運用概率幫你做估計和計算收費

韓寶華

現實生活中，很多時候無法用普查來統計數據.這時，我們常常請概率這個好朋友來幫我們做估計，幫助我們進行決策.

例1 在一個不透明的布袋中，紅球、黑球、白球共有若干個，除顏色外，形狀、大小、質地等完全相同.小新從布袋中隨機摸出一球，記下顏色后放回布袋中，搖勻后再隨機摸出一球，記下顏色……如此大量摸球實驗后，小新發現其中摸出紅球的頻率穩定于20%，摸出黑球的頻率穩定于50%.對此實驗，他總結出下列結論：①若進行大量摸球實驗，摸出白球的頻率應穩定于30%；②若從布袋中任意摸出一個球，該球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的球是紅球.其中說法正確的是（ ）.

A.①②③ B.①② C.①③ D.②③

【解析】當實驗次數很大時，事件發生的頻率穩定于一個值，這時我們用頻率作為概率的估計值.

摸出紅球的頻率穩定于20%，則摸出紅球的概率是20%，同樣摸出黑球的概率是50%.因為每次要摸出一個球，這個球的顏色一定是紅球、黑球或白球中的一個，所以分別摸出紅球、白球、黑球的概率和為100%，則摸出白球的概率為100%-20%-50%=30%.所以①②正確.只有當實驗次數足夠大時，方可用頻率來估計概率，在有限次的實驗中，不能用頻率進行準確的計算，只能說可能有20次摸出的是紅球，而不是一定有20次，故③錯誤.

例2 為估計魚塘中魚的數量，先從魚塘中捕撈30條魚做上標記，然后放回魚塘.經過一段時間，待有標記的魚完全混合于魚群后，再從中多次捕撈，并計算得平均每200條魚中帶有標記的魚有5條.試估計該魚塘中魚的數量.

【解析】設該魚塘中有魚x條，由多次捕撈，并計算得平均每200條魚中帶有標記的魚有5條.可算得帶有標記的魚的頻率為[5200]=[140]，并把它作為捕到帶有標記魚的概率的估計值，則由P（捕到帶有標記的魚）=[30x]=[140]，得x=1200（條）.

例3 如果事件A發生的概率是[5100]，那么下列推斷，哪幾個是正確的？

（1）做100次這種試驗，事件A必發生5次；

（2）大量重復做這種試驗，事件A平均每100次發生5次；

（3）做100次這種試驗，事件A不可能發生6次.

【解析】因為事件A發生是隨機的，所以做100次這種試驗，事件A發生的次數不一定是5次，0次到100次都有可能.只有在大量重復地做這種試驗的基礎上，事件A平均每100次發生5次.所以（1）（3）錯誤，只有（2）正確.

例4 某航空公司的保險合同上有這樣一個條款：飛機一旦失事，將向每名乘客賠償人民幣50萬元，但保險公司需向每名乘客收取保險費20元.如果該航空公司航班平均每次約有120名乘客，那么在n次飛行中，平均來說，當飛機失事的概率不超過多少時，才能保證保險公司的收入不小于支出？

【解析】設飛機失事的概率為x，在n次飛行中，平均失事nx次，平均賠償120×50×nx萬元，n次飛行中共收取保險費120×20n元，因為要使得收入不小于支出，所以可列不等式120×500000×nx≤120×20n.