高三二輪復習關注“五個梯度”
——記一節高三數學二輪復習課對二輪復習的思考

☉江蘇省海州高級中學 陶 飛

高三二輪復習關注“五個梯度”
——記一節高三數學二輪復習課對二輪復習的思考

☉江蘇省海州高級中學 陶 飛

高三二輪復習不再是簡單的做題講題，二輪復習課要體現教師的水平，要上出有“深度”的課.本節課從高三二輪課堂教學要貫徹基礎性、綜合性、發展性、探究性和創造性等五個梯度對課堂教學進行引領.

一、設計意圖

1.通過對課前基礎知識的設置體現二輪復習的基礎性，讓學生通過基礎知識練習掌握圓中基本概念、基本方法以及高考考查形式.

2.通過基礎知識4的逐步變化延展體現了二輪復習的發展性和探究性，由一個簡單的小題開始，逐步變換條件增加題目的復雜性與綜合性，讓學生在發展變化的過程中探究解決問題的方法，培養學生通過現象去尋找問題本質的能力，而不是通過“類型+方法”這種機械記憶的方法去解題.

3.例1的一系列變化體現了二輪復習的綜合與探究性，通過三種方法的解決讓學生充分體會到數學解題的兩個轉化方向——“數”與“形”，并通過連接高考與變式訓練的研究讓學生探究到三個問題“形”的本質就是圓.

4.例2的設置體現了二輪復習的創造性，前面問題的研究都是點在圓外，通過研究圓心到直線的距離得到的結論是：距離存在最小值，無最大值；角度存在最大值，無最小值.到了例2中變成了點在圓內，整個性質正好相反，讓學生體會條件略微變換可能產生截然不同的結果，創造出一個新的結果出來.

二、教學過程

前面幾個基礎題較為簡單，對過答案后學生課下通過小組自主學習解決存在的問題.

基礎知識4：過直線x+y-2=0上點P作圓O：x2+y2=1的兩條切線，切點分別為A，B，若∠APB=60°，則點P的坐標為_______.

［生1］課前在黑板上板演基礎題4的解題過程：

解：連接OA，OP，易知三角形OPA為直角三角形，設點P（x，2-x），由∠APO=30°，所以OP=2.

［師］：這個題目你是如何分析轉化的？

［生1］：根據相切構造Rt△APO，由∠APO=30°可知OP=2，進而可以求出點P（2，0）或P（0，2）.

［師］：很好，（追問）為什么想到這樣轉化？

［生1］：圓心是圓的重要構成，所以解決圓的問題一定要抓住圓心，就把條件轉化成了點P到圓心O的距離問題.

［師］：很好，道出了圓問題的實質.

變式1：如果讓點P動起來，當點P在直線x+y-2=0上運動時∠APO能等于60°嗎，請同學們思考？

［師］：∠APO的大小由誰決定呢，點P在變化時∠APO是如何變化的？

［師］：漂亮，把問題最終又轉化成到圓心的距離問題，抓住了問題的關鍵.

［師］：通過OP的變化，可以發現∠APO是如何變化的？

［生3］：當點P在圓外直線上變化時∠APO存在最大值，不存在最小值；∠APO的變化與OP的變化正好相反.

［師］：剛才只是P點在變，如果我們讓點A也在圓上運動呢，這時∠APO又是怎樣一種情況呢？

［師］：當點A在圓上變化時∠APO能等于60°嗎，為什么呢？

［生4］：當點A是切點時∠APO已經是最大了，點A向圓心方向運動時∠APO在變小，所以由上面的結論知在點A運動時∠APO不可能等于60°.

［師］：∠APO能等于30°嗎，請看變式2.

變式2：已知圓O：x2+y2=1，點P（x0，y0）在直線x+y-2=0上，圓O上是否存在一點A使得∠APO=30°？若存在，請求出點P橫坐標x0的取值范圍；若不存在，請說明理由.

［生5］：由變式1可知，當PA是圓的切線時∠APO取最大值，只要滿足∠APB≥30°即可；轉化成0

［師］：很好，請把這個方法再提煉一下.

［生5］：先轉化成極限相切情況，再轉化成OP長度問題.

［師］：轉化成相切是一個極限特殊位置問題，如果不取極限情況呢，當點A變化時，PA與圓是什么關系，又可以怎么思考呢？

（通過設問把學生從切線垂直問題引到弦的垂直上，兩類問題最終統一到利用直角三角形轉化到圓心的距離問題上來）

［生6］：可以過圓心O向PA作垂線，垂足為M，在直角三角形OPM中，由∠APO=30°可得

又0

［師］：你是如何想到這種方法的？

［生6］：圓上除了切線直角三角形外，我們還常常用到弦的特征三角形，所以當點A變化時，PA是圓的割線可以構成弦，我就想到了構造特征三角形求解，最終轉化成0

［師］：漂亮，通過點A的變化我們把切線與弦的問題最終都統一轉化成與圓心O有關的距離問題.

［師］：如果我們再進一步在圓上構造兩個動點呢，請看變式3.

變式3：已知圓O：x2+y2=1，點P（x0，y0）在直線x+y-2=0上，圓O上是否存在兩點A、B使得∠APB=60°？若存在，請求出點P橫坐標x0的取值范圍；若不存在，請說明理由.

（學生根據上述問題的求解思路很快把這個問題解決了）

小結思考：通過對基礎知識4問題串的設置，由淺入深、循循善誘讓學生體會到知識的生成發展過程，通過一題多變再到多題歸一，讓學生探究到了解決這類問題的核心思想就是轉化成到圓心的距離問題.并在解題中發現到一個結論：當點P在圓外直線上變化時，∠APO存在最大值，無最小值；OP存在最小值，無最大值；∠APO的變化與OP的變化正好相反.

例1 已知圓O的方程為x2+y2=1，若直線y=k（x-2）上存在一點P，過P作的圓的兩條切線切點為A、B，若∠APB=120°，求實數k的取值范圍.

（［生7］提前在黑板上板演了解題過程）

［師］：存在性問題除了轉化成極限情況考慮還有哪些方法？（有兩位學生主動站起來）

［生8］（主動站出來）：可以把存在問題轉化成函數與方程思想，設點P（x，k（x-2）），由OP=則（1+k2）x2-4k2x+4k2-要存在這樣的點P只要方程有解，所以，由Δ≥0，解得

點評：我們解決問題一般從“數”、“形”兩個方面入手，三位同學很好地利用了這兩個方向把較為復雜的存在性問題，化歸到容易上手的角度去解決，尤其是第三位同學在充分理解了圓的定義、直線與圓的位置關系等相關知識后，給大家提供了一個精彩的解法.圓的很多問題我們都可以轉化到“形”的角度去求解，這是它與圓錐曲線問題的一個不同之處.

［師］：在高考中我們也常考查這類問題.

鏈接高考：（2012年江蘇高考）在平面直角坐標系xOy中，圓的方程為x2+y2-8x+15=0，若直線y=kx-2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是________.

（學生利用例1掌握的方法很好地從“數”、“形”解決了這個問題）

［師］：剛才我們化“無形”為“有形”是抓住了圓的定義，我們是如何找到圓的呢？請同學們思考，并看變式.

變式：在平面直角坐標系xOy中，圓O的方程為x2+y2= 4，P為圓O上一點，若存在一個定圓M，過點P作圓M的兩條切線PA，PB切點分別為A、B，當點P在圓O上運動時，使得∠APB恒為120°，求圓M的方程.

［師］：要想確定圓的方程需要確定哪幾個量？

［生］：需要抓住圓心和半徑.

［師］：那么應該選取哪個方向作為突破口？

［生10］：只要確定圓心M的位置就能很快地解題.假設圓心M與圓心O不重合，我們先不去解題，先考慮這樣一個問題：在平面直角坐標系xOy中，圓O的方程為x2+y2=4，P為圓O上一點，點M為平面內不同于O的一個定點.大家能不能通過這個條件自己編個題目提出問題或者看到這個條件能不能聯想到曾經解決過什么問題.

很多同學在下面響應：求圓上點到點M距離的最大值和最小值.

［生10］：大家題目編完就發現了什么問題了？

［生］：你的假設不成立，所以圓心M與圓心O是重合的.

［生10］：得到圓心M與圓心O是重合的，那么問題我們就解決了，剩下的就是簡單的計算了.假設圓M的半徑為r，由當兩個圓心重合時即所以圓M：x2+y2=3.

［師］：太漂亮了，通過一個假設、一個設問在不知不覺中就把這個問題解決了.

小結思考：例1問題串的設置，是對基礎知識4的再發展，基礎知識4是把問題轉成“到圓心的距離”問題后圍繞距離來進行解題，例1問題把這個“到圓心的距離”再發展成圓把復雜的變化問題化歸到圓的定義，再從“形”入手使得抽象的問題圖形化，解決起來更加直觀、簡潔明了，在解題中也體現了上述的結論：當點P在圓外直線上變化時∠APO存在最大值，無最小值；OP存在最小值，無最大值；∠APO的變化與OP的變化正好相反.

［師］：上述題目都是點在圓外問題，當點在圓內時又會發生怎樣的變化，請看例2.

例2 在平面直角坐標系xOy中，已知點P（3，0）在圓C：x2+y2-2mx-4y+m2-28=0內，動直線AB過點P且交圓C于A，B兩點，若△ABC的面積的最大值為16，求實數m的取值范圍.

（［生11］板書）：圓C的標準方程為（x-m）2+（y-2）2= 32，由點P在圓內，得

由題意存在∠ACB=90°，此時圓心C到直線AB的距離d=4，

在學生講解思路前設置兩個問題：

問題1：直線變化時∠ACB是如何變化的，受誰影響？

問題2：∠ACB是否存在最值？如果存在請指出相應位置.

在學生充分思考、展示的基礎上，通過幾何畫板進一步揭示∠ACB的變化規律以及與CP的關系.

［師］：A的面積最大值能為16的關鍵是什么？又是如何轉化解題的？

［生11］：∠ACB能等于90°（也即圓心C到直線AB的距離能等于4），想到這一點后，原問題就轉化成|CP|≥4.

（直接用該生的方法可以求得∠ACB=90°是轉化的關鍵，若用S=d·當且僅當d=4時取等號，也可以得到）

［師］：很好，通過研究∠ACB的變化規律揭示了弦心距與CP的關系.

小結思考：例2是對前面研究的延伸和鞏固，思想方法是一脈相承的，都是轉化成到圓心的距離后，針對存在性進行化歸轉化求解.

在用幾何畫板把例2和前面題目的對比中學生發現了一個關鍵的不同點，當點在圓內時，角存在最小，無最大值；距離存在最大值無最小值.這體現了高三二輪復習的探究性和創造性——條件略作改變就得到一個截然相反的結論.

三、教學反思

本節課主要解決的問題是，把圓上切線、弦長、垂直等有關問題化歸到與圓心的距離上進行求解，化歸后和學生一起從“形”和“數”兩個方面進行解題.第一個問題串讓學生體會到圓上問題的核心是圓心，把條件轉化到圓心上就能很快解題，第二個問題串的設立是對第一個的發展與提升，把圓心的問題進一步轉化成圓的問題，透過圓從“形”的角度解決問題更簡潔明了，例2的設立一方面是對前面轉化方法的鞏固提升，另一方面讓學生體會到知識的創造性.

通過幾個問題串的設立和訓練，學生思維得到充分的鍛煉，認識到知識的發展性，在發展中探究，在發展中創造，擺脫高三教學機械的“類型+方法”這種桎梏學生思維的模式，讓學生透過顯現抓本質，從容應對靈活多變的高考.