撥開迷霧 找準方向
——從高三復習課《圓錐曲線》一道例題的化簡方法談起

張躍紅

（南京師范大學附屬中學 210003）

在高三復習中，圓錐曲線部分的解答題是讓教師和學生都比較頭疼的.因為在測試中，它并不屬于真正的難題，本應該通過復習能取得不錯的成績.但事實上，教師勞心費力，收效卻甚微.學生一旦遇到綜合性題目，往往頭緒萬千，深陷其中，而不能自拔，最后無功而返.那么，如何才能讓學生盡快理清思路，從“迷霧”中走出？本文結合高三復習課中一道例題的化簡方法，談一些想法與同行交流.

1 一個例題

如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的離心率為，兩個頂點分別為A1（-2，0），A2（2，0）. 過點D（1，0）的直線l交橢圓于M，N兩點，直線A1M與A2N的交點為G.

圖1

（1）求橢圓的標準方程；

（2）求證：點G恒在一條定直線上.

本題的第（2）問是比較常見的問題，解決問題的關鍵在于如何處理直線與橢圓的交點.雖然圓錐曲線的解答題會涉及到各類型的問題，比如求值，最值與范圍，定點、定值等等，但歸根結底都會與直線和圓錐曲線的交點有關.而事實上，學生處理不好圓錐曲線問題往往就是因為不清楚是“設點”，“設直線”，還是“求點”？以至于“東想西想”列出來一堆式子，而面對它們又不知道要做些什么，理不清思路，最后只好作罷.

那么，面對這樣的問題，到底應該如何思考？

2 多種解法

2.1 直接求

方法1設直線A1M的方程為y=k1（x+2），直線A2N的方程為y=k2（x-2）.

消去y得

解得點M的坐標為

同理，可解得點N的坐標為

由M，D，N三點共線，

化簡得（k2-3k1）（4k1k2+1）=0.

由題設可知k1與k2同號，

所以k2=3k1.

解得交點G的坐標為

將k2=3k1代入點G的橫坐標，得

所以，點G恒在定直線x=4上.