高三數學復習課上一次有益嘗試
——準確把握幾何概型的測度

江蘇省儀征市陳集中學 陳慶有 張順軍

高三數學復習課上一次有益嘗試
——準確把握幾何概型的測度

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高中數學概率論的幾何概型這一節內容，是新教材中新出現的內容，在高考中要求學生對幾何概型的含義有最基本的認識，并能解決相關的簡單問題。近三年高考中少有出現這部分內容，以至學生及部分教師對這部分內容有所忽視，但我卻認為解決幾何概型問題的過程是培養學生綜合素質的大好機會，閱讀能力，轉化能力，思辨能力都是必不可少的。

數學課堂是學習數學知識，啟迪數學智慧的主陣地、主渠道，學生數學知識的學習、技能的訓練、能力的培養乃至數學素質的全面提高，都要依賴于教師精心設計，組織與實施數學課堂教學，以下是我高三數學的一堂復習課的講解要點和心得，權當拋磚引玉之效。

一、放飛思維，明確試驗條件，準確選擇測度

幾何概型是一種特殊的隨機事件概率模型，是概率問題的幾何形式，是指隨機事件A的發生可以恰好視為取得區域D內的某個指定區域d上的點，這時事件A發生的概率與d的測度（長度、面積、體積等）成正比，與d的形狀和位置無關。那么，測度的選擇是解決此類問題的關鍵。

【課前熱身】

1.兩根相距為8m的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，求燈與兩端的距離都大于3m的概率。

2.在10000km2的海域中有40km2的大陸架儲藏著石油，假如在上述海域中任意一點鉆探，求鉆到油層面的概率。

3.用橡皮泥做成一個直徑為6cm的小球，假設橡皮泥中混入了一個很小的砂粒，求這個砂粒距離球心不小于1cm的概率。

4.在圓心角為90°的扇形AOB中，以圓心O為起點作射線OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率。

提問：1.以上各個問題以什么為測度？2.幾何概型的特征是什么？3.幾何概型的計算公式是什么？

【評注：這四個簡單的課前熱身，分別選取了長度、面積、體積、角度作為測度，學生對顯性的幾何概型較容易理解，輕易解決了上述問題，并歸納總結了幾何概型的特征、與古典概型的區別以及幾何概型的計算公式。這時，教師要相信自己的學生，把反思歸納工作留給學生，讓高三的學生養成良好的反思習慣，提高他們自我消化知識的能力。】

二、放手學生，緊抓特征，大膽編題、解題

【提升訓練方案】已知正方形ABCD與正方形內一點P。

步驟一：各小組分組討論，設計一道幾何概型題目（5分鐘）。步驟二：各小組推薦一名代表上黑板展示成果。步驟三：其他小組解答問題。步驟四：教師進行變式訓練。

第二小組：在正方形對角線AC上取一點P，求AP＜AB的概率。

變式（1）：過B在正方形內部任作一條射線BP，與線段AC交于點P，求AP＜AB的概率。

變式（2）：在正方形內部任意取一點P，求使AP＜AB的概率。

第三小組：在正方形內取一點P，求使∠APB為銳角的概率。

變式：在正方形內取一點P，求使∠APB為鈍角的概率。

第四小組：在正方形內取一點P，求使P到正方形各頂點的距離都大于AB的概率。

變式：在正方形內一點P，求使P到各邊距離都大于AB的概率。

【評注：學生在編題的過程中思維活躍，大膽嘗試，緊抓幾何概型的特征，設計了很好的題目。在解題過程中，培養學生轉化能力，準確選擇測度，強化了計算公式。教師在講解過程中適時變題，強化學生思辨能力。】

三、收放自然，教師引導，學生嘗試

【深化拓展】

已知正方形ABCD邊長為2，正方形內任意一點的選取是可能的，任選一點P，作PM⊥AB于點M，PN⊥AD于點N，矩形PMAN的面積為S。

（1）請建立適當的坐標系，設P（x，y），作出滿足S＜1的P點的區域，并寫出x，y滿足的條件。

（2）S＜1的概率大于0.5嗎？試通過計算說明。

【評注：本題延伸了上題的題干，不僅復習幾何概型，還復習了建坐標系、線性規劃、定積分等有關內容，但學生獨立思考較困難，需要教師適時點撥，作好鋪墊，讓學生充分開動腦筋，強化了學生各部分知識聯系與應用。】

本節課的設計，以一個有思維力度的問題，設計了一個突破難點的方案，強調了數學本質，注意適度形式化，注重提高學生數學思維能力，以加深學生對數學基本知識、基本方法的理解與把握，也激發了學生對數學的熱愛之情。放飛思維，放手學生，讓學生積極的情感掀起思維的波濤。