用絕對值函數的導數公式解決一類含參函數的最值問題

用絕對值函數的導數公式解決一類含參函數的最值問題

☉浙江省蒼南縣嘉禾中學 董呂修

綜觀近幾年全國各省市的高考數學試題，一類形如“f（x）=g（x）+（b3x3+b2x2+b1x+b0）|x-a|（其中g（x）是次數不超過三次的多項式函數，b3，b2，b1，b0不全為零）”的三次型含參絕對值函數的最值問題正悄然興起.由于這類函數帶有絕對值，且有參數在內“搗亂”，主要考查數形結合、分類討論等數學思想，因此極具綜合性和挑戰性，學生常常感到迷霧重重，找不到突破口，以致于考試時往往棄而不答，令人惋惜！本文筆者借助導數公式（|x|）′=，結合高考題來化解討論此類函數最值問題的一般策略，以期對大家有所啟示.

一、導數公式

二、破解策略

眾所周知，函數y=f（x）（x∈I）的最值點只可能在其極值可疑點（所謂極值可疑點是指導數為零的點和導數不存在的點）或區間I的端點處取到.因此，只需討論此類含參絕對值函數在給定區間上的單調性，其最值情況就會一目了然.由于極值可疑點可能與參數有關，因此這里的關鍵是：如何判斷極值可疑點是否在定義域內？為解決此問題，就需要將極值可疑點與區間端點按從小到大的順序進行排列，分類討論思想正是在這一背景下應運而生的.具體操作步驟可按如下步驟進行：求導→求出極值可疑點→確定分類討論的界點→劃分討論范圍→排序極值可疑點→根據圖像大致變化趨勢求出函數最值.

1.求導

根據導數的運算法則求出函數f（x）=g（x）+（b3x3+ b2x2+b1x+b0）|x-a|在x≠a時的導函數表達式.

2.求出極值可疑點

將導函數f′（x）因式分解，求出導數為零的點和導數不存在的點，由于f′（x）的分子在x≠a時的次數不超過三次，因此函數f（x）的極值可疑點最多會有三個（可以參考文獻［2］證明其中必有一個是a），不妨設為x1，x2，a.

3.確定分類討論的界點

設函數f（x）的定義域為區間［c，d］，接下來我們考慮三個極值可疑點是否在定義域［c，d］內.通常有兩種方法：其一，考慮將x1，x2，a，c，d這五個量進行整體排序，此時分類討論的界點為由這五個量兩兩相等而組成的方程（如x1=x2，x1=a，x1=c，x1=d…）的根（最多有-1=9個）；其二，先將三個極值可疑點x1，x2，a進行排序（分類界點為方程x1=x2，x1=a，x2=a的根，最多有3個），然后將區間端點c，d插入既有排序之中（可能引發二次討論，每種排序下最多有+=10種）.以上都是理論意義上的，實際做題時該采用哪種方法，應視具體函數而言.而筆者更傾向于后者，本文后面的例題也都采用方法二.

4.劃分討論范圍

設方程x1=x2，x1=a，x2=a的根分別為a1，a2，a3（設a1≤a2≤a3），將其插入參數a的允許范圍（不妨設a∈R）之中，即可獲得參數a的不同討論范圍，它們即為參數a的分類討論范圍.

5.排序極值可疑點

在上一步中的不同討論范圍中可以對x1，x2，a的大小進行排序.顯然，不同討論范圍中的排列順序是不同的.

6.根據圖像大致變化趨勢求出函數最值

根據x1，x2，a的每一排序，從函數的單調性、極值、無窮遠處的變化趨勢入手來畫草圖，然后截取圖像在區間［c，d］上的部分，最后根據所截圖像求出函數的最值.

三、導數公式（|x|）′=（x≠0）的應用

例1（2009年高考江蘇卷·理20第2問）設a為實數，函數f（x）=2x2+（x-a）|x-a|，求f（x）的最小值.

綜上可知

點評：由于極值可疑點的大小關系未定，因此需要分類討論.從例1可以看出，用導數法討論函數的最值，盡管步驟比較機械化，但卻能大大降低思維量.

例2（2005年高考江蘇卷·理22第2問）已知a∈R，函數f（x）=x2|x-a|，求函數f（x）在區間［1，2］上的最小值.

當a≤0時，f′（x）=x（3x-2a）＞0（1≤x≤2），f（x）min=（f1）=|1-a|.

（1）當0＜a≤1時，f′（x）=x（3x-2a）＞0（1＜x≤2），（fx）min=（f1）=1-a.

（5）當a＞3時，（fx）在［1，2］上為增函數，（fx）min=（f1）= a-1.

綜上所述，f（x）min=

點評：本題參考答案是用零點分段法去絕對值化為分段函數然后求導數，比較煩瑣，而現在用導數公式求導時不用討論，相較而言更方便實用.

例3（2014年高考浙江卷·文21第1問）已知函數f（x）=x3+3|x-a|（a＞0），若f（x）在［-1，1］上的最小值記為g（a），求g（a）.

（1）當0＜a＜1時，若-1＜x＜a，則f′（x）=3（x2-1）＜0；若a＜x＜1，則f′（x）=3（x2+1）＞0.所以f（x）在［-1，a］上為減函數，在［a，1］上為增函數，g（a）=f（a）=a3.

（2）當a≥1時，f′（x）=3（x2-1）＜0（-1＜x＜1），因此g（a）=f（1）=3a-2.

例4（2015年高考湖北卷·文17改編）a為實數，函數f（x）=|x2-ax|（a＞0）在區間［0，1］上的最大值記為g（a）.當a=______________時，g（a）的值最小.

解析：當x∈［0，1］時，f（x）=x|x-a|.f′（x）=|x-a|+x（x≠a）.令f′（x）=0，得x=，而導數不存1在的可疑點為x2=a，因此，f（x）的所有極值可疑點為x1=，x=a.因為a＞0，所以排序極值可疑點，得＜a.由于區2間端點為0與1，因此可得二次討論的界點為1，2.

（1）當a＞2時，f′（x）=-（2x-a）＞-（2x-2）≥0（0≤x≤1），f（x）在［0，1］上為增函數，所以g（a）=f（1）=|1-a|.

（2）當1＜a≤2時，f（′x）=-（2x-a）＞0（ 0≤x＜），f（′x）=

（3）當0＜a≤1時，f′（x）=-（2x-a）＞0（ 0≤x＜），得a=2-2或a=2（舍去）.當0＜a≤2-2時，f）≤（f1），g（a）=（f1）=|1-a|.當2-2＜a≤1時，f（）＞

點評：與例1不同的是，例2、例3、例4中的函數的定義域不再是實數集R，由于還得考慮區間的端點與極值可疑點的大小關系，因此往往還需要確定二次討論的分界點，最后得出函數在各個子區間上的單調性，從而得出函數的最值.

總而言之，本文通過一個導數公式，運用分類討論的數學思想，詳細討論了函數（fx）=g（x）+（b3x3+b2x2+b1x+ b）0|x-a|最值問題的解題策略和操作步驟（可為其他含參函數的最值問題提供借鑒），透射數學化歸的力量！

1.丁美琴.對“同類”高考試題的解析與思考［J］.中學數學（上），2015（10）.

2.宋洪雪.關于一類含絕對值函數的求導問題［J］.高等數學研究，2008（05）.