初中數學解決直角三角形問題常見的幾種途徑

任龍華

(江蘇省海安縣大公初中 226600)

初中數學教材中有不少關于直角三角形的相關知識，如直角三角形的兩個銳角互余、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、勾股定理和逆定理、利用三角函數解直角三角形、圓周角的推論和直角三角形全等或者相似的判定等等.其中，解決直角三角形問題常見的途徑有勾股定理、直線解析式法和構造相似三角形等.下面就一些就有關直角三角形的一些常見題型加以解析說明，與同行們進行探討．

一、運用勾股定理解決相關直角三角形問題

問題1 在Rt△ABC中，AC=3,BC=4,當AB等于多少時，△ABC為直角三角形．

點評本題主要考查了初中數學中的勾股定理知識和分類討論的數學思想．勾股定理可以解決直角三角形的一些邊長問題，在現實生活和數學中有著廣泛的應用．同時，此題要引導學生仔細審題，弄清楚題意，要分情況加以討論，防止學生遺漏，只考慮一種情況．

二、運用直線解析式法解決有關直角三角形問題

人教版八年級數學上冊第十四章《正比例函數》中，通過直線平移，對其解析式的變化規律，我們可以得出結論：當直線互相平行時，它們的解析式中的k相等；再進一步的觀察發現，當兩條直線互相垂直時，它們解析式中的k互為負倒數，即k1·k2=-1．利用此規律，我們就可以解決一些有關的直角三角形或者垂直的相關問題．

解析我們注意到本題中，直線CD⊥AB，如果它們的直線解析式中的k分別為：k1、k2，我們利用規律則有k1·k2=-1，從而求出k2=-2．進而，我們設直線CD的解析式為y=-2x+b，再將點C(0,-1)代入，求出b=-1，所以直線CD為y=-2x-1．

點評雖然利用直線解析式k1·k2=-1的結論解決一些直線互相垂直問題或者直角三角形的問題對于初中生不作一般的要求，到了高中的平面解析幾何中就比較常見．但此結論在人教版教材的書后習題中出現了，教者一般都作了補充說明，學生根據此結論解決相關的題型就會顯得很簡便．

三、通過構造相似三角形解決相關直角三角形問題

盤點各省市近幾年的中考題，通過構造相似三角形解決等腰三角形或者直角三角形的問題經常會不斷涌現，常見于求直角三角形未知點的坐標等．

問題3 在平面直角坐標系中，已知點A(0,1),B(5,6)，在x軸上找一點C，使△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，則C點坐標為多少？

點評通過作輔助線，我們要善于在題目中發現和構造基本圖形，利用全等三角形或者相似三角形解決問題．從“三垂直型”到“三角相等型”，我們會發現很多直角三角形題目中都具有“三角相等型”，這類題目顯而易見，選擇構造相似三角形解題來得方便．本題中以AB中點為圓心，AB為直徑作圓，如果與x軸有交點，那就是C點．

當然，對于上面的問題3，解法并不唯一，除了利用構造相似三角形來解決以外，我們也可以利用勾股定理、直線解析式或者根據中點公式再結合直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識來解決．

在解決直角三角形相關的綜合問題時，有時這三種不同的方法都可以運用，學生可以根據具體情況選擇一種比較簡便的方法來解題或者將這三種方法中的某兩種結合起來使用，使得解題過程更簡便．

問題4 在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸的兩個交點分別為A(-3,0),B(1,0)，過頂點C作CH⊥x軸于點H．

(1)直接填寫：a=____,b=____,頂點C的坐標為____；

(2)在y軸上是否存在點D,使得△ACD為直角三角形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，說明理由；

解析第(1)問中，直接將A、B兩點的坐標代入，得到關于a、b的方程組，求出a=-1，b=-2，從而得出拋物線的解析式．再根據拋物線的軸對稱性，把x=-1代入解析式，得到y=4，所以頂點為C(-1,4)．第(2)問，由于題目沒有指明△ACD中哪個角是直角，所以要分三種情況進行討論，而同時這三種途徑都可以用來解決本題中的直角三角形問題．

最后，方法三：我們還可以構造相似三角形來解題．分三種情況：

當然，學生可以從中選擇其中一種的方法解題，或者當C點、A點為直角頂點時，學生可以選擇直線解析式法比較簡便，當D點為直角頂點時，選擇構造相似三角形解題比較簡便，也就是將其中兩種方法結合起來解題，這樣比較快捷靈活、簡便易懂．

總而言之，對于數學學習，要進行整理和歸納總結，把知識的點、線、面結合起來交織成知識網絡，納入自己的知識體系，以此引領學生的真正掌握.

[1]劉輝.初中數學例題教學現狀研究[D]. 武漢：華中師范大學 ,2013.