探究化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題過程中的應(yīng)用

☉江蘇省如皋市第一中學(xué) 仇金林

探究化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題過程中的應(yīng)用

☉江蘇省如皋市第一中學(xué) 仇金林

數(shù)學(xué)中的化歸思想是指通過以解題的知識(shí)為載體，卻高于所需解題的知識(shí)，最終將數(shù)學(xué)題完整地解答出來.這也可以說是讓學(xué)生更進(jìn)一步掌握一種數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，也能讓其體會(huì)到在解答過程中的成就感，感知數(shù)學(xué)思想學(xué)習(xí)的重要性，最為直觀的反映就是數(shù)學(xué)成績(jī)上的提升.因此，數(shù)學(xué)化歸思想的學(xué)習(xí)是極為重要的.

一、數(shù)學(xué)化歸思想的內(nèi)涵

我們通過在對(duì)數(shù)學(xué)解答過程中，對(duì)數(shù)學(xué)化歸思想的學(xué)習(xí)，也讓我們了解到化歸思想的學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)學(xué)的解惑是一項(xiàng)很重要的數(shù)學(xué)思想.而化歸思想的學(xué)習(xí)其實(shí)也依托于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)掌握，首先只有對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)整體的學(xué)習(xí)把握很到位，才能更好地掌握數(shù)學(xué)化歸思想.這也說明數(shù)學(xué)化歸思想也就是用已有的知識(shí)來解決新的問題，同時(shí)以此為論據(jù)，建立一種新的學(xué)習(xí)體系，從而讓解題的過程更為嚴(yán)謹(jǐn)正確.

對(duì)高中數(shù)學(xué)本身的學(xué)習(xí)其實(shí)也是對(duì)思想方式的學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)化歸思想的學(xué)習(xí)是貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，從最簡(jiǎn)單的加減乘除到函數(shù)、幾何、代數(shù)的學(xué)習(xí).這都是一步步讓我們理解數(shù)學(xué)化歸思想，也是讓我們知道在解答的過程中，我們不一定非得用該題有關(guān)的知識(shí)來解答，只要是我們所學(xué)的或者是正確的數(shù)學(xué)知識(shí)都可以實(shí)現(xiàn)對(duì)問題的解答.例如，我們?cè)趯?duì)立體幾何試題的解答過程中，可以通過將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何的形式來解答，這其實(shí)就是將立體的幾何空間轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫娲鷶?shù)的問題來處理.同樣，我們?cè)诮鉀Q三角函數(shù)問題時(shí)，可以利用公式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值的問題，三角函數(shù)的問題其實(shí)大部分都可以利用這一公式來處理，這也說明相關(guān)的函數(shù)問題都可以利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來思考，也可以利用函數(shù)的單調(diào)性、極值等來解答.我們將一般問題轉(zhuǎn)化為特殊問題、將間接問題轉(zhuǎn)化為直接問題等等，這都是化歸思想的運(yùn)用.

二、化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題過程中的應(yīng)用

1.在學(xué)習(xí)函數(shù)中，學(xué)會(huì)動(dòng)靜之間的轉(zhuǎn)化

我們?cè)诟咧泻瘮?shù)的學(xué)習(xí)中，對(duì)解答的過程是利用變量的關(guān)系轉(zhuǎn)化為定量的學(xué)習(xí).舉例來說，我們?nèi)粘W(xué)習(xí)中運(yùn)動(dòng)靜止的轉(zhuǎn)化，這在一定層面上，可以說明數(shù)學(xué)問題也是可以通過日常的學(xué)習(xí)為我們提供解答的基礎(chǔ).我們也可以將數(shù)學(xué)中的問題在轉(zhuǎn)化為日常中的問題時(shí)，進(jìn)行假設(shè)學(xué)習(xí)，利用排除法解決，將抽象的問題轉(zhuǎn)變成具體問題，從而也可以借助函數(shù)的形式來顯示出來.同樣的，將兩個(gè)變量的問題轉(zhuǎn)化為定量的問題，實(shí)現(xiàn)動(dòng)靜結(jié)合，相互轉(zhuǎn)化.在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，這種學(xué)習(xí)方式我們是可以解答很多問題的.下面我們以蘇教版高中數(shù)學(xué)為例，對(duì)化歸思想在解題中的應(yīng)用進(jìn)行探討.

對(duì)于這個(gè)問題的分析，它所屬的知識(shí)是很基礎(chǔ)的，但是也包含了較多的函數(shù)知識(shí)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)動(dòng)靜之間的相互轉(zhuǎn)化.從表面上分析都屬于靜態(tài)的變量，我們可以通過化簡(jiǎn)將這兩個(gè)變量轉(zhuǎn)化為定量，實(shí)現(xiàn)動(dòng)靜的轉(zhuǎn)變，其主要解題過程如下：在解答過程中，我們可以進(jìn)行構(gòu)造以下函數(shù)當(dāng)成同一函數(shù)當(dāng)自變量分別取2與時(shí)的函數(shù)值，從而實(shí)現(xiàn)將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)變?yōu)槲覀兯熘暮?jiǎn)單問題.函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)，最后就可以利用函數(shù)思想將這道題解答出來.通過對(duì)這道題的解答，我們不僅實(shí)現(xiàn)動(dòng)靜的結(jié)合轉(zhuǎn)化，也將函數(shù)的思想進(jìn)行貫穿運(yùn)用，從而讓這道題變得更為簡(jiǎn)單.

2.在等式中，學(xué)會(huì)將不等式轉(zhuǎn)化為等式

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，對(duì)等式的學(xué)習(xí)也是一重要部分，這也是關(guān)鍵模塊之一.對(duì)等式的學(xué)習(xí)也是屬于基礎(chǔ)性的知識(shí)，等式的內(nèi)容也包括不等式等知識(shí)的學(xué)習(xí)，同時(shí)在等式的學(xué)習(xí)中，也可以利用幾何、函數(shù)、方程等內(nèi)容相互結(jié)合進(jìn)行出題，從而構(gòu)成一個(gè)綜合性較強(qiáng)的題型.對(duì)于類似于這類綜合性的復(fù)雜題，所解答的內(nèi)容知識(shí)點(diǎn)也是由一點(diǎn)一點(diǎn)的基礎(chǔ)知識(shí)累積起來.對(duì)于這種逐一解決的思想形式，我們也可以利用數(shù)學(xué)化歸思想來回答問題，從而實(shí)現(xiàn)解答的過程簡(jiǎn)單化，也讓我們解答的思路更清晰簡(jiǎn)潔.下面我們就來舉例說明：

案例2如果不等式|ax-3|≤1的解集是｛x|2≤x≤4｝，求實(shí)數(shù)a的值.

看到這個(gè)問題，我們可以利用化歸思想分析如下：這是不等式的解集問題，我們可以將端點(diǎn)的值代入后實(shí)現(xiàn)等式的成立，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)實(shí)數(shù)a的求解.根據(jù)分析，解答的過程如下：|ax-3|=1的兩根分別是2和4，那么可以得出由此能夠解出a的值為1.根據(jù)此題型，我們可以得出在針對(duì)有關(guān)不等式的解集相關(guān)的問題的時(shí)候，將不等式轉(zhuǎn)化為等式問題，就能將復(fù)雜無限的區(qū)間轉(zhuǎn)變?yōu)楹?jiǎn)單的固定值，從而最終實(shí)現(xiàn)解題目的.

3.在數(shù)列中，學(xué)會(huì)等差、等比的運(yùn)用

在高中數(shù)列這一模塊中，包含等差、等比知識(shí)的學(xué)習(xí)，通過利用等差、等比的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)從而將數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和進(jìn)行求知，并且這一題型也是在數(shù)列的解答過程中一重要題型，并且這也是近年來高考的重要題型之一.在對(duì)數(shù)列的解答過程中，利用遞推公式來解決問題，也是其中的方法之一，利用遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式，將問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的等差等比知識(shí)來解決，從而將問題慢慢解答，這也是體現(xiàn)出數(shù)學(xué)化歸思想.下面我們舉例說明：

在對(duì)蘇教版數(shù)學(xué)課本的學(xué)習(xí)中，利用疊加法就可以得到等差、等比數(shù)列，利用疊加法得到了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an-an-1=d.但是在一般情況下，這類題只會(huì)出現(xiàn)在選擇填空類的基礎(chǔ)題型中，最后的大題必然是綜合性的復(fù)雜題型，所以在考試過程中，會(huì)出現(xiàn)an-an-1=f（n）相類似的等差數(shù)列的遞推公式.根據(jù)這一問題我們舉例說明：

案例3已知a1=1，n≥2時(shí)，an-an-1=n-1，求an.

通過對(duì)題干的分析，我們知道這只是一道簡(jiǎn)單疊加的等差數(shù)列題.解答過程如下：因?yàn)閍2-a1=1，a3-a2=2，a4-a3=3，以此類推，an-an-1=n-1，上述式子進(jìn)行相加能夠得到an-a1=1+2+3+…+（n-1），因此

我們?cè)谑褂茂B加法獲得通項(xiàng)公式的時(shí)候，其實(shí)可以得到兩種基本特征：一是在疊加之后，等式兩邊可以通過錯(cuò)位相減來進(jìn)行消除；二是在等式的右邊一定是可以進(jìn)行簡(jiǎn)單快捷的求和的.這些都是體現(xiàn)出數(shù)學(xué)化歸思想的應(yīng)用和學(xué)習(xí).

三、數(shù)學(xué)化歸思想的學(xué)習(xí)和對(duì)策

1.充分掌握課本上的知識(shí)點(diǎn)

高中數(shù)學(xué)課本本身就是我們學(xué)習(xí)知識(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，也是我們解答的基礎(chǔ)，同時(shí)也是我們?cè)诮忸}過程中獲取思路的重要途徑，也是對(duì)我們數(shù)學(xué)化歸思想的學(xué)習(xí)基礎(chǔ).因而我們首先應(yīng)該對(duì)課本上的內(nèi)容進(jìn)行深度熟知挖掘，才能進(jìn)行了解數(shù)學(xué)化歸思想，這也說明復(fù)雜的知識(shí)點(diǎn)也是在基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)上發(fā)展起來的.

2.從題型中找到知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用

當(dāng)我們對(duì)知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)完之后，只有在練習(xí)的過程中，才能加深我們對(duì)數(shù)學(xué)化歸思想的學(xué)習(xí)，也能有效避免我們的遺忘.同時(shí)，在解題的過程中，我們學(xué)習(xí)掌握其他的思維方式，重要的也是對(duì)解答思路的分析.在題型的訓(xùn)練中，我們能夠梳理解答思路，從而掌握正確的數(shù)學(xué)化歸思想的學(xué)習(xí).

3.對(duì)題型盡可能實(shí)現(xiàn)一題多解

對(duì)數(shù)學(xué)問題的解答也是可以利用多種方法解答的，實(shí)現(xiàn)一題多種解答思路.在解答問題的過程中，很多時(shí)候我們發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)的解答思路和答題方法是可以多樣化的.這樣就說明，我們可以掌握一種解答思維方式就可以解答多種題型，所以，在實(shí)現(xiàn)問題解答的過程中，我們可以很清晰的發(fā)現(xiàn)，從不同的角度發(fā)現(xiàn)問題，這也是有助于我們對(duì)數(shù)學(xué)化歸思想的學(xué)習(xí).

4.對(duì)每個(gè)題型的解答思路進(jìn)行分析

我們?cè)诮獯饐栴}的過程中，不僅僅需要找到正確的答案，更多的是知道對(duì)數(shù)學(xué)思維方式的學(xué)習(xí).所以當(dāng)我們?cè)诮獯鸬倪^程中，通過建立一個(gè)完整的思維體系，有助于我們真正掌握和理解數(shù)學(xué)化歸思想的學(xué)習(xí).若我們沒有對(duì)某一方面的知識(shí)點(diǎn)掌握透，也可以通過自己查閱資料或詢問老師，這有助于幫助我們對(duì)數(shù)學(xué)化歸思想的學(xué)習(xí).

四、結(jié)語

綜上所述，對(duì)數(shù)學(xué)化歸思想的學(xué)習(xí)要從基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)開始學(xué)習(xí)，并在不同題型的練習(xí)中加深運(yùn)用.明確掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化歸思想的方法，有助于我們將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，從而實(shí)現(xiàn)最終的解答.在對(duì)高中數(shù)學(xué)的解答問題中，對(duì)思維方式的有效運(yùn)用能夠有效幫助我們提高解題能力.將數(shù)學(xué)化歸思想逐漸滲透到課堂應(yīng)用教學(xué)中，并運(yùn)用到解答數(shù)學(xué)題目的過程中，最終實(shí)現(xiàn)增加學(xué)生數(shù)學(xué)能力和提升其思維能力的目標(biāo).