三角函數全國課標Ⅰ卷試題分析及其備考教學策略

（福清市元洪高級中學，福建福州350300）

三角函數全國課標Ⅰ卷試題分析及其備考教學策略

劉細菊

（福清市元洪高級中學，福建福州350300）

三角函數作為高中數學的一個主干知識，是全國新課標I卷考查的重要內容，相關試題基礎性強，有“型”可尋，認真研讀這個章節(jié)的考綱內容，深入分析相關試題特點，引導學生整體掌握章節(jié)知識結構，合理歸納各類題型，重視思想方法的點撥，是高三備考復習教學的主要策略。

高中數學；三角函數；試題特點；題目類型

三角函數的周期性與奇偶性是現實數量與空間的一個重要模型，是中學數學學習中最重要的一種基本初等函數，它與代數、幾何聯(lián)系密切，是解決許多數學問題的有力工具，作為高中數學的一個主干知識，它也是全國新課標I卷考查學生基礎知識與基本技能掌握情況的重點內容之一。歷年來全國新課標I卷三角函數部分的試題重在考查基礎知識、基本能力、基本思想，許多試題來源于課本中的例題、習題的變形。因此，立足教材，認真研讀考綱內容，深入分析試題特點，引導學生整體掌握章節(jié)知識結構，合理歸納各類題型，把握思想方法，是高三備考復習教學的主要策略。

一、新課標全國I卷三角函數部分試題分析

2012-2016年新課標全國I卷三角函數部分的試題考點統(tǒng)計表

從上面的統(tǒng)計表不難看出，全國新課標I卷涉及三角函數與解三角形的考題所考查的主要內容是三角函數的基本概念、圖像性質、“和、差、倍”公式的運用以及正、余弦定理。進一步分析試題所考查的數學思想方法內容，可以發(fā)現其重點承載的是函數與方程的思想、數形結合的思想、轉化與化歸思想的考查任務，同時，這一部分的試題難度定位一般是中、低檔，題型比較穩(wěn)定。

1.考小題“基礎”凸顯

(1)對于三角函數的圖像和性質的小題，每年都考，其重點在于兩域（定義域、值域、最值）、四性（單調性、奇偶性、對稱性、周期性），以及用圖（用三角函數的圖像判斷其性質）；對于三角函數的圖像變換在近五年中都沒有涉及到，但還需掌握好它。定義的考查頻率不高，課標卷中，常將三角函數的定義與圖象結合起來考查。

(2)對于三角恒等變換的小題考查頻率高，其考查重點在于“化簡”與“求值”。常利用已知角和被求角之間的關系，結合題目條件進行變形解決問題，需要熟練掌握各個公式，以及它們之間的聯(lián)系，包括配湊思想、分類討論思想等。

(3)對于解三角形，每年都考，其考題的位置一般不是在填空題的最后一題，就是在解答題的第一題，其重點是利用兩定理解三角形，多以簡單三角形的背景出現，有時以實際生活問題的背景呈現（2009年第17題解三角形的應用題）。

2.考大題有“型”可尋

有關三角形解答題，不是每年必考（五年三考），多與數列交替出現，其考查重點是以簡單三角形為背景求三角形的邊或內角或三角形面積有關的問題，考查難度中等，但需要有深度的推理、計算能力。一般利用正弦定理、余弦定理、面積公式可以得以解決。近五年的三角解答題雖沒涉及到“以實際背景包裝的三角應用問題”，但在2009年的全國卷中第17題的位置出現過，因此這塊內容也應給予關注。

二、三角函數高三備考復習教學策略

認真研讀《考試大綱》并細致分析歷年全國新課標I卷真題，了解考綱中的內涵，熟悉考綱要求和全國卷試題特點，才能對復習教學進行合理定位，科學安排。

對三角函數基礎知識的復習要做到廣泛撒網，重點撈魚。對概念、公式、性質不能走過場，要花足夠的時間搞好主干知識的復習，應在“準確、系統(tǒng)、靈活”上下工夫，對知識要真正的理解和掌握并形成合理的知識網絡，狠抓基礎并重視思想方法的點撥，以不變應萬變。

1.精選例題，幫助選擇公式

三角函數這一主干板塊公式眾多，琳瑯滿目。一般校的學生基礎較為薄弱，面對眾多公式無從下手，如果能夠有針對地精選例題，幫助學生歸納什么情況選哪個公式，讓學生有“路”可套，這樣就能達到事半功倍的效果。

【例】（1）在△ABC中，已知b=10，c=56,C=60°，求角B；

（2）已知銳角△ABC的內角A,B,c的對邊分別為a,b,c,23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6則b=()

A．10B．9C．8D．5

這兩個題目都是已知兩邊及其中一邊的對角，第一題求角，第二題求邊，很多教輔書把這兩個題目歸結正弦定理題型。實際上這兩個題目第一題用正弦定理，第二題用余弦定理更簡單，因此在復習過程中要借助例題引導學生總結歸納：

（1）已知兩角一邊解三角形用正弦定理；

（2）兩邊及其中一邊的對角求角用正弦定理，求邊用余弦定理；

（3）已知兩邊夾角解三角形用余弦定理；

（4）已知三邊解三角形用余弦定理；

（5）使用三角形面積公式的規(guī)律：已知哪個角就選擇有那個角的面積公式；

（6）使用余弦定理的規(guī)律：已知哪個角就選擇有那個角的余弦公式。

這樣，學生在利用公式的時候，就可以從這里找到“套路”。

2.關注核心，重視思想方法

數學思想和方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，在全國新課標I卷當中三角函數部分重點承載的是函數與方程的思想、數形結合的思想、轉化與化歸思想，在備考過程中，必需關注數學思想方法的滲透，靈活地借助數學思想方法解題，就可以避免繁雜的運算，優(yōu)化解題思路，降低解題難度。

分析：本題考查同角三角函數關系式，可運用方程思想：（1）解出sinθ，cosθ的值；（2）可利用sinθ+cosθ,sinθ-cosθ,sinθ·cosθ,之間的關系，求出sinθ—cosθ,組成方程組進行求解。

評析：通過建立方程或方程組，并求出未知量的值，從而使問題得到解決，本題利用方程思想解題。

分析∶本題根據函數解析式，畫出圖象，可以直觀而簡明地得出答案，在有時間限制的高考中就能大大地節(jié)約時間，提高考試的效率。

評析：本題考查零點定理的應用，利用數形結合思想可以很快使問題得到解決。

分析：本題考查三角恒等變換中已知值求值，通過觀察已知角和被求角之間的關系，利用化歸轉化的思想使問題得到解決。

評析：考查角的配湊，利用化歸轉化思想方法可以使問題輕松得到解決。

3.把握熱點，幫助歸類

從這五年的試題分析可以看出，三角部分核心內容年年考，重點內容重點考，解三角形是高頻考點，每年都考，不是在填空題的最后一題就是大題第一題，題型主要歸納為以下幾類。

類型1.活用兩個定理（知三求一）

這類題目特點是：已知有三個邊角關系，求三角形中的其他元素。活用兩個定理可以一步到位。

【例】(2016全國II理13)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若cosA=，cosC=，a=1，則b=_____。

類型2．借助兩個定理邊角互化統(tǒng)一（已知等式關于邊或角的正弦齊次）

這種類型題目特點是∶已知關于邊或角的正弦齊次式，無法利用兩個定理一步到位，但利用正弦定理統(tǒng)一化為邊或統(tǒng)一化為角。

【例】（2016全國I理17）△ABC的內角A,B,C的對邊分別別為a,b,c已知2cosC(acosB+bcosA)=c，（I）求C；（II）若c=7,△ABC的面積為，求△ABC的周長。

類型3．借助兩個定理建立相關參數的方程或函數（求值列方程，求最值或范圍列函數關系式）

這種類型特點是：題目給出的條件不夠，需要我們去創(chuàng)造條件，引進參數列出方程求解或列出三角函數關系式，利用三角函數的有界性求最值或取值范圍。重在考查學生方程與函數思想。

【例】（2013新課標I理17）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=3，BC=1，P為△ABC內一點，∠BPC＝90°，

(1)若PB=12，求PA；

(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA。

類型4.解三角形在實際生活中的應用

三角函數模型的應用近幾年全國課標理科卷中出現頻率不高，但是2009年考過，所以也必須關注。這種題目就是把它的外衣脫掉，建立三角模型，將所給的條件轉化到一個三角形中去求解。

4.規(guī)范作答，力爭高分

在復習時，除了要抓好知識、題型、方法等方面的教學外，還應該提升學生的解題規(guī)范，常抓易失分的點。比如：已知值求角一定要說明角度范圍，單調區(qū)間有多個不能用“?”，求單調區(qū)間時“K?Z”不能丟等等。三角函數的得分一方面取決于對問題的理解、求解，另一方面取決于作答的規(guī)范、步驟等。因此要加強每天一題規(guī)范訓練，全面批改，落實訂正。

總之，三角函數是初等數學的重要內容，在數學和其他領域中具有重要作用。它是解決數學問題的重要工具。從這五年的全國高考課標卷來看，三角函數的題型始終保持穩(wěn)定，小題偏向考察三角函數性質和三角恒等變換的化簡求值，大題偏向考察解三角形，我們把握好這些特點，把它正確定位，廣大師生能從中尋覓、體會課標卷命題的“周期性”等規(guī)律，從而實現高效備考。

［1］傅殿松.高考數學三角函數復習專題分析［J］.中學教學參考，2016(2)．

［2］蔣科新.三角函數解題思想方法［J］.中學教學參考，2016 (11)．

（責任編輯：王欽敏）