一道教材習題的解答分析、推廣與應用*

四川師范大學數學與軟件科學學院 (610068)

彭文強 邵 利 盧道燕

一道教材習題的解答分析、推廣與應用*

四川師范大學數學與軟件科學學院 (610068)

彭文強 邵 利 盧道燕

我們解完一道題就結束了，可能永遠也體會不到解題的樂趣，因為數學題無限，永遠也解不完.那么，我們只有細細回顧解題過程，才能收獲更多.比如思考此題是否還有其他解法？變一變，該解法還能夠解決嗎？是否可以解決這一類題目，得到一般性的結論或方法？根據這樣的想法，下面我們以一道習題為例來進行分析.

人教A版必修5教材第二章《數列》的總復習題中編排了下面這道習題(第69頁第6題)：“已知數列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2(n≥3)，對這個數列的通項公式作一探究，能否寫出它的通項公式？”

1 問題解答

問題1還有其他解法嗎？

比較解法一與解法二：解法二計算量更小一些，并且相對不易出錯，因此在此題中解法二相對要優于解法一.

問題2若將an=2an-1+3an-2中的“2”與“3”換成其他實數，會怎樣呢？比如變為an=an-1+2an-2？

通過解答知道，根據上面的兩種方法可以類似解出(這里從略，有興趣讀者可以解一解)，并且使用解法二同樣要優于解法一.那么，

問題3若將an=2an-1+3an-2中的“2”與“3”換成任意實數“p”與“q”，會怎樣呢？{an}是否一定存在？若存在，是否一定能夠求出數列{an}的通項公式？下面我們用解法二對此進行探究(解法一從略，有興趣讀者可以解一解)：

2 問題推廣

已知數列{an}前兩項a1與a2，an=pan-1+qan-2(n≥3)(p,q為實數，q≠0)，求an通項公式.

分析：原題目實際上是把“-an-1”移到左邊得到“an+1+an”，使右邊剛好剩下3(an-1+an-2).對于一般的情形也可這樣考慮，我們希望移“xan-1”到左邊得到“an-xan-1”后，右邊剛好剩下(p-x)(an-1-xan-2)，其中p,q滿足x(x-p)=q，也就是說這里的x可根據這個方程求出.

其中x,x-p為方程x(x-p)=q(即x2=px+q)的兩根.于是我們可以得到：

推論已知數列{an}中前兩項a1與a2，an=pan-1+qan-2(n≥3)(p,q為實數，q≠0)對應方程x2=px+q的有兩根分別為x1,x2,若x1=x2，則；若x1≠x2，則).其中C1,C2為待定系數，可根據a1,a2求出.(注:這里的x1,x2可以為復數根，因此在復數范圍內an一定存在；若只在實數范圍內考慮，那么當x2=px+q無實數根時，這樣的an就不存在)

這里我們通過探究問題3得到了更加一般性的結論，解決的方法就是一般性的方法.當然，我們得到一般性的結論后希望能夠有所應用，下面舉出三個應用例子.

3 應用

3.1 再解原問題

解：an=2an-1+3an-2對應方程x2=2x+3兩根為-1,3，于是可設其通項公式為

an=C1(-1)n-1+C23n-1，由a1=5，a2=2知

3.2 求章頭斐波那契數列通項

(人教A版必修5第26頁)“有人說，大自然是懂數學的.不知你注意過沒有，樹木的分叉、花瓣的數量、植物種子的排列……都遵循了某種數學規律.你能發現下面數列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…與這種規律的關系嗎?”[1]

這里，我們可以利用推論求出它的通項公式.它的遞推關系為an=an-1+an-2(n≥3)，其中a1=a2=1.

3.3 解高考題

這里我們只求{an}的通項公式.

這樣，利用推廣的結論解決原問題更加容易而簡潔，也能夠較為輕松地解決一些其他不同的問題.

[1]劉紹學等.普通高中課程標準實驗教科書A版必修5[M].北京：人民教育出版社,2007.

* 本文由四川師范大學2016年研究生優秀論文培育基金項目資助(編號：20164-5).