易證明奇函數具有如下四個性質:
性質1 對定義在區間D上是單調遞增奇函數f(x),如果a,b∈D,

性質2 已知定義在區間D上的單調遞減奇函數f(x),如果a,b∈D,

性質3 已知在區間D上的單調奇函數f(x),如果a,b∈D,

性質4 如果奇函數f(x)是定義在D上的奇函數,且有最大值M,那么f(x)的最小值為-M,反之亦然。……