追根溯源，挖掘本質(zhì)
——對一類含絕對值的最值問題的探究

☉江蘇省丹陽市呂叔湘中學 蔣志飛

追根溯源，挖掘本質(zhì)
——對一類含絕對值的最值問題的探究

☉江蘇省丹陽市呂叔湘中學 蔣志飛

最近，在高三的一輪復習課堂上接連出現(xiàn)含絕對值的函數(shù)最值問題，筆者在教學中發(fā)現(xiàn)很有規(guī)律可循，現(xiàn)整理成文，與同行探討．

一、例題展示

求函數(shù)f（x）=|x-1|+|2x-1|+…+|2011x-1|的最小值．（2011年高校自主招生聯(lián)盟之一“北約”試題）

眾所周知，函數(shù)f（x）=|x-a|+|x-b|（a＜b）的最小值為ba，此時x∈［a，b］．這不僅可以利用函數(shù)圖像求得，也可以用絕對值不等式的性質(zhì)很快得出結(jié)果．這類問題可以推廣為n元的情況，同樣可以結(jié)合這類函數(shù)的圖像特征，求出相應的最小值，并且發(fā)現(xiàn)有規(guī)律可循．但是，“北約”將這道題繼續(xù)推廣：當絕對值內(nèi)x的系數(shù)不全為1時，函數(shù)的最小值問題．那么這類問題該如何求出，是否具有一般性的規(guī)律呢？下面就借助

二、挖掘探究

先給出引理：函數(shù)f（x）=|x-b1|+|x-b2|+…+|x-bn|（b1＜b2＜…＜bn，n∈N+）一定有最小值．

（1）若n=2k-1（k∈N+），則當x=bk時，f（x）有最小值f（bk），f（bk）=|（b1+b2+…+bk-1）-（bk+1+bk+2+…+b2k-1）|；

（2）若n=2k（k∈N+），則當x∈［bk，bk+1］時，f（x）有最小值f（bk），f（bk）=|（b1+b2+…+bk-1）-（bk+1+bk+2+…+b2k）|．

引理證明：（1）當n=2k-1（k∈N+）時，

f（x）=|x-b1|+|x-b2|+…+|x-bk|+…+|x-b2k-1|（b1＜b2＜…＜bk＜…＜b2k-1）．

由絕對值不等式的性質(zhì)得|x-b1|+|x-b2k-1|≥b2k-1-b1，當且僅當x∈［b1，b2k-1］時，等號成立；

|x-b2|+|x-b2k-2|≥b2k-2-b2，當且僅當x∈［b2，b2k-2］時，等號成立；

……

|x-bk-1|+|x-bk+1|≥bk+1-bk-1，當且僅當x∈［bk-1，bk+1］時，等號成立；

|x-bk|≥0,當且僅當x=bk時等號．

又bk∈［bk-1，bk+1］?［bk-2，bk+2］…?…?［b1，b2k-1］，所以當且僅當x=bk時，以上各式等號同時成立．

故f（x）≥f（bk）=b2k-1-b1+b2k-2-b2+…+bk+1-bk-1

=|（b1+b2+…+bk-1）-（bk+1+bk+2+…+b2k-1）|．

（2）當n=2k（k∈N+）時，同理可得

|x-b1|+|x-b2k|≥b2k-b1，當且僅當x∈［b1，b2k］時，等號成立；

|x-b2|+|x-b2k-1|≥b2k-1-b2，當且僅當x∈［b2，b2k-1］時，等號成立；

……

|x-bk|+|x-bk+1|≥bk+1-bk，當且僅當x∈［bk，bk+1］時，等號成立．

又［bk，bk+1］?［bk-1，bk+2］?…?［b1，b2k］，

所以當且僅當x∈［bk，bk+1］時，以上各式等號同時成立．

故f（x）≥f（bk）=b2k-b1+b2k-1-b2+…+bk+1-bk

=|（b1+b2+…+bk-1）-（bk+1+bk+2+…+b2k）|．

（1）若n=2k-1（k∈N+），則當x=xk時，f（x）取最小值；

（2）若n=2k（k∈N+），則當x∈［xk，xk+1］時，f（x）取最小值．

三、拓展運用

例1求函數(shù)y=|2x-1|+|x-1|+|x-2|的最小值，并求相應x的值．

解：不等式可化為|2x|+|x-2|+|2（x-1）|＞2m，即|x|+|x|+ |x-1|+|x-1|+|x-2|＞2m恒成立．又函數(shù)y=|x|+|x|+|x-1|+|x-1|+|x-2|最小值為f（1）=3，

用此推論，易得“北約”考題解答：f（x）min

四、啟迪和反思

1．注重發(fā)散思維，拓展解題方法

高中數(shù)學是一門重邏輯、重思維的學科，除了涉及到眾多理論內(nèi)容之外，針對不同類型的數(shù)學題目也有諸多求解的方法，所以為了更好地解決有關(guān)的高中數(shù)學問題，需要在明確解題思路的基礎上，合理選擇一些適宜的解題方法來達到快速求解數(shù)學問題的目的，這就要求高中數(shù)學教師在平時的解題教學中要注重拓展學生的發(fā)散性思維，比如通過“一題多解”或者“多題一解”的變式解題訓練可以更好地鍛煉學生的解題思維，從而可以為提升學生的高中數(shù)學求解能力奠定扎實基礎．而高中數(shù)學求解中常用的解題法有構(gòu)建函數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法、反證法以及類比法等多種方法．但是無論采用何種解題法，都需要結(jié)合題干信息及已求解出的條件來合理選用求解的方法，從而最終達到求解的目的．

2．把握解題的適度性，提升解題能力

教學中注重把握解題教學訓練的適度性，避免陷入題海求解訓練，更重要的是要把握解題訓練的精煉特性，以便學生解題訓練的效果最大化．比如，針對不同類型的高中數(shù)學知識，教師可以專門為學生制定一些專項解題訓練題目來進行求解訓練；引導學生在平時的解題過程中要注重及時反思解題過程中的差誤，歸納和總結(jié)解題的一些小技巧、小竅門等解題經(jīng)驗，從而逐步借助高效的解題訓練和解題知識的積累來逐步提升學生的數(shù)學解題能力．

總之，教無定法，貴在得法，高中數(shù)學解題教學也不例外．傳統(tǒng)解題訓練過于重視“就題論題”和“題海訓練”，卻忽視了學生在解題訓練中的自主能動性和思維的靈活性，影響了學生的解題效果．若能注意解題中的一題多解、多題一解等解題思想，注意解題的效率，就能提高學生的解題能力，教師的教學效益．