由勾股容方想到的

羅 偉 彭翕成 譚世鑫

（1.江蘇省徐州市第二十四中學 221000；2.華中師范大學國家數字化學習工程技術研究中心 430079；3.北京大學城市與環境學院 100871）

勾股容方源于《九章算術》第九卷《勾股》章第十五題；“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？答曰三步十七分步之九.術曰：并勾股為法，勾股相乘為實，實如法而一，得方一步.”

圖1

如圖1，直角三角形ABC中內接正方形DGCF.直角三角形勾AC=5，股BC=12，答案：以勾5步、股12步之和為分母（并勾股為法）；以勾5步股、12步之積為分子（勾股相乘為實）得勾中容方邊長.勾股容方意思就是由三角形勾、股長度可以求出如圖內接正方形的邊長.

勾股容方的一般表示方法

例1在圖1中，若AC=c，BC=d，設正方形DGCF的邊長是x，則.

解法1拼圖法

將題目中的圖形等積變形如圖2，

圖2

原來三角形的面積等于重新組合后梯形的面積，

解法2相似三角形

注邊長求出來，面積也可求，其余各三角形邊長、面積也迎刃而解.

勾股容方變式一（已知兩個小直角三角形兩條直角邊（勾、股分別減去正方形邊長所得的線段）的長，也能求出正方形的邊長.）

例2在圖3中，若AG=e，BF=f，求正方形的邊長.

圖3

解法1拼圖法

用兩個相同的直角三角形能拼成矩形，如圖4，

通過觀察可知S正方形DGCF=S矩形EDHI=ef，

所以正方形DGCF的邊長是.

圖4

解法2相似三角形

設正方形的邊長是x，

勾股容方變式二（已知兩個小直角三角形斜邊的長，也能求出正方形的邊長.）

例3如圖1，直角三角形ABC是由兩個小三角形和一個正方形拼成的.已知AD=b，DB=a，求正方形DGCF的邊長.

設正方形DGCF邊長為x，那么根據三角形相似，圖中各邊都能用a、b及x的代數式表示出來，即，，根據勾股定理有AC2+BC2=AB2，代入得（a+b）2解得