POE策略在數(shù)學教學中的運用

☉江蘇省東臺中學 房 勝

POE策略在數(shù)學教學中的運用

☉江蘇省東臺中學 房 勝

數(shù)學是一門抽象程度較高的學科.高中數(shù)學中的很多概念已經(jīng)愈來愈形式化，比如學生難以真正理解的函數(shù)概念、平面向量基本定理、圓錐曲線第二定義等一系列概念型的知識，也難以消化一系列抽象性的數(shù)學問題，典型的如抽象函數(shù)的定義域等.這些知識對于學生而言，形式化程度稍高，但是又有利于中學生思維的發(fā)展，因此抽象的數(shù)學問題一直是教學的重點和難點，如何將抽象數(shù)學教學演繹得更通俗易懂成為教師思考的一個問題.

根據(jù)心理學認知理論來說，抽象的知識要理解、認知，首先離不開其具體的問題載體，也就是具體情境，這個情境可以是生活中的，也可以是具體的、經(jīng)過抽象的、但是存在具體形態(tài)的，只有具備這樣的情境才能有助于學生對抽象知識有雛形上的認知，有助于其理解、思考、解決抽象問題.

一、POE策略界定

著名教育家皮亞杰提出過重要的概念同化理論，即其認為知識是經(jīng)歷“認知平衡—認知沖突—重新平衡”這樣的階段，即同化和順應理論.1982年，波斯納等研究者在此基礎上提出了知識改變模式需要注重的幾個條件：其一是原有具體形態(tài)知識不適用新的抽象學習范疇，必需有新的發(fā)展；其二是在原有基礎提出的新的概念必需是可以理解的；其三是能解決現(xiàn)有問題并能形成體系.筆者認為，這些理論的發(fā)展其實說明了人類學習的過程，從感知學習—理性思考—抽象學習—形成體系.因此進一步的研究者創(chuàng)造了POE學習策略.

POE策略（Prediction-Observation-Explanation）是Gunstone和White正式提出的一種教學策略.其中文含義是“預測感知—觀察思考—解釋歸納”策略，這一策略偏重于學生的自我感知和理解，特別有助于抽象知識的學習，其通過學生的參與理解去感知抽象知識的形成過程，有助于抽象知識的理解和鞏固.

二、POE策略下的抽象數(shù)學教學

數(shù)學概念教學是比較抽象和形式化的，尤其高中數(shù)學概念比初中數(shù)學概念的抽象性又向前大大邁進了一大步.很多高中數(shù)學概念對于學生而言，其抽象化程度比較高，非常不利于學生的理解.這些知識的傳授，必須依賴具體的實際數(shù)學問題模型，進而思考問題的解決.

教學1：抽象函數(shù)定義域、函數(shù)性質(zhì)的理解

1.函數(shù)定義域

定義域是函數(shù)三要素中最重要的一條，學生對于具備具體解析式的函數(shù)模型并不懼怕，但是對于抽象函數(shù)的定義域理解卻相當薄弱.

案例1 函數(shù)y=f（x）的定義域為（1，2），求函數(shù)y= f（x+2）的定義域.

變式訓練 函數(shù)f（x+1）的定義域為（-∞，1］∪［2，+∞），求函數(shù)f（x-1）的定義域.

POE教學策略：（1）預測感知：可以自己假定一個具體的函數(shù)模型出發(fā)，從模型研究中去思考函數(shù)定義域的求解，進而發(fā)展到抽象函數(shù)為載體進行理解；（2）觀察思考：通過編制的具體函數(shù)模型求解到抽象的函數(shù)定義域求解的思考，發(fā)展抽象認知和思維；（3）解釋歸納：將這一問題的解決進行反思，進而得到抽象函數(shù)定義域求解過程的理解，類似的方式處理不同的抽象函數(shù)其余問題.考慮到案例1學生大都能解決，因此筆者從POE教學策略的指導出發(fā)，主要以具體感知輔以抽象函數(shù)的方法通過類比解決變式訓練：

函數(shù) 具體感知類比抽象再現(xiàn)f（x+1）定義域為（-∞，1］∪［2，+∞）令f（x+1）=（x-1）（x-2）■即f（x+1）中的x滿足x≤1orx≥2 f（x）定義域為（-∞，2］∪［3，+∞）則f（x）=（x-2）（x-3）■即f（x）中的x滿足x≤2orx≥3 f（x-1）定義域為（-∞，3］∪［4，+∞）則f（x-1）=（x-3）（x-4）■即f（x-1）中的x滿足x≤3orx≥4數(shù)學思想 解決抽象函數(shù)時，關注整體思想的運用，這里（x+1），x，（x-1）的范圍是一樣的

說明：通過具體編制的函數(shù)模型，學生能夠解決任意類似的抽象函數(shù)定義域，其最終明白的要素是：第一，定義域永遠指的是函數(shù)中的x的取值范圍，而不是x+1、x-1等；第二，整體思想的介入，能讓學生進一步理解對應法則f（*）中，*所代表的無論是x+1、x-1還是x，它們作為一個整體都是相同的范圍.這兩點的理解，是解決抽象函數(shù)定義域的關鍵.由此可見，POE策略從具體感知出發(fā)，結(jié)合抽象認知，最終歸納問題解決的結(jié)論，體現(xiàn)了其問題解決過程中步驟的合理性，也符合中學生心理認知結(jié)構(gòu)和問題處理從特殊到一般的方式.

2.函數(shù)性質(zhì)

函數(shù)有很多性質(zhì)，其落實到抽象為載體的函數(shù)中，學生對性質(zhì)就不能迅速的理解.教師教學中要使用合適的策略，使學生能從特殊的模型進而認知抽象的函數(shù)性質(zhì).我們知道，函數(shù)具備了軸對稱性和中心對稱性，以具體函數(shù)模型為例：f（x）=x2和g（x）=x顯然具備了上述性質(zhì)，將其轉(zhuǎn)換為抽象表述，即f（-x）=f（x）以及g（-x）=-g（x），學生對這一具有具體解析式的函數(shù)模型結(jié)合抽象性質(zhì)的理解還是比較到位的.將性質(zhì)的認識提高到抽象程度，并一般化：

（1）函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）=f（b-x），則函數(shù)y=f（x）的圖像關于____________對稱.

（2）函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）+f（a-x）=2b，則函數(shù)y= f（x）的圖像關于____________對稱.

函數(shù)性質(zhì) 具體感知類比抽象再現(xiàn)f（a+x）=f（b-x） 令f（x）=x2驗證 直線x=a+b 2對稱f（a+x）+f（a-x）=2b 令f（x）=x驗證 點（a，b）對稱

說明：通過函數(shù)具體模型，讓學生進一步通過具體模型驗證抽象表達式所表示性質(zhì)的正確性，通過這一具體感知進而認知抽象結(jié)論.對學生而言，如何在沒有具體模型的基礎上以后理解這一抽象性質(zhì)呢？筆者認為需要加強理解：以f（a+x）=f（b-x）為例，令x1=a+x，x2=b-x，則f（x1）=f（x2），對任意的x進行變換，我們可知自變量中點為不變量，而函數(shù)值（fx）=（fx），因此12隨著x進行變換，顯然（fx）永遠有對稱軸x）+f（a-x）=2b類似理解.從POE策略我們看出，對于問題的有效感知是前提，只有有有效的感知才能加強其抽象的理解，進而形成知識的鞏固，這一策略在抽象數(shù)學教學中起著較大的作用.

三、POE策略下的具體數(shù)學教學

POE也能在具體形態(tài)的數(shù)學知識中實施，筆者以線性規(guī)劃為例說明.

1.感知回顧

在學習了二元一次不等式（組）及其表示的區(qū)域……并且體會到在實際問題中的應用前景，感受到其重要性.首先一起回顧一下這些知識和方法：滿足二元一次不等式組的x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對（x，y），所有這樣的有序數(shù)對（x，y）構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式組的解集.回顧：其一，二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐標系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域；其二，二元一次不等式表示哪個平面區(qū)域的判斷方法.

2.觀察思考

思考：當z取不同值的時候，相對直線l0：2x+y=0而言，直線z=2x+y是向上平移了還是向下平移了？通過對z取特殊值，使學生對圖像的變化有深刻的感受，從而得到隨著z的值增大（或減?。?，直線l0會逐漸向上（或向下）平移；同樣，當直線l0向上（或向下）平移時，z的值也會隨著增大（或減小）.現(xiàn)在將上面的不等式組表示成平面上的區(qū)域，作直線l0：2x+y=0，然后作一組與直線l0平行的直線直線l：2x+y=t，t∈R.通過圖像可以看出，直線l越往右移，t隨之增大.從而得到zmax=2×5+2=12，zmin=2×1+1=3.

3.訓練歸納

歸納：知識線：（1）線性規(guī)劃的含義；（2）線性規(guī)劃相關概念：目標函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念.思想方法線：（1）建模思想方法；（2）等價轉(zhuǎn)化思想；（3）數(shù)形結(jié)合思想.

說明：本課是對于線性歸納基礎概念的講解，在一元二次不等式組基礎上的加深，學生通過回顧—新知—歸納這一策略（POE具體形態(tài)知識中的運用），了解掌握圖解法求解最優(yōu)解.POE策略具體實施中，筆者并未詳細講述，而是以學案式學生探求為主的模式，學生在學習過程中得到了一定的自主精神和成功喜悅，也感受了代數(shù)問題圖形化解決的數(shù)形結(jié)合思想的運用.通過POE策略充分調(diào)動學生的多種感官，達到教學要求，通過課堂練習大部分學生掌握了這一知識.

總之，POE策略正是通過預測暴露學生的前概念，通過感知認識使學生的認知發(fā)生沖突，通過辯解、討論、類比最終實現(xiàn)學生的知識的轉(zhuǎn)變.這符合學生的認知發(fā)展規(guī)律，與傳統(tǒng)的教學策略相比在教學效果上具有明顯的優(yōu)越性.

1.任英杰.促進小學生“迷思概念”轉(zhuǎn)變的POE策略及案例分析［J］.基礎教育研究，2008（2）.

2.顧江鴻，等.預測—觀察—解釋——一種基于現(xiàn)代教育研究的演示策略［J］.教育科學研究，2009（5）.

3.趙國敏.化學概念轉(zhuǎn)變教學中PEODE策略的探索和嘗試［J］.化學教學，2014（4）.