直覺、優化、升華
——由“點到直線距離公式的推導”引發的思考

☉江蘇省江陰市華西實驗學校 陳 艷

直覺、優化、升華
——由“點到直線距離公式的推導”引發的思考

☉江蘇省江陰市華西實驗學校 陳 艷

眾所周知，“點到直線的距離”這節課的重心是引導學生自主推導點到直線的距離公式.教材（人教A版）試圖通過“構造法”（構造直角三角形）讓學生經歷直線的距離公式的思維過程，深刻領會蘊含于其中的數學思想和方法，特別是在坐標法使用過程中滲透數形結合、化歸等數學思想.但實際教學中，教材提供的解決方案學生很難自然想到，這就很容易產生兩種教學“誤區”，一種是教師把教材奉為經典強行灌輸給學生，從而導致教學與學生認知水平脫節；另一種是回避教材的方案，采用自認為的“簡便方法”、“巧妙方法”，推導方法五花八門，讓人應接不暇.實際上，方法抉擇不僅要考慮方法的本身，還應考慮把新舊知識的聯系、學生的知識儲備、學生的接受能力等多方面的因素.只有這樣，公式推導過程方能自然和諧，才能被學生真正理解和掌握.

一、直覺：開啟最自然的學習過程

學生在嘗試解決復雜數學問題時，一般預先要考慮到幾種可能的思路，究竟先選擇哪個思路？放棄或暫時擱置哪個思路？單憑邏輯思維往往是解決不了的，這就需要運用直覺思維.所謂的數學直覺思維是以—定的知識經驗為基礎，通過對數學對象作總體觀察，在一瞬間頓悟到對象的某方面的本質，從而迅速做出估計判斷的一種思維.直覺思維可以幫助學生分析數學現象、猜想數學命題、頓悟解題思路、縮短思維過程、培育數學靈感等.因此，教師在教學中應立足于學生的直覺思維.

數學直覺體現在“點到直線距離公式的推導”就是“在沒有外部條件的干預下，學生會怎么思考這個問題？會首先采用什么方法？”最自然、最樸素的方法莫過于“求出垂足坐標，利用兩點間的距離公式直接推導”，但遺憾的是教材中的一句話“上述方法雖然思路十分自然，但具體運算需要一定的技巧”嚴重地打擊了學生繼續探究的勇氣，也為教師避開這一方法提供了借口，但事實真的如此嗎？

方法一：如圖1所示，已知點P（x0，y0），直線l：Ax+By+C=0（A2+ B2≠0），PQ⊥l，垂足為Q.

圖1

設直線PQ的方程為y-y0=（x-x）（A≠0），即Bx-Ay=Bx0- Ay0，設點Q（x1，y1）.

雖然上述運算過程相對煩瑣，但并沒有涉及比較深奧的運算技巧.實際上，學生的數學學習是不斷地嘗試、摸爬，積累經驗的過程.倘若跳過這一過程，直接拋給學生一個“簡單、快捷”的思路，那么這對學生數學思維的訓練來說的確是一個“遺憾”.

二、優化：在反思與改進中生成

雖然說數學直覺是對數學問題及其本質屬性的直接感悟，但它受限于學習者已有的認知水平；雖然它是學習者數學思維最“自然”的流露，但它所呈現出來的結果并非是最理想的狀態，有時甚至與教學預期背道而馳.因此，后續教學的重點應該是在學生直覺思維的基礎上，把已有的知識經驗加以改組，進而實現學生數學思維的優化.

方法一雖然自然，但此方法無法全面展示解析幾何思想方法的精髓，比如：數形結合、整體代換、設而不求等.因此，很有必要采用多種方法對“點到直線的距離公式”進行探究，從而讓學生在公式推導的過程中逐步體會解析幾何的基本思想方法.當然，這些方法應建在原有方法基礎上的改進與優化，而不能是毫無章法的“狂轟濫炸”.

思考：導致“方法一”煩瑣的原因是什么？

分析：垂足Q的坐標表示比較復雜，從而導致運算煩瑣.如果能夠避開求垂足Q的坐標，那么運算就會變的簡單.對于兩點間距離公式如果不直接求x1，y1，消元與換元也是常用的運算手段.于是，我們不妨思考如何把x1，y1兩個參數變成一個參數或者所學的知識中，哪個量或者式子包含了“（x1-x0）、（y1-y0）”？

方法二：利用

方法三：利用斜率換元.

1010

因為x1=At+x0，y1=Bt+y0，代入直線l的方程，得t=所以

方法四：構造=（x-x，y-y），n=（A，B）都是直線l的法向量，則

1010所以

上述方法“貴”在聯系緊密，體現出來的是后一種方法是對前一種方法的改進與優化，呈現出來的是由繁到簡、由淺及深的思維過程.雖然點到直線的距離公式的方法很多，但要明白好思路方法并不是教師強加給學生，而是通過在教師的引導下使學生“自然想到”，否則很容易演變為教師個人的“表演”.

三、升華：教師專業發展的契機

數學公式課教學的重點就更應突出公式的發現、探索和證明的過程，這一數學活動過程中蘊含著育人的價值，尤其是讓學生不斷探索、發現、思考、確定思路方案和具體的操作流程，不斷地采取驗證、完善，最后形成切實可行的點到直線的距離公式證明方法，數學公式的教學，是讓學生了解和經歷公式的探究過程成為思維提升、思維訓練的良好素材，增強每一位學生解決問題的信心、錘煉堅強的毅力和鍥而不舍的探究精神，充分發揮學生獨立自主的學習能力，有利于學生長遠的發展和成長.通過本課，教師可以從中提煉出一般公式課的教學策略.

1.注重知識的前后聯系

數學是一門邏輯性很強、前后知識聯系很緊密的學科，聯系舊知識、學習新知識是學習數學的重要方法.烏申斯基有句名言：“智慧不是別的，而是組織得很好的知識體系.”數學知識的教學不是不加組織地向學生傳授孤立的知識，教師要引導學生對知識間的聯系加以組織和提煉.鄭毓信教授也多次強調“數學教學不應求全，而要求聯”.對于數學公式定理的推導來說，關注知識的前后聯系，在已有的基礎上學習新知，可以降低思維的難度，從而使推導過程自然流暢.

2.注重學生的個人體驗

傳統的課堂教學模式中，教師在規定的時間內完成事先準備的內容，注重了知識的傳輸，對作為學習主體的學生關注不夠，因而教學效率不高，學習的效果也不好.適合學生的教學才是有效的教學，關注學生成為有效教學的前提.課前，要關注新舊知識的聯系，學生是否具備學習新知識的學習條件，是否具備了學習新知的“心向”；課上，要時刻關注學生的學習狀態，包括學習的反應、情緒等，對出現的問題及時處理，調整自己的教學；課后，也要關注學生的反饋，包括作業、學生問題等.教學過程中，只有對學生全程關注，才能有針對性地設計教學，才是高效的課堂，才會是高質量的教學.