新課程概率統計學生易混淆問題

吳永峰

摘要：新課程改革下，高考對于概率統計問題的考查側重點發生了變化，其中理科的獨立重復實驗和排列組合問題、文科的古典概型的列舉問題和線性規劃的問題加強了考查的力度，而這些問題學生在復習中容易產生混淆，本文結合自己的教學體會，分別從文科和理科兩方面對以上問題進行闡述。

關鍵詞：文科；古典概型的列舉；線性規劃；理科；獨立重復實驗；排列組合

一.引言

高中新課程改革之前，概率試題注重對四個基本公式的考查，即對等可能性事件的概率；互斥事件的概率加法公式；獨立事件的概率乘法公式；事件在 次獨立重復試驗中恰發生 次的概率的考查。高中新課程改革之后，概率的考查更多與統計結合，結合莖葉圖和頻率直方圖，理科重點考察隨機變量、分布列、數學期望，文科側重抽樣方法和總體分布估計，文理科均以古典概型和幾何概型為考查重點。

二.文理科概率混淆點

高考復習中，在概率統計的復習中學生遇到了一些容易出現了混淆的問題。

理科學生混淆的問題主要是獨立重復實驗和排列組合問題；文科主要是古典概型的列舉問題和線性規劃的問題。

1.文科常規題

例：一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1，2，3，4.

（1）從袋中隨機抽取一個球，將其編號記為 ，然后從袋中余下的三個球中再隨機抽取一個球，將其編號記為 .求關于 的一元二次方程 有實根的概率；

（2）先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n.若以 作為點P的坐標，求點P落在區域 內的概率.

解答：（1）基本事件（a，b）有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）（2，3）（2，4）（3，1）（3，2）（3，4）（4，1）（4，2）（4，3）

共12種。

∵ 有實根，∴△=4a2-4b2≥0，即a2≥b2。

記“ 有實根”為事件A，則A包含的事件有：

（2，1）（3，1）（3，2）（4，1）（4，2）（4，3）共6種。

∴P（A）= 。

（2）基本事件（m，n）有：（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）

（2，2）（2，3）（2，4）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（4，1）（4，2）

（4，3）（4，4）共16種。

記 “點P落在區域 內”為事件B，則B包含的事件有：

（1，1）（2，1）（2，2）（3，1）共4種?！郟（B）= 。

此類問題的第二問顯然是古典概型的列舉問題。學生也容易看出。但在下列兩類題型一放在一起時學生就難區分是古典概型還是線性規劃問題了。

2.文科混淆題

某水泥廠甲、乙兩個車間包裝水泥，在自動包裝傳送帶上每隔30分鐘抽取一包產品，稱其重量，分別記錄抽查數據如下：

甲：102，101，99，98，103，98，99

乙：110，115，90，85，75，115，110

（1）畫出這兩組數據的莖葉圖；

（2）求出這兩組數據的平均值和方差（用分數表示）；并說明哪個車間的產品較穩定.

（3）從甲中任取一個數據x ，從乙中任取一個數據y ，求滿足條件 的概率.

解答：（1）莖葉圖略

評析：這兩個題型中的第三問，極易混淆，但仔細審題之后，會發現題型一中的關鍵詞“若干次訓練成績中隨機抽取6次”，最后是研究甲乙的成績狀況，是由樣本研究總體的問題，所以是線性規劃問題；而題型二則是直接從甲乙中各取出一個，研究的就是樣本中的數據問題，所以是古典概型問題，這兩個問題如不仔細審題極其容易混淆，這也是教師的一個教學難點。

3.理科常規題

例：甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，其中甲袋裝有1個紅球，4個白球；乙袋裝有2個紅球，3個白球。現從甲、乙兩袋中各任取2個球。

（1）用 表示取到的4個球中紅球的個數，求 的分布列及 的數學期望；

（2）求取到的4個球中至少有2個紅球的概率.

解答：（1） ，

某市 年 月 日— 月 日（ 天）對空氣質量指數 進行監測，獲得數據后得到如下條形圖：

（1）估計該城市一個月內空氣質量類別為良的概率；

（2）在上述30個監測數據中任取2個，設 為空氣質量類別為優的天數，求 的分布列.

解答：（1）由條形統計圖可知，空氣質量類別為良的天數為 天，

所以此次監測結果中空氣質量類別為良的概率為P= .

（2）隨機變量 的可能取值為 ，則

， ，

所以 的分布列為：

概率與統計是高考數學解答題考察的六大題型之一，所以教師務必對這些問題要非常清晰的分析到位，否則失分較多，給學生的復習帶來嚴重的隱患，謹以此篇文章略談自己的一點看法，希望與高中數學老師共勉，提出寶貴意見！

參考文獻：

[1]近幾年課改城市高考真題或模擬試題