近代歐洲幾何與繪畫結合的基本方式

楊紅彥

摘 要：考證概括了文藝復興時期的藝術家將希臘傳統的古典幾何知識用于藝術創作的過程。比較分析了達·芬奇、丟勒等人的重要著作及其手稿中的透視、比例和構型問題。說明在文藝復興特定的歷史背景和時代氛圍中，藝術家強調寫實與審美的結合，而數學成為寫實的重要手段。他們的工作促進了數學和藝術的共同發展，同時，此種方法影響了歐洲后來的繪畫。

關鍵詞：文藝復興；幾何學；藝術；刨分；組合；中世紀

繪畫和幾何學都是空間的“刨分-組合”，長期以來人們認為作為數學的幾何與作為藝術的繪畫之間沒有直接關聯：幾何基于空間部分的簡單重復，而繪畫則強調多變（部分與部分不同）。但是文藝復興時期的藝術家卻從幾何學的角度考慮繪畫問題。數學在藝術中的應用是藝術發展的一個巨大的轉折，這是與當時的歷史和文化背景相關的。

中世紀藝術家的作品大都是宗教題材，他們把超越世界中的事件用直觀的圖形表達出來，因而與基于視覺的經驗事件有很大差異。除了極個別的例外，中世紀繪畫是是一種“寫意”畫，一種向平信徒宣講圣經故事和宗教教義的工具，往往借用象征和夸張的手法，表達關于天堂的宏偉圖景。例如人物畫的背景用金色渲染，襯托他們所處天堂的富麗堂皇。中世紀藝術家Simone Martini的著名的作品“天使”（The Annunciation）是中世紀繪畫的代表作。

受希臘復興的影響，人文主義藝術家強調 “寫實”，即精確、真實地反映視覺對象的空間結構。和自然哲學家用數學描述世界圖景的思路相似，15世紀的藝術家強調真實而審美地再現對象，認為數學是真實性的基礎。同時，文藝復興時期的藝術家是一種博學多才的人文主義者，他們研究力學、建筑、光學、解剖學，等等，精通建筑、工程、希臘數學。他們自覺利用數學知識于藝術創造活動之中，甚至于專門從事數學教學，寫出獨特的數學專著（mathematics in art）。最為典型的代表是幾何與繪畫的結合，主要方式是透視、比例和空間構形。

一、透視問題

以數學或幾何學的方式真實地反映物體對象，首當其沖的是物體如何把三維空間的物體表達在二維空間（畫面）之中，即透視問題。藝術家在把三維視覺和內在直覺中的空間結構“轉移”到二維畫面上的嘗試中，發現幾何學似乎是有效的運載工具。希臘人也考慮到透視問題，但那是零散個別的例子，而且是獨立于數學幾何學的。而近代藝術家直接從數學角度考慮透視問題，最早關注透視問題的是Giotto（1266/7 – 1337），他用代數方法（學藝數學）計算遠近實物的畫面比例。

文藝復興時期的歐洲學者受al-Haytham和Giotto的影響，al-Haytham最先提出視覺是人的眼睛接受反射光。利用幾何學主要是想真實地再現實物的結構。Filippo Brunelleschi（1413）是最早明確提出透視原理的著作，Filippo Brunelleschi于1425年在設計描畫佛羅倫薩教堂的手稿中提出定點透視。Jan van Eyck的Arnolfini Portrait（1434）和Parmigianino的“自畫像”（Self-portrait in a Convex Mirror）引入不同于直線透視的曲線透視（curvilinear perspective）。

最先系統論述幾何透視的是Alberti的《論繪畫》（On painting 拉丁語原作De pictura，1435）。他的《論繪畫》共三部分。第一部分專門討論了繪畫的幾何學原理。他認為：繪畫在本質上是一種幾何學，提出明確的“定點透視”，提出明確的沒影點（vanishing point）。他的《論繪畫》（On Painting 1435）集中討論透視法則——如何把三維實物真實地反映在二維畫布上去，是系統論述透視的第一部著作。Alberti 提出視錐（visual pyramid或visual cone）截景的概念。Leon Battista Alberti （1404–72）的關于繪畫藝術的著作有很大影響，同時使得傳統的藝術從手工技藝走向理性知識。

Alberti的學生Piero是藝術幾何化的后繼者，他的包含大量插圖的手稿（保存在梵蒂岡）《論算藝》Del abaco （On the Abacus）是一部實用數學手冊，和達·芬奇的風格相似。他深入研讀希臘數學，特別是阿基米德的著作，他在學藝學校（abacus schools）教授數學，編寫數學教材。歷史學家Vasari的《畫家的生活》稱其為那個時代最偉大的幾何學家。Piero對Luca Pacioli 和達·芬奇有直接影響。

Luca Pacioli （1446– 1517）出生于意大利，是著名數學家、方濟會修士，被稱為 “會計學之父”。他的《算術、幾何、比例及比例論總論》（1494，1523）是文藝復興時期的數學著作代表，直接影響了達·芬奇。所以，達·芬奇第一次提出“藝術是一門科學”，這批藝術家為了真實地反映對象而研究透視學和解剖學。當然藝術中的科學是一個手段，是通過“藝術—科學—藝術”而達到一種更高的藝術。其典型的代表就是把二維畫布上真實地反映三維空間中的實物變成為具體的幾何學問題。他提出兩種透視方法：即藝術透視和自然透視（artificial perspective and natural perspective）。這些具有豐富的科學知識的藝術家的幾何方法和藝術創作互相影響。丟勒的兩幅作品給出“透視-截景”（projection and section）原理的解釋，這種原理被純數學家發展為一門重要的幾何學，其中涉及不同于歐幾里得幾何的新的“不變性或等價性”。

另外，文藝復興時期的學者在繪制地圖過程中傳播和改進了希臘人的投影法。麥卡托（G.Mercator，1512～1594）提出著名的Mercator投影法（Miller projection），即“畫一個保形地理地圖，其坐標方格是由直角方格組成的”，他選擇對數函數作為解析變換。與繪畫中的透視方法非常接近。Egnatio？Danti（1583）概括了透視學的歷史，從中可見16世紀的藝術家程度不同地用幾何方法研究透視問題。

二、比例問題

Pacioli的《算術、幾何和比例概論》（1495）是人文主義的混合數學的代表，其中很多問題都以繪畫中的比例問題為例。特別是他的《神圣比例》（De Divina Proportione 1509）是一部繪畫比例的專著，其中包含達·芬奇關于黃金比例問題的論述。

另一個典型的代表丟勒（Albrecht Dürer，1471—1528）出于繪畫的需要而學習數學，但也不限于繪畫的需要。他是文藝復興時期畫家中最優秀的數學家，也是數學家之中最優秀的畫家。他出生于德國的紐倫堡，和那個時代的許多知識分子一樣，早年在意大利留學，跟Pacioli學習數學，后來回到德國從事創作和印制版畫。他在幾何學方面的工作與他的藝術創作融為一體。他把幾何學作為藝術創作的一種重要的技術手段。他說：“藝術家之所以忽視他們創作中的錯誤，唯一的理由是他們缺乏幾何知識，沒有幾何知識無法成為真正的藝術家……正因為幾何學是一切繪畫的恰當基礎，所以我決意要為那些渴望成為藝術家的人教授基本的幾何原理。”他的著作主要有“度量四部”（第一部德語數學著作），是重要的幾何學著作。其中第一卷討論螺線、擺線等線性問題；第二卷是平面幾何，主要內容是正多邊形；第三卷主要是幾何學在工程、建筑和版畫制作方面的應用；第四卷是立體幾何，包括五種正多面體，同時涉及大量透視問題。丟勒把繪畫中的待比例、對稱問題數學化，通過幾何構圖和算術計算獲得具有審美意義的空間比例關系。

他關心幾何的視角不同于希臘人，他欣賞托勒密的幾何學勝于歐幾里得，是透視的幾何化的標志。他考慮了空間曲線透射到平面上的方法，還考慮了一個物體的三視圖，涉及到后來的畫法幾何。他的書主要是繪畫技法方面的內容，這和幾何學還有一段距離，但體現著一種全新的空間關系，它們是建立幾何學的材料基礎。他的幾何學主要是比例和透視問題，其中最為重要的是人體的比例、建筑的比例以及它們之間的關系。

丟勒之后Federico Commandino把透視的幾何原理從繪畫推廣到地圖繪制。以前的藝術家大都是給弟子們講授畫技而用幾何方法（rules for artists），但Federico Commandino的教科書主要是為數學家，而非藝術家所寫。可見源于繪畫的數學問題成為新的數學研究領域。

后來，Michael Maestlin在給他的學生開普勒的信（1597）中給出黃金數的近似值（0.6180340），開普勒證明黃金數是斐波那契數列的極限，稱其為數學和藝術的“寶石”，可見比例問題在藝術和數學中產生了同樣重要的影響。

Jean Fernel的《論比例》（1528）進一步發展和完善了Thomas Bradwardine的比例理論，與丟勒的工作一同構成數學比例在繪畫中的應用代表。

三、構形問題

除了透視的技法，文藝復興時期的藝術家是否進一步思考“數學與藝術”的深層關聯。

幾何學對繪畫影響的另一種方式是幾何圖形的結構在繪畫中的應用，如借助于幾何方法的藝術表達手段是Anarnorphic Art。把圓柱、圓錐、球等對稱的幾何圖形用來解釋和勾畫繪畫草圖。Brunelleschi和Alberti（1415）把歐氏幾何中的相似三角形用于繪畫。

把具體的幾何形體用于繪畫的最典型的代表是Piero，他其實是一位數學家，他的數學課本（Trattato d'abac，1450）包括算術、代數、幾何等，其中涉及透視幾何的內容。Piero在《簡論五種正則立體》（Short book on the five regular solids，1460或者1470）中提出：繪畫有三條基本原則，構圖、比例和色彩（drawing， proportion and colouring），構圖和比例都與數學有關，而構圖就是用具體的立體幾何形體作為繪畫的基礎。

丟勒的數學工作不限于透視，而是更加寬泛的“幾何”用于繪畫，特別是他的繪畫涉及數學曲線與點的對偶關系的“包絡線”（envelope），（丟勒（1525）， p 38），或許只有藝術家才首先想到用“線構成線”這樣的思路。Wentzel Jamnitzer 的優美的《柏拉圖立體》（1568）研究了柏拉圖的正則多面體在繪畫中的應用。

丟勒認為人體是各種幾何圖形按照一定比例的組合，例如整個人體可以看成是一個圓柱，然后各個部分可以看做是三角形、長方形；球、各種椎體、柱體等。這說明當時的繪畫大師很相信數學的實在性，認為是寫實藝術的重要手段。所以文藝復興時期的繪畫可以說是“幾何之骨架與藝術之血肉的完美結合”。后來Leibniz （see Leibniz 1694a）， Joh. Bernoulli and de LHospital等數學家也考慮過相似的問題。

丟勒多面體成為一個獨特的幾何與藝術的結合，也成為一個神秘問題。丟勒的畫中還有一個“丟勒幻方”。Bachet寫的有關數學謎題的專門著作（Problemes plaisans et delectables. by Claude Gaspar Bachet， published in France in 1612，法語寫作的），構造了幻方，成為此后趣味數學的摹本。

Masaccio把Brunelleschi的原理用于繪畫。這些思想一直影響到現代，精通希臘數學的Della Francesca有關立體幾何的著作把歐幾里得幾何用于空間透視，他的《論算藝》和《正則立體》本是數學著作，但很多例子都是來源于繪畫。

達·芬奇還給出一個畫圓為方問題的非尺規解法。他還給出一個方法計算眼睛到物體之間的距離。

總體來說，算藝數學發展不同于傳統（scholarly traditions）的demonstration and proof新的數學合理性標準或者推演方式。文藝復興時期的藝術家、工程師、建筑師提出現代幾何問題，這和測地術中實用問題以及其他的技術（technology）應用不同，這里是一種技藝（arts）問題，這是工匠傳統的方式之一。這時候很多數學是從實際問題出發，但程度不同地都發展到純數學的水平，如三角學和對數。相比之下透視學尚處于學藝技術的水平。

或許，藝術的數學解釋或者數學方法在藝術中的應用具有雙重意義：一方面是成功把握模特的形體特征；另一方面是埋下異化藝術的可能。這是一個值得深思的問題！

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作者單位：

天津師范大學美術與設計學院