例談圓錐曲線問題的解題策略

例談圓錐曲線問題的解題策略

☉江蘇省灌云高級中學 孫紅

縱觀近幾年全國各省市高考數學試題不難看出，圓錐曲線綜合問題占有一定的比例，而且穩中有變.由于這類問題表現為已知條件較多、題干較長，通常要涉及到幾種曲線的組合，有時還要與平面向量、函數、數列、不等式等知識交匯，因此，不少學生感到難以下手.鑒于此，筆者結合平時的教學實踐，特別將個人的一些想法整理成文，供大家參考.

一、設而不求

設而不求是解析幾何的最常用的技巧之一，其重要性不言而喻.設而不求作為一種有效的解題手段，有時會達到意想不到的效果.

例1設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于N，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.

（1）證明：|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；

（2）設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

解：（1）證明：因為|AD|=|AC|，EB//AC，所以∠ACD=∠ADC，

從而|EB|=|ED|，所以|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.

又圓A的標準方程為（x+1）2+y2=16，從而|AD|=4，所以|EA|+|EB|=|AD|=4.

故|EA|+|EB|為定值4.

由題意可知，A（-1，0），B（1，0），|AB|=2，

（2）當直線l與x軸不垂直時，可設直線l的方程為

y=k（x-1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）.

從而當直線l與x軸不垂直時，四邊形MPNQ面積的取值范圍是（12，8）.

當直線l與x軸垂直時，其方程為x=1，|MN|=3，|PQ|= 8，四邊形MPNQ的面積為12.

點評：本題第（1）問依據圓的幾何性質，利用數形結合，證明|EA|+|EB|為定值.解決本題第（2）問的關鍵是確立目標函數即四邊形MPNQ的面積，進而求其取值范圍.在解決直線與圓錐曲線相交問題時，通常應考慮到運用韋達定理，這樣可簡化運算過程.本題主要考查定值問題、軌跡方程的求解、直線與橢圓的位置關系、四邊形面積的取值范圍等基礎知識.同時也考查函數與方程、數形結合、化歸與轉化以及分類討論等重要數學思想.

二、向量法

圓錐曲線最值或取值范圍問題的求解策略是，首先應依據題意建立目標函數，再利用換元法、配方法、均值法、向量法、導數法等有關方法，進而確定目標函數的最值或取值范圍.下面以向量法為例說明.

（1）求橢圓的方程；

（2）設過點A的直線l與橢圓交于點B（點B不在x軸上），垂直于l的直線與l交于點M，與y軸交于點H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直線l的斜率的取值范圍.

（2）設直線l的斜率為k（k≠0），直線l的方程為y= k（x-2），設B（x0，y0），

由（1）可知，F（1，0），設H（0，yH），

設M（xM，yM），由

在△MAO中，∠MOA≤∠MAO?|MA|≤|MO|，

即（xM-2），整理可得xM≥1，即≥1，解之，得

點評：本題第（2）問將幾何條件轉化為坐標關系，進而得出關于直線l的斜率的不等式，問題即可獲解.同時也考查函數與方程思想、數形結合思想以及化歸與轉化思想.

三、“設直線”解決

（1）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長（用a，k表示）；

（2）若任意以點A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍.

解：（1）設直線y=kx+1被橢圓C截得的線段為AP，

（2）假設以點A（0，1）為圓心的圓與橢圓C有4個公共點，由對稱性可設y軸左側的橢圓上有兩個不同的點P，Q，滿足|AP|=|AQ|，設直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2，且k1＞0，k2＞0，k1≠k2，

由k1＞0，k2＞0，k1≠k2，可得

由于（*）式關于k1，k2的方程有解的充要條件是1+ a2（a2-2）＞1，

所以a2＞2，即a＞.

從而任意以點A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點的充要條件是1＜a≤

點評：解決本題第（2）問的關鍵就在于求解a的取值范圍.首先假設圓與橢圓有四個公共點，然后利用|AP|= |AQ|將幾何問題代數化，求出a的取值范圍，進而求得橢圓離心率的取值范圍.本題主要考查橢圓的幾何性質、直線與橢圓的位置關系、不等式的求解方法、橢圓離心率的定義等基礎知識，同時也考查函數與方程思想、數形結合思想以及化歸與轉化思想.

四、極限思想

點差法特別適合圓錐曲線中涉及的弦中點問題，但若認為點差法只能解決此類問題，則是定式思維帶來的束縛，實際上，點差法還可以利用創新的思維，利用極限思想解決圓錐曲線中的切線問題.

圖1

（1）已知直線l的斜率為k，用a，b，k表示點P的坐標；

（2）若過原點O的直線l1與l垂直，證明：點P到直線l1的距離的最大值為a-b.

解：（1）設直線m∥l，且與橢圓相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，M（x0，y0）為AB的中點，P（xP，yP），則km=k.因為A，B在橢圓C上，所以兩式相減得如圖2，當直線m與直線l無限接近時，直線m的極限狀態即為切線l，此時，中點M演變為切點P，所以

圖2

（2）略.

點評：此題涉及圓錐曲線的切線問題.高中階段的傳統做法是聯立方程組利用判別式等于零，通過極為復雜的運算后得到答案.若能意識到切線是割線的極限位置，通過極限思想，可應用點差法使問題得到圓滿的解決.

五、零點式解決

二次函數有三種形式，分別是一般式、頂點式、零點式，其中零點式可以把一般式y=ax2+bx+c（a≠0）表示為y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），其中x1，x2為方程ax2+bx+c=0的兩根.零點式在優化解析幾何運算方面有重要的應用.

例5如圖3所示，設橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F1，F2，線段OF1，OF2的中點分別為B1，B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形.

（1）求該橢圓的離心率和標準方程；

（2）過B1作直線l交橢圓于P，Q兩點，使PB2⊥QB2，求直線l的方程.

圖3

（2）由（1）知，B1（-2，0），B2（2，0）.當直線l垂直于x軸時，顯然不成立.

當直線l不垂直于x軸時，可設其方程為y=k（x+2）. P（x1，y1），Q（x2，y2）.

故（1+5k2）x2+20k2x+20k2-20=0.

因為點P，Q在直線y=k（x+2）上，所以y1=k（x1+2），y2= k（x2+2）.

所以（2-x1）（2-x2）+k2（x1+2）（x2+2）=0.

因為x1，x2是方程x2+5k2（x+2）2-20=0的兩根，所以x2+ 5k2（x+2）2-20=（1+5k2）（x-x1）（x-x2），①

①式中令x=2，得22+5k2（2+2）2-20=（1+5k2）（2-x1）·（2-x2），

①式中令x=-2，得（-2）2+5k2（2-2）2-20=（1+5k2）·（-2-x1）（-2-x2），

所以64k2-16=0，即k=±.

點評：本題是一道典型的直線與圓錐曲線的綜合解答題，通常的做法是聯立直線與圓錐曲線的方程，利用韋達定理消元解決.結合本題，問題的關鍵是解決PB2⊥QB2這個條件轉換為向量的數量積為零之后的復雜運算，思路雖然清晰，但運算比較復雜.如何化簡（2-x1）（2-x2）+k2（x1+2）（x2+2）=0是本題的難點.我們只要能把（2-x1）（2-x2）和（x1+2）（x2+2）用k來表示，問題便能得到解決.

總之，對于圓錐曲線綜合問題，除了使用我們慣常的思想方法與技巧外，還可通過其他途徑使問題得到解決，甚至有時更快捷.這說明，教師在平時的解題教學中，不能故步自封，僵化思維.教師若多研究一些問題，多想一些辦法，跳出定式思維，從多個角度分析問題，實現方法的創新.真正活躍學生的思維，提高學生分析問題、解決問題的能力.