例談高考中導數和函數綜合題的考查

例談高考中導數和函數綜合題的考查

☉湖南省長沙市雅禮中學 匡一為

導數是高考數學的重要知識點，每年的高考試題中小題、大題都有出現，是高考數學中的重點、難點、熱點.特別是近年來導數和函數的綜合問題幾乎成了每年高考的壓軸題，對于那些掌握了方法的學生，解決此問題就較為容易.但是對于沒有掌握方法的學生，解決此問題就較為困難.下面筆者結合自己的經驗淺談一點心得和體會.

一、關于單調性、零點、分類討論的問題的考查

例1已知函數f（x）=（x-2）ex+a（（x-1）2.

（1）討論f（x）的單調性；

（2）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍.

解：（1）可以通過導數來討論單調性，f′（x）=（x-1）ex+2a（x-1）=（x-1）（ex+2a）.

（i）設a≥0，則當x∈（-∞，1）時，f′（x）＜0；則當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0；所以，則f（x）在（-∞，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增.

（ii）設a＜0，由f′（x）=0得到x=1或x=ln（-2a）.

（2）①設a＞0，則由（1）知，f（x）當（-∞，1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增，又有f（1）=-e，f（2）=a，取b滿足b＜0且b＜ln，則有

所以，f（x）有兩個零點.

②設a=0，則f（x）=（x-2）ex，所以f（x）只有一個零點.

綜上所述，a的取值范圍為（0，+∞）.

當遇到參數，在求解問題時不確定下一步如何解決時，則考慮分類討論.

二、關于單調性、最值的問題的考查

函數的單調性和最值問題也是高考中考查的重點.

例2已知函數f（x）＝ex-e-x-2x.

（1）討論f（x）的單調性；

（2）設g（x）＝f（2x）-4bf（x），當x＞0時，g（x）＞0，求b的最大值；

解法一：（1）f′（x）＝ex＋e-x-2≥0，等號僅當x＝0時成立.

所以f（x）在（-∞，＋∞）單調遞增.

（2）g（x）＝f（2x）-4bf（x）＝e2x-e-2x-4b（ex-e-x）＋（8b-4）x，

g′（x）＝2［e2x＋e-2x-2b（ex＋e-x）＋（4b-2）］

＝2（ex＋e-x-2）（ex＋e-x-2b＋2）.

①當b≤2時，g（′x）≥0，等號僅當x=0時成立，所以g（x）在（-∞，+∞）單調遞增.

而g（0）=0，所以對任意x＞0，g（x）＞0.

②當b＞2時，若x滿足2＜ex+e-x＜2b-2，

綜上，b的最大值為2.

解法二：（2）由g′（x）=0，即2（ex+e-x-2）（ex+e-x-2b+2）= 0，

得ex+e-x-2=0或ex+e-x-2b+2=0，由ex+e-x-2=0得x=0，

①當b≤2時，g′（x）≥0，等號僅當x=0時成立，所以g（x）在（-∞，+∞）單調遞增.

而g（0）=0，所以對任意x＞0，g（x）＞0.

②當b＞2時，由ex+e-x-2b+2=0，解得ex=b-1±■b2-2b＞0，

令m（x）=ex+e-x，m（′x）=ex-e-x=0，得x=0，

易知x＞0時，m（′x）＞0，x＜0時，m（′x）＜0，

即m（x）在（-∞，0）上是減函數，在（0，∞）上是增函數，

所以x∈（0，x）1時，ex+e-x-2b+2＜0，

則x∈（0，x）1時，g′（x）＜0，即g（x）在（0，x1）上單調遞減，而g（0）=0，故x∈（0，x1）時，g（x）＜0.所以b＞2不符合題意.

綜上，b的最大值為2.

解法一中，當b＞2時，令2＜ex+e-x＜2b-2，在原點右側附近探究遞減區間，簡潔明快.解法二則是通法.

三、關于切線、新定義、最值、零點的問題的考查

綜合切線、新定義、最值、零點等問題一直是新課標卷的熱點，好多問題的設計打破常規，在探究極值點時頻頻出現超越方程，致使落腳點不在函數最值的具體數值上，而在函數取得最值時相應自變量所滿足的數量關系上，再利用這一關系解決問題，具有較高的技巧.

（1）求b；

（2）f（x）的定義域為（0，+∞），由（1）知，f（x）=alnx+

故當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）單調遞增.

所以，存在x0≥1，使得（fx0）＜的充要條件為（f1）

＜0，

四、關于單調性、不等式恒成立及構造函數的問題的考查

以導數為工具，通過探究函數性質并利用性質求解不等式是新課標卷的一個新亮點.對于復雜的超越不等式，如ex-x-1＞0，往往需要探究相應函數的零點、單調性等性質，再借助這些性質求解不等式.2015年的新課標文理兩卷均考查了該種類型.

例4設函數f（x）=emx+x2-mx.

（1）證明：f（x）在（-∞，0）單調遞減，在（0，+∞）單調遞增；

（2）若對于任意x1，x2∈［-1，1］，都有|f（x1）-f（x2）|≤e-1，求m的取值范圍.

解：（1）f′（x）=m（emx-1）+2x，

若m≥0，則當x∈（0，+∞）時，emx-1≥0，f′（x）＞0；

當x∈（-∞，0）時，emx-1≤0，f′（x）＜0.

若m＜0，則當x∈（0，+∞）時，emx-1＜0，f′（x）＞0；

當x∈（-∞，0）時，emx-1＞0，f′（x）＜0.

所以f（x）在（-∞，0）單調遞減，在（0，+∞）單調遞增.

（2）由（1）知，對任意實數m，f（x）在［-1，0］上單調遞減，在［0，1］上單調遞增，故f（x）在x=0處取得最小值.

所以對于任意的x1，x2∈［-1，1］，

|f（x1）-f（x2）|≤e-1等價于即

令g（m）=em-m-e+1，則g′（m）=em-1，

易知g（m）在（-∞，0）單調遞減，在（0，+∞）單調遞增.

又g（1）=0，g（-1）=e-1+2-e＜0，故m∈［-1，1］時，g（m）≤0，符合題意；

當m＞1時，由g（m）（0，+∞）上單調遞增，則g（m）＞0，不合題意；

當m＜-1時，則g（-m）＞0，即e-m+m＞e-1，不合題意.

綜上，m的取值范圍是［-1，1］.

五、關于單調性、不等式及構造函數、參數及取值范圍的問題的考查

不等式恒成立求參數范圍問題常常綜合了函數的單調性等多維度知識，是導數應用的熱點問題，常規方法有分參法、函數最值法.

例5設函數f（x）=ex-1-x-ax2.

（1）若a=0，求f（x）的單調區間；

（2）若當x≥0時f（x）≥0，求a的取值范圍.

方法1：（1）a=0時，f（x）=ex-1-x，f′（x）=ex-1.

當x∈（-∞，0）時，f′（x）＜0；當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0.故（fx）在（-∞，0）單調減少，在（0，+∞）單調增加

（2）方法1：f（′x）=ex-1-2ax

由（1）知，ex≥1+x，當且僅當x=0時等號成立.故f（′x）≥x-2ax=（1-2a）x，

于是當x≥0時，（fx）≥0.由ex＞1+x（x≠0）可得e-x＞1-x（x≠0）.從而當a＞時，f（′x）＜ex-1+2a（e-x-1）=e-（xex-1）·（ex-2a），

故當x∈（0，ln2a）時，f′（x）＜0，而（f0）=0，于是當x∈（0，ln2a）時，（fx）＜0.

方法2：f′（x）＝ex-1-2ax，令g（x）=f′（x），則g′（x）=ex-2a.

所以，f（′x）≥0，即（fx）在［0，+∞）上遞增，

故（fx）≥（f0）=e0-1-0-a·02=0，即（fx）≥0成立.

方法1運用了放縮法，技巧性強，解題過程簡練；方法2體現了通法.

以上就高考中幾種常見導數和函數壓軸題問題進行了反思和總結，從中我們可以看到分類討論、構造函數等思想的應用.要能比較熟練的解決此類問題除了需要較強的計算能力，還需要掌握一些如分離常數法、利用函數圖像與根的分布法等技巧.總之，對導數和函數壓軸大題來說，如能熟練的掌握以上解題思想并不斷練習相關解題技巧，廣大考生在這類問題上還是能有所作為的.