函數對稱性的探究

函數對稱性的探究

☉湖北省丹江口市均州中學 黃立斌

函數是中學數學教學的主線，是中學數學的核心內容，也是整個高中數學的基礎.函數的性質是高考的重點與熱點，函數的對稱性是函數的一個基本性質，對稱關系不僅廣泛存在于數學問題之中，而且利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決，對稱關系還充分體現了數學之美.本文就函數與對稱有關的性質作一些探討.

一、函數自身的對稱性探究

定理1函數y=f（x）的圖像關于點A（a，b）對稱的充要條件是f（x）+f（2a-x）=2b.

證明：先證必要性：設點P（x，y）是y=f（x）圖像上任一點，因為點P（x，y）關于點A（a，b）的對稱點P′（2a-x，2by）也在y=f（x）圖像上，所以2b-y=f（2a-x），

即y+f（2a-x）=2b，故f（x）+f（2a-x）=2b.

再證充分性：設點P（x0，y0）是y=f（x）圖像上任一點，則y0=f（x0），

因為f（x）+f（2a-x）=2b，所以f（x0）+f（2a-x0）=2b，即2b-y0=f（2a-x0）.

故點P′（2a-x0，2b-y0）也在y=f（x）圖像上，而點P與點P′關于點A（a，b）對稱.

推論函數y=f（x）的圖像關于原點O對稱的充要條件是f（x）+f（-x）=0.

定理2函數y=f（x）的圖像關于直線x=a對稱的充要條件是f（a+x）=f（a-x），即f（x）=f（2a-x）.（證明留給讀者）

推論：函數y=f（x）的圖像關于y軸對稱的充要條件是f（x）=f（-x）

定理3①若函數y=f（x）圖像同時關于點A（a，c）和點B（b，c）成中心對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數，且2|a-b|是其一個周期.

②若函數y=f（x）圖像同時關于直線x=a和直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數，且2|a-b|是其一個周期.

③若函數y=f（x）圖像既關于點A（a，c）成中心對稱又關于直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數，且4|a-b|是其一個周期.

①②的證明留給讀者，以下給出③的證明：

因為函數y=f（x）圖像既關于點A（a，c）成中心對稱，

所以f（x）+f（2a-x）=2c，用2b-x代x，得

f（2b-x）+f［2a-（2b-x）］=2c.（*）

又因為函數y=f（x）圖像直線x=b成軸對稱，

所以f（2b-x）=f（x）代入（*），得

f（x）=2c-f［2（a-b）+x］.（**）用2（a-b）-x代x，得

f［2（a-b）+x］=2c-f［4（a-b）+x］，代入（**），得

f（x）=f［4（a-b）+x］.

故y=f（x）是周期函數，且4|a-b|是其一個周期.

二、不同函數對稱性的探究

定理4函數y=f（x）與y=2b-f（2a-x）的圖像關于點A（a，b）成中心對稱.

定理5①函數y=f（x）與y=f（2a-x）的圖像關于直線x=a成軸對稱.

②函數y=f（x）與a-x=f（a-y）的圖像關于直線x+y=a成軸對稱.

③函數y=f（x）與x-a=f（y+a）的圖像關于直線x-y=a成軸對稱.

定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現證定理5中的③.

設點P（x0，y0）是y=f（x）圖像上任一點，則y0=f（x0）.記點P（x，y）關于直線x-y=a的軸對稱點為P′（x1，y1），則x1= a+y0，y1=x0-a，

所以x0=a+y1，y0=x1-a代入y0=f（x0）中，得x1-a=f（a+y1）.

所以點P′（x1，y1）在函數x-a=f（y+a）的圖像上.

同理可證：函數x-a=f（y+a）的圖像上任一點關于直線x-y=a的軸對稱點也在函數y=f（x）的圖像上.故定理5中的③成立.

三、三角函數圖像的對稱性列表

注：上表中k∈Z.

四、函數對稱性應用舉例

例1定義在R上的非常數函數滿足：f（10+x）為偶函數，且f（5-x）=f（5+x），則f（x）一定是（）.

A.是偶函數，也是周期函數

B.是偶函數，但不是周期函數

C.是奇函數，也是周期函數

D.是奇函數，但不是周期函數

解析：因為f（10+x）為偶函數，所以f（10+x）=f（10-x）.

所以f（x）有兩條對稱軸x=5與x=10，因此f（x）是以10為其一個周期的周期函數，所以x=0即y軸也是f（x）的對稱軸，因此f（x）還是一個偶函數.

例2設（fx）是定義在R上的偶函數，且（f1+x）=（f1-x），當-1≤x≤0時，（fx）=-x，則（f8.6）=_________.

解析：因為f（x）是定義在R上的偶函數，所以x=0是y=f（x）對稱軸.

又因為f（1+x）=f（1-x），所以x=1也是y=f（x）對稱軸.故y=f（x）是以2為周期的周期函數，所以f（8.6）=f（8+0.6）=f（0.6）=f（-0.6）=0.3.

例4（2014·全國卷）奇函數f（x）的定義域為R.若f（x＋2）為偶函數，且f（1）＝1，則f（8）＋f（9）＝（）.

A.-2B.-1C.0D.1

解：方法1：因為f（x＋2）為偶函數，所以其對稱軸為直線x＝0，所以函數f（x）的圖像的對稱軸為直線x＝2.又因為函數f（x）是奇函數，其定義域為R，所以f（0）＝0，所以f（8）＝f（-4）＝-f（4）＝-f（0）＝0，故f（8）＋f（9）＝0＋f（-5）＝-f（5）＝-f（-1）＝f（1）＝1.

方法2：因為f（x＋2）為偶函數，所以其對稱軸為直線x＝0，所以函數f（x）的圖像的對稱軸為直線x＝2.又因為函數f（x）是奇函數，所以函數f（x）的圖像的對稱中心是原點.由定理3中③可知，函數f（x）的周期是4|2-0|=8，所以f（8）＝f（0）＝0，f（9）＝f（1）＝1.故f（8）＋f（9）＝1.