函數中不等式恒成立、能成立問題的七種類型及解題策略

秦傳明+楊子林

摘 要：高三數學復習的核心任務是讓學生構建知識、方法體系，其中，解決函數中不等式恒成立、能成立問題是關鍵的一環。作為數學教師，應靈活轉化，構造合理的函數，利用函數思想幫助學生解決函數中不等式恒成立、能成立問題。

關鍵詞：函數;解題;策略

中圖分類號：G63 ? ? 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1673-9132（2017）05-0221-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.05.139

高三復習中，函數中不等式恒成立、能成立問題是難點。在實踐中，我們發現函數、方程、不等式三者密不可分，若將方程、不等式的兩邊都看成函數，使方程問題、不等式問題轉化為函數問題，便能用函數思想解決含參數的不等式恒成立、能成立問題。比如，通過靈活轉化，構造合理的函數（由于等價轉化的方式不同，構造出的函數也不同，因此導致解題難度和解題長度也就不同）;避免分類討論，使用分離參數法（由于參數與變量是相對而言，因此該法也可稱為分離變量法）等。

下面就函數中不等式恒成立、能成立問題的七種類型及解題策略作以闡述，與大家共勉。

例1. ?，求f（x）≥g（x）在恒成立時a的取值范圍。

分析：對于任意，有f（x）>g（x）恒成立，

y=f（x）的圖像在y=g（x）圖像的上方，

F（X）=f（x）-g（x）>0在x∈[a，b]恒成立。

解：xinx-ax≥-x2-2在恒成立，即在恒成立，設，則令h'（x）>0，得 x>1或x<-2，所以h（x）在（0，1）上單調遞減，在（1， 上單調遞增，h（x）min=h（1）=3，所以a≤3。

例2.已知f（x）=xex，g（x）=-（x-2）2+a，若對于Vx1，x2∈R，都有f（x1）≥g（x2）恒成立，求實數a的取值范圍.

分析：對于，都有f（x1）≥g（x2）恒成立y=f（x）的圖像上任意點都比y=g（x）圖像的任意點高 f（x）min≥g（x）max。

解：，則f（x）在上單調遞減，在 上單調遞增，

則，， 所以。

例3.已知，對于，都有恒成立。求實數m的取值范圍。

分析：若任意的，恒成立

y=f（x）的圖像上任意兩點的縱坐標的差的絕對值小于等于m

。

解：f'（x）=x2-4x+3，令f'（x）>0，得x<1或x>3，

所以f（x）在上單調遞增，在[1，3]上單調遞減，在[3，]上單調遞增。

，所以，則 。

例4：已知，若，，有。求實數m的范圍。

分析：，對于，恒成立。只需中存在一個值比，中的值小即可，我們可做一形象的比喻：將看作甲班同學的成績，看做乙班同學的成績。題目可轉化為：甲班所有人的成績>乙班其中一個人的成績，則只需甲班的最低分（最低分都大于，則以上所有全成立）大于乙班的最低分（只需有比甲班最低分小的即可）。

解：，，，

。

于是，，

。

例5.已知，。若， ，有。求實數m的范圍。

分析：甲班所有人成績>乙班所有人的成績，只需甲min >乙max 。

解：，，

0>1-m，m>1。

例6.已知，若， 有。求實數m的范圍。

分析：甲班有一個人的成績>乙班所有人的成績，只需甲max>乙max，

，，

9>1-m，m>-8。

例7.已知，。若， ，有。求實數m的范圍。

分析：甲班有一個人的成績>乙班有一個人的成績，只需甲max>乙min，

解：，，

， 。

通過一題多解，學生可以從多角度、多途徑尋求解決問題的方法，開拓解題思路，增強思維的靈活性、變通性、創造性，從多種解法的對比中優選最佳解法。