淺談任意角的三角函數的定義

丁南麗

1.角的有關概念

（1）從運動的角度看，角可分為正角、負角和零角。

（2）從終邊位置來看，角可分為象限角與軸線角。

（3）若β與α是終邊相同的角，則β用α表示為β=2kπ+α，kZ。

2.弧度與角度的互化

我們現在學習的是任意角，如何判斷角度以及對應三角函數的符號，我們引入了單位圓。

1.任意角的三角函數

（1）定義：設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x，y），那么sinα=y，cosα=x，tanα=（x≠0）。

（2） 幾何表示：三角函數線可以看作是三角函數的幾何表示.正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是（1，0）。如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線，余弦線和正切線。

1.角可以任意大，不受周角限制 2.角有正負之分，由旋轉方向決定 3.還有零角， 一條射線，沒有旋轉。要點闡釋 任意角的三要素：題型一 ：鐘表走了兩個半小時，，分針所轉的角度是多少？角的符號主要由旋轉方向決定角。題型二： 比較下面三個角的大小 根據角的符號判斷規律。誤區解密：下列四個命題中，正確的是（ ） A.第一象限的角必是銳角。（學生這方面犯錯比較多，初中主要學的是銳角，特別是特殊角。） B.銳角必是第一象限的角。C.終邊相同的角必相等。（從橫軸正方向開始，逆時針方向旋轉的角是正角，多轉一圈多360°。） D.第二象限的角必大于第一象限的角。錯解：D 錯誤分析：在象限角中，做題的時候往往容易忽略 任意角的存在。正解：B。銳角必是第一象限的角 糾錯心得： 對于任意角的概念理解非常重要，尤其是角的旋轉方向。初中對于角的認識只限于0 ° ——360°，在剛接觸任意角時容易忽略任意角的方向，任意角的旋轉方向是有始邊到終邊決定的。注意： 任意角是有方向的，角的正負由旋轉方向決定 任意角的大小事沒有限制的，角可以任意大小，絕對值大小由旋轉次數及終邊位置決定 描述任意角時需要注意三個要素，尤其是旋轉方向。（旋轉中心、旋轉方向和旋轉量。）

借助單位圓理解任意角的三角函數的定義。根據三角函數的定義，能夠判斷三角函數值的符號。通過學生積極參與知識的“發現”與“形成”的過程，培養合情猜測的能力，從中感悟數學概念的嚴謹性與科學性。單位圓對于學生理解任意角三角函數的正負有極大的幫助。當一個角出現時，我們首先判斷它的象限，利用單位圓的知識很方便。現實世界中的許多運動變化都有循環往復、周而復始的現象，這種變化規律稱為周期性。如何用數學的方法來刻畫這種變化？我們要來學習刻畫這種規律的數學模型之一 ——三角函數。

三角函數是與角有關的函數，在學習任意角概念時，我們知道在直角坐標系中研究角，可以給學習帶來許多方便，比如我們可以根據角終邊的位置把它們進行歸類，現在大家考慮：若在直角坐標系中來研究銳角，則銳角三角函數又可怎樣定義呢？

學生情況估計：學生可能會提出兩種定義的方式，一種定義為邊之比，另一種定義在比值中引入了終邊上的一點P的坐標。

問題：1.銳角三角函數能否表示成第二種比值方式？

2.點P能否取在終邊上的其它位置？為什么？

3.點P在哪個位置，比值會更簡潔？符號決定于什么？橫軸和縱軸決定什么？（引出單位圓的定義）。指出sina=MP的函數依舊表示一個比值，不過其分母為1而已。

三角函數首先是函數。你能從函數觀點解析三角函數嗎？（定義域）

對于確定的角a，上面三個函數值都是唯一確定的，所以，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數值的函數，我們將它們統稱為三角函數。由于角的集合和實數集之間可以建立一一對應的關系，三角函數可以看成是自變量為實數的函數。

新教材的教學理念之一是讓學生去體驗新知識的發生過程，首先，角的概念推廣了，那么銳角三角函數的定義是否也該推廣到任意角的三角函數的定義呢？通過這個問題，讓學生體會到新知識的發生是可能的，自然的。

其次，到底應該怎樣去合理定義任意角的三角函數呢？讓學生提出自己的想法，同時讓學生去辨證這個想法是否是科學的？因為一個概念是嚴謹的，科學的，不能隨心所欲地編造，必須去論證它的合理性，至少這種概念不能和銳角三角函數的定義有所沖突。在這個過程中，讓學生去體驗一個新的數學概念可能是如何形成，在形成的過程中可以從哪些角度加以科學的辯思。這樣也有助于學生對任意角三角函數概念的理解。理解了單位圓的概念，我們判斷三角函數的符號及特殊角容易多了。

再次，讓學生充分體會在任意角三角函數定義的推廣中，是如何將直角三角形這個“形”的問題，轉換到直角坐標系下點的坐標這個“數”的過程的。培養數形結合的思想。我們引導學生從以前的銳角和鈍角的知識擴充到任意角，依靠單位圓和特殊角的三角函數求解任意角。學生在自己的腦子里應該有單位圓的圖形，把角化成0°——360°的范圍后，就可以用單位用的知識判斷角的符號。剛判斷是容易忽略角的方向，我們規定逆時針方向為正角，順時針方向為負角，把四個象限的角分正角和負角找出范圍，就可以判斷角的象限。學生理解了任意角對于三角函數非常重要。計算三角函數的值方便快捷、準確。