淺談概率學(xué)習(xí)中的問題成因與解決策略

于良

[摘 要] 概率問題作為中考的常見題型之一，看似容易，實則蘊含深遠. 學(xué)生由于缺乏對這一問題的數(shù)學(xué)史方面的知識滲透，難免對此類問題有許多把握不到位的地方. 本文以概率學(xué)習(xí)中的常見問題為抓手，細致分析了這些問題的成因，找出了解決這些問題的常見對策.

[關(guān)鍵詞] 概率學(xué)習(xí)；問題成因；解決對策

概率是中考必考的知識點之一，在現(xiàn)在的中考中已經(jīng)顯得越來越重要了. 從近幾年各地的中考試卷來看，概率的考試題目類型大致可分為三類：（1）利用頻率值估計概率；（2）利用面積計算概率；（3）利用畫樹狀圖或列表法解決生活類實際應(yīng)用問題. 這些常見的考題中間往往隱藏著一些典型的錯誤，教師需要借助這些錯誤，分析錯誤，糾正錯誤，讓學(xué)生得到真正的提高. 學(xué)生在初涉概率知識時往往不會覺得很困難，可一旦遇到具體問題，卻時常出錯. 下面筆者就根據(jù)多年來的教學(xué)實際，對這些錯誤原因進行歸類和總結(jié)，并找出解決這一類錯誤的有效方法.

對機會的等可能性理解不夠?qū)?/p>

致錯誤

問題1 甲、乙、丙、丁四人參加某校教師招聘考試，試后甲、乙兩人去詢問成績. 評委對甲說：“恭喜你，你不是最差的，丙是最差的. ”對乙說：“四人的成績均不相同，但可惜你未能獲得第一名. ”請你根據(jù)回答的內(nèi)容進行分析，這四人的名次排列共有______種不同的可能情況.

錯解 不知如何作答，瞎猜一個作為標(biāo)準答案.

正解 根據(jù)評委的話，可以將整個事件看成兩個部分組成：①應(yīng)聘者；②考試名次，將條件整理成表格形式.

由表格可知：甲的名次可能是①或②或③，乙的名次可能是②或③，丁的名次可能是①或②或③，丙為第④名，而其余三人只能是①②③中一個名次，所以所有等可能的結(jié)果為甲①乙②丙④丁③；甲③乙②丙④?、伲患注谝尧郾芏、?；甲①乙③丙④?、? 以下列舉一些學(xué)生常見的錯誤：（1）根據(jù)題目提供的條件多而亂，感覺無從下手，便不會處理；（2）能夠確定丙的名次，但如何確定甲、乙、丁的名次沒有頭緒；（3）甲有3種情況，乙有2種情況，丁有3種情況，所以總共有3×2×3=18種情況；（4）漏掉考慮甲③乙②丙④丁①和甲②乙③丙④?、龠@兩種情況.

歸因與剖析 在確定等可能結(jié)果時，首先要弄清楚本題關(guān)注的是什么結(jié)果，其次結(jié)果由誰決定，接著把有關(guān)的可能情況分析清楚. 以上題為例，要求名次所有的情況，其次由于丙為第④名，所以名次只與甲、乙、丁有關(guān)，接著由題可知甲可能為①②③，乙可能為②③，丁可能為①②③，而三人只能得一個名次而不重復(fù)，便可得出答案.

對問題中有無放回的理解出現(xiàn) 錯誤

問題2 已知紅色和藍色在一起可配成紫色，現(xiàn)有三種顏色，即紅色、白色和藍色，從中任意取出兩種顏色來配紫色，問：能配出紫色的概率有多大？

錯解 畫樹狀圖：

所有等可能的結(jié)果共有9種，其中配出紫色的結(jié)果有2種，P（配出紫色）=.

正解 畫樹狀圖：

所有等可能的結(jié)果共有6種，其中配出紫色的結(jié)果有2種，

P（配出紫色）==.

錯誤剖析 沒有考慮到：在紅、白、藍三種顏色中，任意取出兩種顏色時，不能同時取出兩種相同的顏色.

歸因與剖析 對于事件中進行兩次或兩次以上選取時，請學(xué)生根據(jù)實際情況分析和理解，切不可主觀臆斷和猜想，要做有依有據(jù)的判斷，并判斷是否有放回.

由于生活常識的缺乏導(dǎo)致等可 能結(jié)果錯誤

問題3 甲、乙兩隊進行乒乓球團體賽，比賽規(guī)則是：兩隊之間進行3局比賽，并且必須全部打完，至少贏2局的隊獲勝. 假如甲、乙兩隊之間每局比賽輸贏的機會相同，且甲隊已經(jīng)贏得了第1局，那么甲隊最終獲勝的概率是多少？

錯解 畫樹狀圖：

P（甲隊最終獲勝）=.

正解 畫樹狀圖：

P（甲隊最終獲勝）=.

歸因與剖析 比賽的結(jié)果有三種情況：勝、平、負，特別是題目中強調(diào)“甲、乙兩隊之間每局比賽輸贏的機會相同”. 乒乓球在一局比賽中，先得11分的一方為勝方，10平后，先多得2分的一方為勝方，所以乒乓球比賽的結(jié)果只有兩種情況：“勝”或“負”. 數(shù)學(xué)來源于生活，所以如乒乓球比賽的賽制這類生活常識，學(xué)生需了解.

由于對關(guān)注事件理解有誤導(dǎo)致

關(guān)注事件的結(jié)果數(shù)錯誤

問題4 在某小學(xué)“演講大賽”選拔賽初賽中，甲、乙、丙三位評委對小選手的綜合表現(xiàn)分別給出“待定”（用字母W表示）或“通過”（用字母P表示）的結(jié)論. 請用樹狀圖表示出對于小選手琪琪，只有甲、乙兩位評委給出相同結(jié)論的概率是多少？

錯解 畫樹狀圖：

其中只有甲、乙兩位評委給出相同結(jié)論的結(jié)果有4種，

P（只有甲、乙兩位評委給出相同結(jié)論）==.

正解 其中只有甲、乙兩位評委給出相同結(jié)論的結(jié)果有2種，

P（只有甲、乙兩位評委給出相同結(jié)論）==.

剖析與歸因 在看樹狀圖時只關(guān)注了甲、乙的結(jié)論是否一樣，并沒有考慮丙評委的結(jié)論與甲和乙的關(guān)系. 認真審題是解題的關(guān)鍵，忽略任意一個小的細節(jié)，都會帶來整個題目的理解錯誤，從而導(dǎo)致錯解.

由于數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法運用

不靈活導(dǎo)致與其他知識相結(jié)合

考查時出現(xiàn)錯誤

問題5 （1）甲、乙、丙、丁四人做傳球游戲：第一次由甲將球隨機傳給乙、丙、丁中的某一人，從第二次起，每一次都由持球者將球再隨機傳給其他三人中的某一人，求第二次傳球回到甲手里的概率是多少. （請用樹狀圖或列表等方式給出解析過程）

（2）如果甲跟另外n（n≥2）個人做（1）中同樣的游戲，那么第三次傳球后球回到甲手里的概率是______.

第（1）問比較容易，共有9種等可能的結(jié)果，符合條件的情況有3種， 概率為. 下面研究第（2）小問.

解法1 所有等可能的結(jié)果共有n3種，其中第三次傳球后球回到甲手里的結(jié)果有n（n-1）種，P（第三次傳球后球回到甲手里）==.

解法2 （畫圖解決）畫出n=2時，三次傳球后的樹狀圖，得P===；

畫出n=3時，三次傳球后的樹狀圖，得P===；

畫出n=4時，三次傳球后的樹狀圖，得P===，

所以通過表示可得出該題規(guī)律為P=.

歸因與剖析 從這個問題中，我們明顯可以得到兩點啟示：①第（2）小題在考查學(xué)生“化歸思想”，如果學(xué)生遇到一個題目有多個小題，且每個小題所求的結(jié)論類似時，可以嘗試用第1小題的處理方式來解決之后的小題，這也是“化歸思想”想考查學(xué)生的地方. ②遇到找規(guī)律的題目時，請注意處理方法：從n的最小值開始去研究題目要求的量，不要怕煩瑣，直到所代入的數(shù)能從結(jié)果中發(fā)現(xiàn)規(guī)律為止，只要將變化部分用字母代替，不變部分照抄就能得出規(guī)律.

歸納與反思

概率是中考命題的重點之一，經(jīng)常與統(tǒng)計、函數(shù)、幾何圖形等知識綜合在一起考查，我們需牢固掌握樹狀圖（列表）法，利用概率公式解決此類問題. 題目千變?nèi)f化，我們需養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣，善于總結(jié)歸納，力爭讓自己不斷提高. 從五類常見錯誤來看，閱讀和理解是第一步，只有正確地把握題目的含義，抓住階梯的關(guān)鍵因素，才能有效地避免出錯，而從學(xué)生的問題中，教師也能反思自身課堂的得失，找到最佳的教學(xué)方式，實現(xiàn)最好的課堂效果.