一道錯題引發課堂精彩

楊梅

[摘 要] 由于疏忽，導學案上出現了一道錯誤的課堂練習題，課堂上，我們就用這道題發揮了它的探究價值，取得了意想不到的教學效果. 通過分析，我們認為這個教學片斷的精彩之處在于：觸動學生的興趣之弦，生本得以體現；打破練習的定式思維，本質得以凸顯；學生真正經歷，思維得以發展.

[關鍵詞] 錯題；分解因式；思維

背景介紹

在集體備課時，我們發現“9.5多項式的因式分解”（蘇科版義務教育教科書七年級下冊）的第三課時利用完全平方公式分解因式的一道課堂練習題發生了錯誤，題目內容本應是把多項式“a2-ab+b2”分解因式，而導學案卻把多項式寫成了“a2-ab+b2”. 顯然是由編寫導學案的人員疏忽所致，備課組老師提出，把這道錯題讓學生統一改過來（學生人手一本導學案）. 但筆者認為，這道題雖然是一道錯題，但如果能把它利用好，可能會有意想不到的教學效果. 于是，筆者就此上了一節研究課，并得到了聽課老師和同學們的一致好評.

片斷回放

例題講解之后，像往常一樣，學生開始課堂練習. 教師繞教室走了一圈，發現很多學生寫出a2-ab+b2=

a-b2，寫完之后便不假思索地繼續做下一題. 出乎教師的意料，“這一題好像有點不對”，一個很小的聲音傳過來. “哪里不對？”他用筆圈出了中間項，教師向他點頭說“有同學發現‘新大陸了！”一種被肯定的滿足感和自豪感洋溢在他的臉上. 陸陸續續，很多同學都發現了“新大陸”. “大家都發現了嗎？這個多項式不能利用完全平方公式進行因式分解，這是一道錯題. ”同學們開始嘰嘰喳喳起來，有的說“哎呀！真沒想到練習題竟然有錯題！”有的說“我一看有兩個帶平方的項，就不假思索地利用公式分解了，哪想到中間項不對啊. ”還有的同學說：“再用乘法公式回過頭來驗證一下就好了！”……每個同學都想把“中招”的事情說一說，課堂氛圍自由、熱烈.

師：面對這道錯題，我們應該怎么辦？

生：如果改編一下，就能用完全平方公式分解了.

興奮的孩子們誰也不甘落后.

學生1：因為積的2倍項的系數不符合要求，我就把ab變成了ab，這樣就有a2-ab+b2=

a-b2. （記為方法一）

“很好！”本以為還會有同學發表不同的見解，可是沒有人再舉起手，這讓教師立馬意識到生1代表了全班同學的想法，可能也是他們唯一的想法. 是啊，剛才就是因為積的2倍項不符合條件，所以大家考慮變化第二項的系數，這是很自然的，可是，這不是唯一的改編方法啊. 難道學生想不到其他方法了嗎？教師微笑著看著全班同學，期待著. 教室里很安靜，學生很詫異，“難道這樣不對嗎？”“哦！是不是還有其他的改編方法？”從學生的表情可以看出，他們經歷了這兩個階段的思考，好像柳暗花明了，舉手的人漸漸多了起來.

學生2：我改動了第三項，把第三項變成

教師說：“這個多項式，三項的系數我們都可以變一變，讓它能利用完全平方公式進行因式分解. 這三位同學做得非常好，你們都贊同他們的改編方法嗎？贊同的請舉手.”學生齊聲答“贊同”，并高高地舉起了手. “那這三位同學的因式分解都正確嗎？認為正確的請舉手. ”學生齊聲答“正確”，又一次高高地舉起了手. “看來黑板上這兩位同學的步驟和答案得到了全班同學的充分肯定. ”學生齊聲“嗯”，然后不約而同地笑了起來. 學生以為可以完美地“收工”了，個個臉上洋溢著成就感和滿足感！

教師又一次微笑著轉過頭去看看黑板上的解答，再看看全班同學. 轟轟烈烈之后突然安靜得連一根針掉落的聲音都聽得見，剛剛“中招”的學生非常“警惕”，開始陷入思考中.

學生4：我發現了，方法一和方法二分解后都不能再分解了，但方法三分解完后，還有公因式.

a-b2中還有公因式. 為什么會出現分解不徹底的問題呢？

學生思考了很長時間.

學生6：其實，改編了之后，這個多項式有公因式，如果先提取這個多項式的公因式，就好了，省得分解完之后還有后顧之憂. a2-ab+b2=·（a2-2ab+b2 ）=（a-b ）2.

師：（激情）非常棒！他仔細觀察了這個多項式的特點，發現有公因式，然后提取，再利用公式進行分解，避免了剛才分解不徹底的現象，而且分解時會“順暢”很多. 這道題，我們歷盡千辛萬苦，終于可以松一口氣了，不妨讓我們再來回顧一下這道題的解決過程，談談自己的收獲與感受！

學生7：在分解因式時，我們一定要認真觀察多項式的特點，先看它的各項有沒有公因式，若有，應先提取公因式，再看能否使用公式分解，這兩個步驟不能顛倒. 還有，分解完之后，回頭再看看，還能不能繼續分解.

學生8：以后，我們在用公式時，不能硬套用公式，要看清楚能不能用公式，別一看形式像，就想當然地套用了.

學生9：練習題也會出現錯誤，下次要多留個神.

學生10：沒想到一個錯題這么有意思！

分析與感悟

1. 觸動學生的興趣之弦，生本得以體現

《義務教育數學課程標準（2011版）》指出，數學教學活動，特別是課堂教學應激發學生的興趣，調動學生的積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維. 本節課是運用公式法分解因式的第二課時，第一課時是運用平方差公式分解因式，這一課時是運用完全平方公式進行因式分解. 根據第一課時探索與學習所積累的經驗，學生容易掌握用完全平方公式分解因式的方法，但對二次三項式的特點不容易把握清楚. 由于這兩課時都是基于規則的教學，尤其是第二課時，學生和教師都覺得有些枯燥無味，平實無趣. 一個看似很平常的練習題，做完之后，題目是錯誤的，無法分解，需要改編才能分解，這對學生來說很新奇，也是一個挑戰. 等到三位同學改編并分解因式之后，學生本來以為這一道題可以完美地畫上句號了，沒想到竟然改編第一項后竟然還能繼續分解，學生的探索欲望再度被激起. 一個接一個的新問題刺激著學生內部的需要動機，并在問題的探索、發現、釋疑、解疑中獲得滿足.

此題本來是一個錯題，不經意間讓很多學生“中招”，讓學生很有新鮮感，好像磁鐵一樣緊緊吸引著學生的心，使他們一直處于最佳的精神狀態，一會兒生疑，一會兒生趣. 學生在跌宕起伏的環節中，不僅領會了知識的意蘊，更享受了探索的樂趣. 整個過程，學生的主體性得以體現，個性得以張揚.

2. 打破練習的思維定式，本質得以凸顯

課堂練習是學生掌握知識、形成技能、發展智力的基本途徑，是課堂教學的重要環節. 本節課的課堂練習有兩道題，第一題是判斷給出的多項式能否分解因式，主要意圖是讓學生明晰能用完全平方公式分解因式的多項式的特點，第二題是把給出的多項式分解因式，主要意圖是讓學生運用公式分解因式. 這道錯題是第二題的第（3）小題，從學生答題的情況來看，第一題和第二題（前兩題）的正確率都很高，對于這道錯題，學生也像前面題目的處理方法一樣，很快得出了答案，即a2-ab+b2=

a-b2，而且很多同學都得出了這樣的答案. 為什么會這樣呢？因為學生已有一種定式思維，本節課的主要內容是利用完全平方公式分解因式，所以課堂練習肯定是利用這個公式分解因式，一看到是一個二次三項式，而且首、尾兩項都是帶有平方的項，就想當然地利用它來分解，根本不考慮積的2倍項是否符合條件. 也就是說，學生在練習時根本沒有過多思維的參與，而只停留在模仿或套用公式上. 定式思維作為一種特殊的心理準備狀態，在條件相似的情況下，可以簡化思維程序，有利于迅速解決問題，但當環境發生了變化，它將成為一種僵化的思維模式而影響問題的解決. 在課堂練習中，這種定式思維常常出現，使得當堂課的練習正確率很高，但過一段時間之后，學生卻常常出現“會而不對”的現象，或者當多個知識點綜合時，學生就會迷失方向.

這道錯題的出現，于不經意間打破了學生課堂練習的定式思維，暴露了他們思維的漏洞. 這讓學生意識到，對于數學知識的學習，在一定程度上可以靠模仿和記憶，但不能完全依靠，必須要有自己的思考和理性分析，否則一遇到新的問題就會原形畢露. 這也讓我們意識到，正確可能只是一種模仿，而錯誤卻是問題的自然呈現.

3. 學生真正經歷，思維得以發展

根據本節課的教學設計，先給出一些二次三項式讓學生判斷哪些可以運用完全平方公式分解，從而總結出能用完全平方公式分解因式的特點，再進行例題教學，最后進行課堂練習與小結，整節課平實自然. 這道錯題的出現，讓學生在課堂臨近結尾時真正經歷了發現問題、分析問題與解決問題的思維過程. 因“中招”發現錯題、改編錯題，再將改編后的多項式分解因式后，可三種改編方法中有一種方法用公式分解后竟然還能分解，探索還需繼續，原來分解后的多項式

a-b2還有公因式可以提取，這對學生來說是一個難點，也是第一次遇到. 答案修正之后，“為什么會出現分解不徹底的問題呢？”教師的一句點撥，孩子們又重新審視改編后的多項式，最后發現多項式a2-ab+b2中有公因式，把這個公因式提取后，分解因式一下子“順暢”了很多.

反思是數學活動的核心和動力，是發展思維的重要環節. 在這個過程中，學生在不斷的反思中體驗、理解和建構知識，不僅掌握了本節課的核心內容，自主建構了因式分解的步驟和方法（這是下一課時的一個知識目標），還感受到了反思的價值. 更重要的是，從發現錯題到完美解決，整個過程都是學生在觀察、思考、嘗試、質疑，分析、概括和反思，這種親身經歷，讓學生思維的縝密性、批判性、創造性和深刻性得以逐步提升. 華東師范大學李士锜教授曾經說過，數學學習應看作是一個過程，而不只是一個結果. 數學學習、數學思維就是一個反復嘗試、探究的過程，是一個不斷修正、改進、完善的過程. 教學只展示正確的過程是不夠的，也應讓學生參與曲折的學習過程，通過不斷的反思、總結、交流，才能讓學生有所思、有所悟.

結語

身在教學一線，我們知道，每到因式分解這一階段的學習，學生總感覺難度很大，雖然經過反復講解，反復訓練，但收效都不是很好. 本節課，發揮一道錯題的探究價值，讓學生經歷了因式分解的方法和步驟，使得學生的錯誤率明顯降低，尤其是分解不徹底的現象幾乎沒有了，這讓筆者有些欣喜和意外. 我想，這也許就是這道錯題所發揮的作用吧！

整章結束之后，還有同學向我談起“錯題事件”：“老師，我學會了反思！”“老師，那道錯題真好玩！”是啊，反思讓我們深刻，“好玩”是學習數學持久的動力. 其實，在課堂教學中，有很多的素材都可以發揮它的價值，有很多方法都可以讓學生感受到“數學好玩”，比如過程方法的優美、思路的簡潔、視角的獨特，不同方法的殊途同歸，問題結果的出乎意料，等等，還有，制造“錯題事件”. 只要我們對數學教學充滿激情，學生會永遠覺得“數學好玩”！