古典概型教學之淺見

方芳

摘要：本文從教學實踐中淺談古典概型的教學

關鍵詞：古典概型；教學

古典概型是高一《必修3》中的的重點內容，學生在初學時經常會出現這樣那樣的問題，那么我們老師在教學時應該有那些針對性的方法來幫助他們解決這些問題呢？筆者通過近期教學實踐、與同行探討以及查閱資料在此談談自己的淺見，不妥之處，敬請同行指正。

1.對教材的思考

高一數學《必修3》中的“古典概型”一節中，教材選擇了以下兩個例題：

例1.1 從字母a，b，c，d中任意取出兩個不同字母的試驗中，有哪些基本事件？

例1.2 某種飲料每箱裝6聽，如果其中有2聽不合格，問質檢人員從中隨機抽出2聽，檢測出不合格產品的概率有多大？

在例題1.1的教學中，學生很快算出有6個基本事件：

后來在例題1.2的教學中，筆者根據課本上的提示，告訴學生把每聽飲料編上號碼，合格的4聽分別記為1，2，3，4，不合格的2聽分別記為a，b，將每次取出的兩聽的編號組合成一組實數對（x，y），再次讓學生寫出所有的基本事件數，大多數學生也很快寫出了以下15種結果：

少部分學生很快想到是將每個結果中的前后兩數調換了位置，多數學生需要一定的時間考慮，但第二個問題------所得的概率與第一種方法是否相同------他們都可以很快回答出來；緊接著有學生問到：為什么要把每個結果中的兩個數調換位置作為另一種結果呢？取出（1，2）與（2，1）不是一樣的嗎？例1.1中不也是如此的嗎？

學生的問題引起了我的思考：個人感覺作為教材來說兩道相同類型的題目應該是用一樣的方法；否則，按照教材目前的編寫方式，學生在理解過程中容易出現偏差，教師在教學過程中也不好把握，我就這個問題和其他老師進行了一些交流，發現幾乎所有的老師都對這個問題提出了異議，覺得教材前后的方法以及體現出來的思想有些不一致。教材如此編寫的原因與目的何在？是因為在例1.1中a，b，c，d是四個不同的元素，而在例1.2中合格的4聽飲料或者不合格的2聽飲料相同嗎？顯然不是，因為將它們看作是一樣的話就沒有必要進行編號了；是為了讓學生了解同類問題的兩種不同解法嗎？似乎也并非如此，否則為什么在教材上沒有提及將兩個例題做個比較呢？

2.簡便方法適用嗎？

對于以上兩道例題的教學，用分步計數原理來解決。以例1.1為例，先考慮第一個抽出的字母，共有4種選擇，假如抽出a，再考慮第2個抽出的字母，有三種選擇b，c，d，所以在a確定的情況下有3個基本事件{a，b}，{a，c}，{a，d}，又因為第一個抽出的字母有四種選擇，每個字母都對應著三個基本事件，所以一共有4×3=12個基本事件，這種做法相當于運用了分步計數原理。筆者在教學時也采用了這種方法，有意思的是由于時間原因只在所任教的兩個班中的一個講解了該方法，但兩個班的作業情況卻大相徑庭，講解了該方法的班級的作業情況反而不如未講解該方法的班級。在當天的作業：

例2.1 在夏令營的7名成員中，有3名同學已去過北京。從這7名同學中任選2名同學，選出的這2名同學恰是已去過北京的概率是多少？

例2.2 A，B，C，D4名學生按任意次序站成一排，試求下列事件的概率：

（1）A站在邊上；（2）A和B都站在邊上；（3）A或B站在邊上；（4）A和B都不在邊上。

我在講解了分步計數原理的班級中要求學生對第1題用列舉法和分步計數原理兩種方法解決，而第2題讓他們自由選擇方法解決。從作業的完成情況來看，第1題學生都能兩種方法來解題，而且可以做對，但是在第2題的計算上學生們出現了分歧，一部分用了窮舉法，另一部分用了分步計算原理，用窮舉法的學生的準確率明顯高于用分步計數原理的學生，在使用分步計數原理的同學中出現了各種錯誤，班上一位數學成績較好的同學有如下做法：

設A站在邊上為事件E，則

而正確的做法是

事后我問他為什么在分母多乘了2，他解釋到分子中由于A可能站在左右兩個位置中的某一個，所以乘了2，他認為分母也一樣，在給四位同學排位時，從左向右和從右向左也都應該排一次，所以也要乘以2，很明顯他對于這個本質上屬于排列組合問題的方法掌握得并不透徹，而其它多數成績不如他的同學對該方法的理解也可見一斑了。所以對于在古典概型中講解分步計數原理的教學方式我個人持保留態度，學生基礎非常好的班級或學校可以嘗試，否則可能會適得其反，畢竟用窮舉法在考試中拿分是比較穩妥的。

3.最容易出現的問題

從學生對本節知識的掌握，以及在作業情況來看，出錯最多的就是基本事件在羅列時出現錯、漏、重的現象，這是初學者很容易出現的問題，那么該如何解決呢？個人感覺是兩個方面：

首先是對題目當中所涉及的事件是否了解，也就是知道不知道題目中的事件是做什么，怎么做，怎樣才算結束。例如上面的例2.2中，事件就是要把“A，B，C，D4名學生按任意次序站成一排”；怎么做呢？把他們一個個站上位置；怎么樣才是做完了？四個人都站好了就結束這件事。就有同學在題目要求抽出兩個元素的時候，他只抽出一個，題目的意思都沒完全理解，結果自然也就不對，所以教會學生分析事件很重要。

盡管課本中只是薄薄的幾頁，但在古典概型的教學中，每一堂課，每一次批改作業，都有很多東西值得我們老師去反思和回味，甚至可以更進一步去探索和研究，而在這些反思、回味、探究的過程中我們自己也在慢慢成長。