透過“影響”表象厘清“獨立”本質*

透過“影響”表象厘清“獨立”本質*

☉福建省廈門第一中學 王淼生

一、提出問題

前不久考試中有一道看似簡單卻引起爭論的選擇題，原題如下（下稱案例1）：

案例1現有以下三個命題：

（1）擲一枚質地均勻的骰子，事件M：出現點數為奇數；事件N：出現點數為偶數.

（2）袋中有大小相同的5個紅色、5個黃色，依次不放回地摸兩球.事件M：第1次摸到紅球；事件N：第2次摸到紅球.

（3）分別拋擲2枚均勻硬幣，事件M：第1枚正面向上；事件N：兩枚結果相同.

其中事件M與事件N相互獨立的有（）個.

A.3B.2C.1D.0

命題專家給出的答案為D.

二、剖析緣由

對于（1），容易判斷事件M與事件N是對立事件，顯然不是相互獨立事件.對于（2），因不放回，顯然事件M發生對N有影響，故事件M與N不是相互獨立.可對于（3），老師們之間產生較大分歧，爭議的焦點在于：事件M的發生對事件N的發生是否有“影響”.

觀點1：一部分教師觀點如下：文［1］將“事件的相互獨立性”編排在“條件概率”之后，也就是說“事件的相互獨立性”是緊接著“條件概率”之后學習的.而條件概率的本質就是事件M的發生對事件N的發生有直接“影響”，故而形象地記作P（N|M），因此獨立事件的核心就是事件M的發生對事件N的發生沒有“影響”.簡而言之，事件之間沒有“影響”就是獨立事件.這是一線教師普遍觀點，正是從這個指導思想出發，上述（3）中事件M發生前提下，事件N只發生“正面、正面”一種情況，從而認定“影響”了事件N發生，因此判定（3）中事件M與事件N不是相互獨立.

觀點2：另一部分教師觀點如下：兩個事件是否獨立，不能僅僅憑表面是否“影響”，而是要通過具體的計算才能確定，即需要驗證：

P（MN）=P（M）P（N）.①

若滿足上述①，則相互獨立；否則，不是相互獨立.事實上，由計算易得

顯然滿足上述①，說明上述（3）中的事件M與事件N相互獨立，故答案為C.

表面上看，爭議的焦點似乎答案到底是選C還是D的問題，其實質在于厘清判斷獨立事件的標準是什么？理論依據是什么？

三、厘清概念

1.模棱兩可——質疑是研究的源動力

筆者覺得觀點似乎有道理.因為沒有事件M時，事件N包含“正面、正面”與“反面、反面”兩種情況.而在事件M發生的前提下，事件N只能發生“正面、正面”這一種情況.事實明擺著：事件M的發生對事件N的發生確實有“影響”，這是不可否認的.但上述觀點2是通過定量計算，符合中學教科書（文［1］）獨立性定義，顯然是正確的，不容置疑.哪到底哪一種觀點正確呢？

2.精準定義——概念教學的首要原則

美國加州伯克利大學伍鴻熙教授認為概念教學有五個相關聯的基本原則，其中首要原則就是概念必須精確定義.遇到棘手問題，尤其涉及概念問題，一線教師首先想到的是仔細、慎重、全面查閱該概念的原始定義，當然是從最權威的教科書入手.

文［1］（中學教科書）第54頁是這樣定義獨立事件的：

定義：設A，B為兩個事件，若P（AB）=P（A）P（B），則稱事件A與事件B相互獨立.

文［2］（大學教科書）第21頁的定義與文［1］完全相同，而且文［2］還給出以下定理：

定理：設A，B為兩個事件，P（A）＞0，P（B）＞0.若A，B相互獨立，則P（B|A）=P（B）；反之亦然.

上述定義與定理為判斷獨立事件提供了理論依據，同時也是具體操作步驟.

依據：當P（A）＞0，P（B）＞0，則有事件A，B相互獨立?P（AB）=P（A）P（B）.②

上述②并不奇怪，因為數學定義中很多就是充要條件.據此可知上述觀點2正確，毫無疑問案例1的答案為C，也就是說上述案例1中的（3）中事件M與事件N相互獨立.

其實，上述案例1中的（3）并非新題，在教科書上可以找到“影子”，比如文［1］第55頁第1題，還有文［2］第20頁例1，原題如下（以下分別稱案例2、案例3）：

案例2分別拋擲2枚質地均勻的硬幣.設“第1枚為正面”為事件A，“第2枚為正面”為事件B，“2枚結果相同”為事件C.試問A，B，C中哪兩個相互獨立？

案例3設試驗E為拋甲、乙兩枚硬幣，觀察正反面出現的情況.設事件A為“甲幣出現正面”，事件B為“乙幣出現正面”.試問事件A與事件B是否相互影響？

3.深度剖析——厘清“影響”的本來面目

我們知道定量分析具有精確、嚴謹特征，但由于定量分析需要進行詳細的推理、運算，因此過程略顯復雜一些.相對來說，定性分析則簡捷、明了，但遇到較為復雜的問題容易因表面現象蒙蔽而出現錯誤.其實，上述觀點1就是定性分析，上述觀點2才是定量分析.哪為何定性分析容易出現錯誤呢？到底問題出在哪兒呢？

查閱百度可知“影響”是指以間接或無形的方式來作用或改變人或事的行為、思想，哪具體到數學概念“獨立事件”中的“影響”又該如何界定呢？

其實，我們平常所說的事件M發生是否“影響”事件N，不能僅僅從表面，不要以為事件N所含基本事件個數在表面上的減少就是受到了“影響”.上述觀點1就是受表面誘惑，即“所含基本事件個數較少”而導致錯誤.當總的基本事件個數減少（即樣本空間縮小）時，概率計算

上述分子、分母確實發生變化，即表面上似乎有“影響”，但“成比例”變化，因而沒有改變最終比值，即概率根本沒有受到“影響”，故兩個事件相互獨立.

綜上所述，獨立事件中的“影響”并不僅僅是指“過程”，而是最終的“結果”；獨立事件中的“影響”盡管影響了“表象”，但只要不妨礙最終的結果即本質，依然是獨立事件；獨立事件中的“影響”并不僅僅是指表面的基本事件個數（即樣本空間）變化，而是指最終概率是否滿足上述②.對于具體的獨立事件相關問題，不能僅憑定性分析下結論，還要進行定量分析.從定性到定量分析不僅是實施宏觀到微觀的必由之路，而且是實現“估值”到“精算”的必經之道.因此上述②既是判斷獨立事件理論依據，也是判斷獨立事件具體操作過程.

四、感悟體會

公式中分母變小，還應該看到其分子同時也在相應減少.當分子、分母同時減少，只要其比值不變，我們就認為是不受“影響”，即認為是獨立事件.

以上述案例1中的（3）為例，由計算可得

1.捫心自問——錯誤不是學生“專利”

數學學習和“錯誤”是一個相伴過程，“錯誤”是數學研究中永恒話題.不少教師以為這是學生的“專利”，其實教師也不例外（如文［3］）.從認知角度分析，教師在概念教學過程中犯錯誤是難免的.教師也是在不斷地犯錯、不斷地糾錯中成長的.正是因為教師對數學概念的理解出現偏差甚至錯誤，才能對數學概念的把握愈加精準，教師才會變得更加成熟.

“錯誤素材”是難得的、寶貴的教學資源.文［4］指出應該“照照鏡”——教師深刻反思概念教學的失誤之處，誠懇看作檢查自己教學效果的一面鏡子；“治治病”——順著錯誤思路，深究錯誤起因、深挖錯誤根源、深思錯誤預防，從本源上找出“元兇”、鏟除“土壤”，肅清“根基”，真正厘清概念、吃透概念.正如黑格爾指出：“錯誤本身乃是達到真理的一個必然的環節.”概念教學不僅是教學生的過程，更是教師提高自身業務水平，尤其是夯實自身功底的絕佳歷程.難怪不少名家大師說“聽聽數學概念課就知道一名數學教師業務功力”是多么經典的感悟啊！

2.追根溯源——越辯論越清晰

數學顯著特征之一就是高度抽象，這就決定數學概念的深奧.在集體備課中，教師之間需要辯論；在實施教學中，師生之間、生生之間需要辯論；在公開教學中，教師與專家、專家與學者之間需要辯論.上述案例1就在筆者備課組及教研組中展開激烈爭論，觀點1與觀點2就是當時的真實記錄.數學概念需要辨析，越辯越明、越爭越清.概念既可以從“正面”辨析，也可以從“方面”即借助錯誤案例剖析，在“錯誤”中“辨析”，在“反例”中“爭論’’.對于有些概念，反面案例更能一針見血剖析概念內涵，其效果甚至遠遠勝過正面案例（如文［4］）.筆者近年對概念進行了一些研究并取得一點成果（如文［3］～［8］等），其中文［3］、［4］、［7］被全文轉載在人大報刊復印資料《高中數學教與學》.

3.概念教學——本質是“玩”概念

李邦河院士指出：“數學根本上是玩概念，不是玩技巧，技巧不足道也.”足以說明概念教學在數學教學中占據舉足輕重地位.章建躍博士在文［9］中明確指出，概念教學研究是數學教育心理學的主要任務之一.數學概念表明所研究的數學對象“是什么”，這是“玩概念”的基礎.沒有對概念內涵的把握，對概念的性質研究就會成為無本之木、無源之水、無米之炊.從定性到定量地展開研究而獲得數學概念的性質，這是“玩概念”的重要一步.只有這樣才能構建概念與概念之間的縱橫網絡，才能真正理解概念.

數學概念是構建數學理論大廈的基石，是思維的細胞.但因受到篇幅限制，教科書歷來惜字如金.對一些概念的表述有時僅僅一句話，甚至一個符號而已，這表面上給一線教師理解概念，尤其是把握概念的內涵增加了不少難度.但從另一個角度看，正是因為教科書沒有詳細解釋，反而給一線教師留下無限的探究、思考空間，這正是我們常說的要吃透教材，深入解讀教材，對教科書有獨到的、創造性的剖析，從而達到適合自己也符合學生更順應課改理念的個性化教學，這正是對章建躍先生提倡的“不是教教材而是用教材教”最佳詮釋.

4.哲學原理——升華MPCK理論

自舒爾曼提出學科教學內容知識（PCK）理論，從而使數學教學知識研究從PCK泛學科研究中獨立出來，成為專門研究數學學科教學知識（MPCK）理論依據，是數學教師從事專業教學所應具備的核心知識.MPCK不僅要求數學教師有厚實的專業素養（MK），還要有先進的教學方法策略（PK），還要有豐富的學科內容知識（CK）.從集合文氏圖角度發現，MK、PK、CK越大，其交集部分也會越來越大，形成數學學科教學知識就會越來越豐富.筆者在教學一線忠實踐行MPCK理論，越發感受到將這些知識有機融為一體的推動力正是辯證唯物主義哲學觀，遺憾的是，數學教學中的哲學觀還沒有引起足夠重視.數學教學，尤其是概念教學，不僅要有數學眼光，更要有哲學視野，以發揮哲學的靈魂與統帥作用.站在哲學高度來高屋建瓴地指導具體的數學學科教學，這正是MPCK理論升華與創新.

在上述獨立事件中的“影響”折射了哲學原理：運動（如樣本空間變化）是絕對的，靜止（如比值不變）是相對的.動中有靜，靜中含動，動靜結合，和諧統一.正是因為獨立事件中蘊含著這一哲學原理，因此主編在編寫教科書（文［1］）時特意將獨立事件緊緊安排在條件概率之后，從一個側面說明了獨立事件也可以看作特殊條件概率，即當事件M發生前提下，對事件N發生的“影響”很小很小（比值相差很小），當“影響”小到幾乎忽略不計時，我們就認為是獨立，這正是辯證法量變到質變原理的具體體現.同樣的道理，我們也可以將互斥事件看作特殊獨立事件，即當事件M發生對事件N發生不僅有影響而且影響很大，大到足以讓另一個事件不可能同時發生，我們就認為是互斥.盡管中學一線教師甚至不少專家學者都認為互斥與獨立事件毫不相干.通過事物之間普遍聯系觀點，深刻揭示這些概念之間內在關聯，這正是概念教學重中之重，這其中滲透了轉化與化歸、有限與無限、或然與必然等數學思想.像這樣的案例在高中數學中處處可見，比如，切線是割線極限位置就徹底解決了一直困擾師生“切線與曲線的公共點個數問題”.其實切線與曲線的公共點可以是一個、二個乃至無數多個，換句話說，是否為切線與公共點個數毫無關系，由此進一步詮釋了初中時所學的切線與圓只有一個公共點的特例只是表明圓是一種特殊曲線而已.再如，圓臺上底面無限縮小的極限位置就是圓錐特例、圓臺上下底面逐步相等時就是圓柱特例，這樣就將三者緊緊聯系在一起，從而有效地破解了學生記不住三者的側面積、全面積、體積等一堆公式的煩惱.再如，圓錐曲線的原始定義，即動點到兩個定點距離的和（差）為定值的點的軌跡是橢圓（雙曲線），本身就蘊含著運動中有靜止，靜止之中時刻在運動，因此幾乎所有的解析幾何綜合問題的最后落腳點都是涉及定值、定點問題就不足為怪，其本源就在于其自身定義本來就蘊含豐富的哲學觀.再如，一直“折磨”一線教師的《任意角三角函數》為何與《解三角形》被教科書主編“活生生”拆開并被編排在不同的模塊之中，就是因為任意角三角函數的產生并不是因為解三角形的需要，更不是初中銳角三角函數的推廣，而是為了描述客觀世界無處不在的周而復始、循環往復的周期現象，說到底，任意角三角函數是為研究“周期現象”而生，而圓周運動則是最佳的模型，因此新課標教科書采用“單位圓定義法”而摒棄長期以來并被大家熟悉的“終邊定義法”就是順應時代的發展、順應課改的理念，這就是章建躍博士在很多文章、著作及講座中一直呼吁一線教師回歸三角函數本質的緣由所在.由此可見，在實施數學概念教學中不僅要滲透數學思想方法，更要加強辯證唯物主義哲學原理的有機融合，特別是聯系與發展的觀點、運動與靜止的觀點、量變與質變的觀點，從而為MPCK理論注入新鮮血液，為數學概念教學奠定堅實基礎.

1.中華人民共和國教育部.普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-3（人教A版）［M］.北京：人民教育出版社，2009.

2.盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計［M］.北京：高等教育出版社，2010.

3.王淼生.追尋三角學發展史領悟主編意圖厘清教學困惑［J］.中國數學教育（高中版），2016（1-2）.

4.王淼生.概念教學不妨嘗試“事后補救”［J］.中小學數學（高中版），2015（12）：40-43.

5.王淼生.論文《這個看似簡單的概率題目，答案到底是多少？》［J］.數學通訊（教師刊），2014（1）：34.

6.王淼生.感悟課改理念洞察教材意圖開展解題教學——從空間向量安排在立幾中的先后次序說起［J］.中學數學教學，2014（5）：1-5.

7.王淼生.利用定積分概念解題的幾個注意點［J］.中國數學教育（高中版），2014（5）：57-60.

8.王淼生.深刻領悟編者意圖深入領會課標教材——對誘導公式的一點思考［J］.中學數學教學參考（上旬），2015（10）.

9.章建躍.如何理解“數學是玩概念的”［J］.中小學數學（高中版），2015（1-2）：封底.

10.王淼生.基于的數學概念教學策略——有意差錯［J］.中學數學雜志（高中版），2016（9）.

11.王淼生.透過現象追根溯源看清本質［J］.中學數學（上），2015（12）.

*本文系全國教育科學“十二五”規劃2015年度單位資助教育部規劃課題“基于數學教學內容知識（MPCK）視角下的概念教學案例研究”（課題批準號FHB150464）研究成果.