高中數學問題串教學模式的思考

☉江蘇省溧水高級中學 李寬珍

高中數學問題串教學模式的思考

☉江蘇省溧水高級中學 李寬珍

數學的發展過程實際上是一個不斷發現問題、分析問題和解決問題的過程.數學的研究是從問題開始的，同樣，數學的學習也是從問題開始的.數學教學過程實際上是引導學生發現問題、分析問題和解決問題的過程.因此，數學教學從本質來說是一個關于“問題”的教學.在教學過程中，我們可依據教學目標將教學內容設計成一系列問題，將這些問題排列成一個由淺入深、由易到難的問題串，以問題為導向，使學生通過對問題的思考和研究來實現教學目標，我們不妨把這一方法稱之為“問題串”教學法.

一、“問題串”教學法

（一）“問題串”教學法的含義

“問題串”教學法是指根據教學目標，精心設計一系列的有效問題，把教學內容以問題形式呈現，以問題為導向，引導和推動學生進行思考和研究，從而使學生獲得知識和能力的教學方式.問題串教學的中心任務是設計一個或一系列有效的問題，把教學過程組織成為“學生思考和研究問題”的過程.

“問題串”教學的基本特征是：學生的學習以問題為導向和起點；學生的學習過程是研究問題和解決問題；學生的交往是以問題為中心.在教學過程中，學生帶著問題去思考和研究，新的知識在問題的解決過程中得到理解和掌握，學生的各種能力在問題的解決過程中得到提高，學生的數學素養和素質在問題的解決過程中得到升華.

（二）“問題串”教學法的意義

1.有利于激發學生學習的積極性

“問題串”教學法，顧名思義是以問題為主導的教學，通過問題的解決促進學生主動思考，積極探究，從而激發學生學習的積極性，誘發學生的探究熱情，培養學生的學習興趣.特別是提出的一些富有趣味性、挑戰性的數學問題，可極大地激發學生學習的積極性.

2.有效地改變學生不良的學習方式

“問題串”教學法以問題為驅動，以學生活動為中心，在開放的學習環境中，學生自主的觀察、實踐、交流、研究，主動參與到“問題”的研究中，真正做到“獨立思考、自主探索、合作交流、閱讀自學”.變學生被動的接受式學習方式為主動學習方式.

3.符合學生的認知規律

建構主義認為，學習不是個體之間簡單的傳遞和轉移，而是學習者在自己已有的知識和經驗基礎上，通過新知識與原有知識經驗的內化、吸收，來補充和豐富自己的知識結構.要學生實現知識的主動建構，把學科內容形成“問題”是較好的方法，并讓學生去解決問題.在問題解決活動中，通過學生獨立思考、主動探究，深入地激活自己的原有經驗，使新、舊經驗間雙向的相互作用得以更充分、更有序地進行，這使得學習活動真正切入到學生的經驗世界當中，問題的解決為新、舊經驗的同化和順應提供了理想的平臺.

4.有效地培養學生的思維能力

思維能力是能力的核心.思維從問題開始，沒有問題就沒有數學思維，學生的思維活動是在解決問題的過程中展開的.美國數學家哈爾莫斯指出：“問題是數學的心臟”.蘇格拉底則說：“問題是接生婆，它能幫助新思維的誕生.”問題能激化認知矛盾，啟發學生思維.“問題串”教學法能有效地培養學生的思維能力.

5.有利于學生對知識的理解

從數學的發展過程來看，數學的發展是在不斷發現問題和解決問題的過程中進行的，數學知識和思想方法都是在解決問題中提煉出來的.“問題串”教學法使學生在解決問題中，探尋數學知識的形成和發展過程，探求數學的本質，使學生對知識的理解更加深刻.

6.使教學過程簡潔凝煉

“問題串”教學法，以問題為導向，使教學目標更加明確，任務更加具體，教學過程更加清晰，有利于學生抓住要旨，有利于教師駕馭課堂.

二、“問題串”教學法的基本教學模式

“問題串”教學法可以說是一種教學方法，也可以說是一種教學理念.教學形式可靈活多變，其教學模式可不拘一格，在教學中可根據教學的需要適當增加其他環節，如“回顧與反思”、“達標檢測”等.“問題串”教學法常常有下列兩種最基本的類型：

（一）“問題—研究”型

首先，由教師提出精心設計的問題串；然后，讓學生自主研究與思考；最后，進行師生之間的合作與交流.如此反復進行.一節課可能要經歷若干個“提出問題—自主研究—合作交流”的問題串教學環節.

案例1“等比數列的前n項和”的教學設計.（教材：蘇教版普通高中課程標準實驗教科書必修5）

教學過程：

活動一：創設情境，提出問題

課堂伊始，筆者講了關于國際象棋起源的故事（故事情節略），并設計如下問題串：

問題串一：情境性問題串，引出問題.

問題1：棋盤上有多少麥粒數？

問題2：每格所放的麥粒數可以視為什么數列？

問題3：能否將上述問題抽象出一般情況？

師：如何計算這個算式？（學生思考）

問題4：我們要求的實際上是什么樣的問題？我們是否可以找到一般的方法解決這一類問題？（點明課題）

設計意圖：通過一系列的問題將故事情節與數列的相關知識點聯系起來，從情境中看到數學問題.情境性“問題串”設計當然要體現情境性，一般來說要具備三個要素：①涉及未知領域，能啟動學生思維；②具有真實性，讓學生覺得親切、自然；③基于學生已有的知識水平.這樣的問題情境，能激發學生學習新知識的好奇心和求知欲，引發學生自主探究，讓學生在解決問題中頓悟，提高學習新知的能力.

活動二：學生活動，體驗數學

問題串二：方案性問題串，形成概念.

問題1：我們把問題一般化，即求Sn=a1+a2+a3+…+an，怎樣求等比數列前n項的和？

（學生思考、討論、交流）

問題2：我們在求解中，會遇到哪些障礙？

生（眾）：未知量太多了.

問題3：對，量太多，這里有a1，a2，a3…，an，共n個不同的量，那么，怎樣能讓這里的量少一點？類似的問題，我們之前有接觸過嗎？

生3：等差數列求和.

問題4：好，等差數列中，也有n項，我們是怎么處理的？

生4：倒序相加法，用a1，n，d表示.

師：我們利用倒序相加，實現消項，最后轉化為a1，n，d或者a1，an，d這三個基本量來表示.那么類比等差數列，等比數列是否也可以轉化為三個基本量？

生5：用a1，n，q，轉化為Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+ a1qn-1①.

師：我們還是遇到了問題，這里的項數太多，我們怎樣來消項？

（繼續引導）我們經常將已有的知識和方法當作探索新問題的基礎，回顧一下等差數列、等比數列的通項公式、等差數列前n項和公式的推導過程，有什么共同的本質特征？

生（眾）：消項，用首尾項或基本量表示.

（學生情緒高漲，思維目標明確：消項.）

問題5：很好！那我們應如何消項呢？利用的原理應該是什么？

師：好，我們能否圍繞著定義，目標是基本量的最簡形式，來實現等比數列求和的推導.請大家在白紙上探索進行推導，尋找不同的求和方法.

師：（3分鐘后）同桌之間互相交流分享下，有沒有不一樣的收獲？

生7：將Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1，整體乘以q，得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn②.

問題6：你是怎么想到乘以q的呢？

生7：根據等比數列的定義，a2=a1q，a3=a2q，…，an=an-1q，每一項乘以q，往后挪了一項，①、②兩式就出現很多相同的項，由①-②可得，（1-q）Sn=a1-a1qn，則Sn=

師：求解成功！下面用公式計算一下：S100=2+2+2+…+2（100個2相加）.

學生代入公式……發現分母為0！無意義！

問題7：是公式錯了嗎？（引導學生回顧公式推導過程，檢驗每一步的等價性）

生8：當1-q=0時，兩邊一定不能同除以1-q，此時只能代入最原始的公式，所以要進行討論.

問題8：此方法有幾個步驟？

問題9：我們成功地將等比數列前n項和轉化為基本量a1，n，q的最簡形式，但要注意分類討論.大家還有其他的推導方法嗎？

（學生探究、交流，教師巡視后，請一位學生板演）

問題10：此方法在轉化為基本量過程中，需要注意什么問題？

設計意圖：這一組問題串旨在引導學生站在一個高度展開對等比數列前n項和的探究，必須要求問題能貼近學生的“最近發展區”，使得學生的思維自然流淌.當學生推導出求和公式時，設計問題串，讓學生自己去發現公式使用的局限條件.問題1、2、3展示學生解決這個問題的困惑；問題4引導學生類比等差數列，提煉出求和的本質思想即為化簡；問題5則明確推導依據，并引發學生探討，進而進行合作交流；問題6、7讓學生展示其思維過程，通過自己的建構、糾錯來完善公式，進而更好地發掌握公式的本質，同時還要引導學生反思出現此問題的原因；問題9、10則培養學生的歸納、概括的能力，在獲取知識的同時也提高能力.

活動三：完善公式，建立數學

問題串三：方法性問題串，辨析概念.

問題1：完成下列判斷，看是否正確？

問題2：從中你能得到哪些啟示？在運用公式求和時要注意哪些問題？

問題3：什么時候用公式①？什么時候用公式②？

設計意圖：設置方法性問題串，讓學生在學完新知識后達到進一步鞏固練習的作用.

活動四：數學變式，運用數學

問題串四：變式性問題串，鞏固概念.

問題1：你能否運用公式解決國王賞麥故事中的問題？

例題在等比數列｛an｝中，完成下列表格：

題號 a1 q n an Sn（1） -4 1 2 10（2） 1 3 243（3） -2 -96 -63

問題2：與等差數列求和公式類似，有兩種形式，涉及幾個量？能幫我們解決什么問題？

設計意圖：進一步通過問題串的形式加強對所學知識的理解和建構.

活動五：回顧反思，理解數學

問題串五：反思性問題串，升華概念.

問題：通過這節課你學到了哪些新知識？掌握了哪些新方法？用新知識解決問題時要注意哪些？還有哪些困惑的地方？

（二）“問題—自學”型

首先，教師提出精心設計的問題；然后，讓學生自學與思考解決問題；最后進行師生之間的合作與交流.

案例2“數列的概念與簡單表示”的教學設計.（教材：蘇教版普通高中課程標準實驗教科書《數學》必修5第二章2.1）

教學過程：（1）提出問題.

學生自學課本P28～31，思考下列問題：

①什么叫數列？什么是數列的項？什么叫數列的首項？數列與數集有何區別？

②數列的一般形式是什么？

③什么叫數列的通項公式？an與｛an｝表示的意義是什么？

④數列按項數的多少來分可以分為幾種數列？按項的大小來分可分為幾種數列？

⑤如果把數列的通項公式看成一個函數解析式，那么其圖像有何特征？

⑥什么叫數列的遞推公式？你能進行簡單的描述嗎？

⑦完成課本P31的練習.

（2）學生自學.

學生帶著問題自學課本，并完成相應的練習.

（3）合作交流.

在學生自學的基礎上，由學生提出疑難問題，由其他學生進行解答，或由教師釋疑解惑.同時教師根據教學的重點和難點再提出相關問題讓學生思考，以此來檢查學生的自學效果，同時深化學生對知識的理解，教師通過反饋的信息予以必要的講解和回授.

（4）回顧反思.

為了使學生進一步理解所學的知識并形成知識系統，教學中可引導學生進行必要的歸納與反思.如本節課可進行如下歸納：

“問題串”教學法讓學生帶著問題進行學習，通過自主研究和合作交流，促進學生對知識的理解和保持，使學生的能力得到提高、智力得到發展、素質得到升華；同時學生還會收獲探究的樂趣、交流的快樂、成功的喜悅.

三、“問題串”教學法的幾點說明

（一）“問題串”教學法的基本過程

“問題串”教學是以問題驅動，使學生進行獨立思考和自主研究獲取知識和能力.根據建構主義學習理論，學生的學習過程應將自主研究與合作交流結合起來，通過自主研究使學生進行主動的知識建構，通過合作交流促進學生對知識的深刻理解、促進學生認知能力的發展.因此，“問題串”教學的基本過程是“提出問題—自主研究—合作交流”三個基本環節.一般來說，一節課可以由一個“問題串”教學單元或多個“問題串”教學環節構成.

（二）“問題串”的設計的基本原則

1.準確性原則

教師所提出的問題應依據課程標準，將教材中的知識以問題形式呈現.提出的問題必須符合教學目標中的要求，注意突出教材中的重點，使學生在解決問題的過程中實現教學目標.設計的問題要求通俗易懂，表達準確，言簡意賅.避免出現詞不達意，模棱兩可的表述.

2.“最近發展區”原則

“問題串”的設計必須從學生現有的知識水平和經驗出發，難度要適中，所提出的問題是學生經過努力可以解決的.運用前蘇聯著名的教育家和心理學家維果茨基的最近發展區理論，教師要了解學生的現實水平和潛在的發展水平，為學生創設最近發展區，為學生提供腳手架.對過難問題要設計合適的過渡問題，問題的設置注意由淺入深，分層推進，螺旋上升.

3.啟發性原則

所提出的問題應能激發學生思考，使學生通過對問題的研究，揭示問題的本質、領悟問題中所蘊含的數學思想方法.使學生在問題的研究中產生新的生成性問題.

1.中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.李志敏.課堂教學有效提問的方法與藝術［J］.中學數學研究（廣州），2011（12）.

3.李寬珍.主線·層次·延伸——由“等比數列的前n項和”的教學設計談問題串的設置［J］.中小學數學，2015（5）.