高考立體幾何試題的特點分析

☉江蘇省海安縣立發中學 季小冬

高考立體幾何試題的特點分析

☉江蘇省海安縣立發中學 季小冬

立體幾何是高中數學的主干內容，在高考命題中常以一大一小兩種題型出現.小題通常考查空間平行或垂直關系的判定、簡單幾何體表面積或體積的求解、三視圖.大題通常考查空間平行或垂直關系的證明、空間角或空間距離問題的求解.下面就這些考題的命題視角舉例剖析.

一、以定理及其基本圖形為基礎

以空間位置關系中的平行和垂直為例，平行（垂直）關系主要包括線線平行（垂直）、線面平行（垂直）、面面平行（垂直）.應用中要把握每種關系應具備的條件以及三者之間的相互推導.

例1已知直線l、m，平面α，且m?α，那么“l∥m”是“l∥α”的（ ）.

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

解析：本題考查了線線平行與線面平行之間的關系，線與平面平行應具備的條件是已知線不在平面內，而且與已知面內的某條直線平行.

已知條件中m?α，且l∥m，但并沒有說明直線l不在平面α內，所以不能保證l∥α.

另外，l∥α，由線面平行的性質，經過l的平面且與α相交所得交線與l平行，但m不一定為交線，所以也不能得出l∥m.

故正確選項為D.

例2已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則（ ）.

A.α∥β，且l∥β

B.α⊥β，且l⊥β

C.α與β相交，且交線垂直于l

D.α與β相交，且交線平行于l

解析：因為m，n為異面直線且m⊥平面α，n⊥平面β，所以α與β相交.為了體現題目條件的線面關系，我們可構造空間圖形（如圖1）：

圖1

因為直線m⊥平面α，則m與α內的直線或與α平行的直線均垂直；

同理直線n⊥平面β，則n與β內的直線或與β平行的直線均垂直.

所以直線l可能為平面α與β的交線，也可能是與交線平行的直線.又l?α，l?β，

故正確選項為D.

評析：通過構造出空間圖形，將復雜的線、面關系直觀地體現出來.在各種關系的性質或判定中要準確把握它們所具備的條件及其相互推導關系.

二、以空間想象能力為依托

考試大綱中明確提出高考命題要體現對考生空間想象能力的考查，而立體幾何試題就肩負著這一重任.

例3（2016年全國卷Ⅰ）平面α過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A，平面α∥平面CB1D1，平面α∩平面ABCD=m，平面α∩平面ABB1A1=n，則m，n所成角的正弦值為（ ）.

解析：根據題目條件可構造出相應的正方體，但平面α并沒有在正方體中體現，如何構造出平面α是問題求解的關鍵.

如圖2所示，以A為頂點再補一個全等的正方體ADEF-A1D1E1F1，則易證EF1∥CB1，AE∥B1D1，則平面AEF1∥平面CB1D1，而平面AEF1過正方體的頂點A，故平面AEF1就是平面α，而平面AEF1∩平面ABCD=AE，平面AEF1∩平面ABB1A1=AF1，則m，n所成角就是直線AE和AF1所成的角即∠EAF1，而△AEF1為等邊三角形，因此故正確選項為A.

圖2

評析：對于沒有給出圖形的立體幾何體問題，準確構圖是問題求解的關鍵，能充分考查考生的空間想象能力.

三、以位置關系轉化為基本思維模式

解決立幾問題除了要熟練掌握立體幾何的基礎知識、要有一定的空間想象能力外，還要掌握重要的數學數學方法“轉化與化歸”，能把空間問題轉化為平面問題、把面面關系轉化為線面關系、把線面關系轉化為線線關系，以及通過等體積轉化法來求解相關問題.

例4 （2016年全國卷Ⅲ）如圖3，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點.

圖3

圖4

（1）證明MN∥平面PAB；

（2）求四面體N-BCM的體積.

解析：（1）證明：如圖4，取PB中點Q，連接AQ，NQ，因為N是PC中點，NQ∥BC，且NQ=2，BC，而且AM∥BC，所以QN∥AM且QN=AM，所以AQNM是平行四邊形，即MN∥AQ.

又因為MN?平面PAB，AQ?平面PAB，

所以MN∥平面PAB.

（2）由（1）知QN∥平面ABCD，所以VN-BCM=VQ-BCM=所以

評析：第（1）問欲證一條直線與一個平面平行，只要證明此直線與平面內某一條直線平行即可.通過利用三角形的中位線來構造輔助線不僅順利證明了第（1）問的結論，也為第（2）問等體積的轉化法的運用創造了有利條件，從而使問題得到圓滿解決.

四、以幾何法與向量法為手段

空間向量的引入使得在立體幾何的教學中出現了重視計算，消弱了空間想象力能力培養及推理教學的現象，致使考生推理證明、空間想象的能力有所下降，這就要求我們在教學中對高一必修階段立體幾何初步的定位要因學生情況而適當調整.

例5（2016年浙江卷）如圖5，在三棱臺ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.

（1）求證：EF⊥平面ACFD；

（2）求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

解析：（1）證明：如圖6，延長AD，BE，CF相交于一點K.因為平面BCFE⊥平面ABC且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，所以BF⊥AC.

又因為EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2，所以△BCK為等邊三角形，且F為CK的中點，則BF⊥CK，所以BF⊥平面ACFD.

（2）方法1（幾何法）：如圖6，過點F作FQ⊥AK，連接BQ.

圖6

因為BF⊥平面ACK，所以BF⊥AK，則AK⊥平面ΒQF，所以BQ⊥AK，所以∠ΒQF是二面角BAD-F的平面角.

方法2（向量法）：如圖7，取BC的中點O，則KO⊥BC，又平面BCFE⊥平面ABC，所以KO⊥平面ABC.以點O為原點，分別以射線OB，OK的方向為x，z軸的正方向，建立如圖7所示空間直角坐標系O-xyz.

圖7

設平面ACK的法向量為m=（x1，y1，z1），平面ABK的法向量為n=（x2，y2，z2）.

評析：無論求直線和平面所成的角，還是平面和平面所成的角，通常有幾何法和向量法.在幾何法中對于角的計算，一般是把所求角進行轉化，體現了化歸與轉化思想，主要是將空間角轉化為平面角.如求線面角，關鍵是找斜線在平面內的射影；而求二面角，應先找到兩個平面的交線，分別在兩個平面上向交線作垂線，則這兩條垂線的夾角就是所求的二面角的平面角.向量法則可建立坐標系，利用向量的運算將線面角轉化為直線的方向向量與面的法向量的夾角，對于二面角則轉化為兩個面的法向量的夾角求解.用向量法可避開找角的困難，但計算較繁，所以要注意準確計算.

總之，對于立體幾何的復習，要牢固相關的理論基礎，清楚命題視角，準確把握構造法、轉化法以及向量法，即可以不變應萬變實現對問題完美解答.