夯實基礎，舉一反三，注重一題多解
——由一道數列題談高三復習

☉江蘇省 梁豐 高級中學 劉 燕

夯實基礎，舉一反三，注重一題多解
——由一道數列題談高三復習

☉江蘇省 梁豐 高級中學 劉 燕

一題多法可促進學生對基礎知識、基本方法的牢固掌握，提高解題水平，提高運用已學知識分析問題、解決問題的能力，優化學生思維的發散性、深刻性、靈活性等品質，有利于消除懂而不會現象.優法采擷可提高學生的解題速度，優化學生的解題方法和數學思維.注重課本習題的一題多解，從不同角度研究試題，從而提高解題能力.

一、題目

在數列｛an｝中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2（n≥3），你能否寫出它的通項公式？

分析：本題是一道形如an=pan-1+qan-2（n≥3，p，q為常數）的二階遞推數列求解其通項公式的問題，有一定難度，學生普遍感覺無從下手.筆者結合多年的教學實踐，通過不同視角解決，試圖從根本上解決此類問題，供大家學習參考.

二、解題視角

視角1：將an=2an-1+3an-2轉化為an+an-1=3（an-1+an-2）（n≥3）得到數列｛an+1+an｝是以a2+a1為首項，公比為3的等比數列，得到｛an+1+an｝的通項公式，然后再進一步利用構造法進行求解即可.

解法1：由an=2an-1+3an-2（n≥3）可得an+an-1=3（an-1+an-2）（n≥3），

而a1=5，a2=2，則數列｛an+1+an｝是以a2+a1=7為首項，公比為3的等比數列，

即an+1+an=（a2+a1）·3n-1=7·3n-1，則an+1=-an+7·3n-1.

設an+1+x·3n=-（an+x·3n-1），即an+1=-an-4x·3n-1，則-4x= 7，即

解法2：同解法1求出an+1=-an+7·3n-1，將其變形為

視角2：將an=2an-1+3an-2轉化為an-3an-1=-（an-1-3an-2）（n≥3）得到數列｛an+1-3an｝是以a2-3a1為首項，公比為-1的等比數列，得到｛an+1-3an｝的通項公式，再進一步利用構造法也可以將問題得以求解.

解法3：由an=2an-1+3an-2（n≥3）可得an-3an-1=-（an-1-3an-2）（n≥3），而a1=5，a2=2，則數列｛an+1-3an｝是以a2-3a1= -13為首項，公比為-1的等比數列，即an+1-3an=（a2-3a1）·（-1）n-1=-13·（-1）n-1，則an+1=3an-13·（-1）n-1.

設an+1+x·（-1）n=3［an+x·（-1）n-1］，即an+1=3an+4x·（-1）n-1，則于是，數列為首項，公比為3的等比數列，余略.

解法4：同解法3求出an+1=3an-13·（-1）n-1，將其變形為利用累加法可以得到，余略.

視角3：將角度1與2結合求解，將an=2an-1+3an-2分別轉化為an+an-1=3（an-1+an-2）（n≥3）與an-3an-1=-（an-1-3an-2）（n≥3）形式，得到數列｛an+1+an｝和｛an+1-3an｝的通項公式，然后消去兩通項公式中的an+1，進而得到數列｛an｝的通項公式，從而使得問題輕松求解.

解法5：由an=2an-1+3an-2（n≥3）可得an+an-1=3（an-1+an-2）（n≥3），而a1=5，a2=2，則數列｛an+1+an｝是以a2+a1=7為首項，公比為3的等比數列，即an+1+an=7·3n-1.①

由an=2an-1+3an-2（n≥3）可得an-3an-1=-（an-1-3an-2）（n≥3），而a1=5，a2=2，則數列｛an+1-3an｝是以a2-3a1=-13為首項，公比為-1的等比數列，即an+1-3an=-13·（-1）n-1.②

由①-②，得4an=7·3n-1+13·（-1）n-1，

視角4：對于二階遞推數列也可以利用特征根法來解決，可使問題更易于求解.

解法6：由an=2an-1+3an-2（n≥3）可知其對應的特征方程為x2-2x-3=0，求得其特征根為λ1=-1和λ2=3.將等式an= 2an-1+3an-2（n≥3）可變為an+an-1=3（an-1+an-2）（n≥3），而a1= 5，a2=2，則數列｛an+1+an｝是以a2+a1=7為首項，公比為3的等比數列，即an+1+an=7·3n-1.①

an-3an-1=-（an-1-3an-2）（n≥3），而a1=5，a2=2，則數列｛an+1-3an｝是以a2-3a1=-13為首項，公比為的等比數列，即an+1-3an=-13·（-1）n-1.②

由①-②可得4an=7·3n-1+13·（-1）n-1，

解法7：由an=2an-1+3an-2（n≥3）可知其對應的特征方程為x2-2x-3=0，求得其特征根為λ1=-1和λ2=3.

設an=A·（-1）n+B·3n，由a1=5，a2=2可得a1=A·（-1）+B· 3=5，a2=A·（-1）2+B·32=2，即-A+3B=5，A+9B=2，解得A=

對于二階遞推數列an=pan-1+qan-（2n≥3，p，q為常數），可利用其特征方程x2-px-q=0求出特征根λ1和λ2，按特征根將等式變形為an-λ1an-1=λ（2an-λ1an-）2和an-λ2an-1= λ（1an-1-λ2an-）2，可構造等比數列求出an-λ1an-1和an-λ2an-1，通過解方程求解出an即可得到所求；當然也可直接利用待定系數法設出，根據已知條件求解出A，B的值便可將問題得以順利求解（顯然后者更易于同學們接受）.

圖片拼接 由于通過單反相機+魚眼鏡頭拍攝的照片為單獨照片，需要進一步對拍攝的圖像進行拼接，在圖像拼接處理上采用圖像拼接軟件，常用的拼接軟件有PTGui、Pano2VR等[4]。目前部分全景制作者采用Pano2VR軟件進行圖片拼接處理，此款軟件支持輸出HTML5/CSS3格式的全景，操作簡單，只需導入單張全景圖片即可一鍵生成全景圖片，但是此款軟件不能對圖片進行進一步調整，如果圖片色彩、曝光度等關鍵因素不一致，將不能生成完整全景圖片。

三、幾點思考

許多一線教師在高三復習的時候卻忽視課本，輕視課本，而學生在高考考場上的發揮，依靠的是對教材的熟悉、對知識的理解、對方法的掌握、對思想的領會.根據筆者多年的實踐，對高三復習提以下幾點思考：

1.認真研讀考試說明，重視新增內容的復習

高考復習應該以高考說明為依據，特別是新教材新增知識點要特別關注，比如對含有一個量詞的命題的否定，對數的換底公式，五種冪函數的圖像，二分法，合情推理與演繹推理，柯西不等式以及算術幾何平均不等式等.同時，也要對一些降低了要求的知識點不必花費太多精力，如反函數，文科的古典概型的計算（只限列舉法），文科的立體幾何對空間角的計算等等，要了解文理差異，增強復習的針對性.

2.突出主干知識，強調通性通法

在復習過程中，要注意函數與導數，數列與不等式，三角函數與向量，概率與統計，立體幾何與空間向量，直線與圓錐曲線等主干知識的復習與鞏固，加強通性通法的理解、總結和歸納.

3.注重查漏補缺，完善知識結構

高三復習除了要保持良好的復習心態，還要注意正確的復習方法，對平時作業或試卷出現的錯誤，有錯必改，有改必思，學生要及時發現和總結所學知識中的錯誤，在反思中不斷提高自己水平和能力的提高，不斷完善自己知識結構.

4.注重數學能力，強調數學思想

高考對學生能力的考查，以抽象概括能力和推理論證能力為核心，數學解題中通常蘊含豐富的思想與方法，常見思想和方法包括函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、化歸與轉化思想、特殊與一般思想等等.

總之，通過對近幾年高考試題的分析，可以看出，高考試題既注重平穩過渡，又著力內容創新，既注重基礎，又突出能力，既注重通性通法，又提倡創新意識，既注重新增內容，又注意文理差異，所以同學們在平時復習過程中，要認真研讀考試說明，落實新課程理念，跳出題海，回歸課本，注重基礎，加強對數學基本概念、基本思想和方法的學習，尤其是注重培養自己的數學應用意識、抽象概括能力、推理論證能力、數據處理能力和運算能力，這樣才能在高考中取得佳績！