有效運(yùn)用合情推理，發(fā)展學(xué)生推理能力

毛金兵

摘 要：合情推理能力是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心問(wèn)題之一，也是發(fā)展學(xué)生推理能力的重要任務(wù)之一。本文通過(guò)深入挖掘合情推理素材、構(gòu)建合情推理橋梁、關(guān)注合情推理過(guò)程、把握合情推理本質(zhì)，讓學(xué)生經(jīng)歷推理活動(dòng)，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，思辨合情推理的兩面性，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力。

關(guān)鍵詞：合情推理；推理能力；推理素材

合情推理能力是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心問(wèn)題之一。2011版《小學(xué)數(shù)學(xué)新課標(biāo)》指出：推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)與生活中經(jīng)常使用的思維方式。因此，作為數(shù)學(xué)教師，我們應(yīng)該在平時(shí)的課堂上滲透合情推理，選取合理的教學(xué)內(nèi)容與材料，分層次、分階段地讓推理思想貫穿“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”等四個(gè)領(lǐng)域。為了積累合情推理的教學(xué)策略，筆者在自己的數(shù)學(xué)課堂上展開了培養(yǎng)學(xué)生推理能力的實(shí)踐活動(dòng)。

一、深入挖掘合情推理素材，讓學(xué)生經(jīng)歷推理活動(dòng)

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)法則、數(shù)學(xué)性質(zhì)都是以前數(shù)學(xué)家通過(guò)合情推理得到的結(jié)論，也是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中進(jìn)行合情推理的最佳素材。因此教師要多研究數(shù)學(xué)教材，深入挖掘教材中關(guān)于合情推理的素材，尋找發(fā)展學(xué)生推理能力的生長(zhǎng)點(diǎn)。如筆者在教學(xué)蘇教版五年級(jí)下冊(cè)第五單元“分?jǐn)?shù)加法和減法”一課時(shí)，教材先出示一道生活實(shí)際問(wèn)題并列式，再分別用計(jì)數(shù)單位、折一折、畫一畫來(lái)說(shuō)明分?jǐn)?shù)加法的計(jì)算過(guò)程，最后總結(jié)出分?jǐn)?shù)加法的計(jì)算法則。

師：同學(xué)們，我們一起來(lái)讀一讀題目——明橋小學(xué)有一塊長(zhǎng)方形試驗(yàn)田，其中種黃瓜，種番茄。黃瓜和番茄的面積一共占這塊地的幾分之幾？請(qǐng)你在練習(xí)本上列式計(jì)算。

生1：+，分子1加1等于2，分母2+4=6，所以答案是，也就是。

生2：+，我不同意生1的做法，我是用畫圖的方法算出答案是。

生3：+，我也不同意生1的做法，分母不同，也就是分?jǐn)?shù)單位不同，所以我們不能直接相加。我是這樣算的，先通分化成同分母分?jǐn)?shù)，+=+=。

師：通過(guò)大家的智慧，我們終于解決了分?jǐn)?shù)加法的題目，回想一下我們是用什么方法解決這道題目的？

生：遇到分母不同的分?jǐn)?shù)加法，我們要先通分化成同分母分?jǐn)?shù)后再計(jì)算，結(jié)果能約分的要約分。

在這個(gè)教學(xué)片段中，教師放手讓學(xué)生在獨(dú)立思考和小組交流活動(dòng)中尋找解決問(wèn)題的策略，學(xué)生通過(guò)交流討論想到用畫圖或折紙的方法來(lái)解決分?jǐn)?shù)加法問(wèn)題，此時(shí)學(xué)生就經(jīng)歷了從形到數(shù)的推理過(guò)程。接著，學(xué)生從+概括出分?jǐn)?shù)加法的計(jì)算法則，這個(gè)過(guò)程中學(xué)生經(jīng)歷了不完全歸納推理。

二、構(gòu)建合情推理橋梁，讓學(xué)生推理有理有據(jù)

學(xué)生展開合情推理的前提條件是學(xué)生頭腦中已經(jīng)具備了同化新知的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，這個(gè)經(jīng)驗(yàn)可以是生活經(jīng)驗(yàn)，也可以是知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維以具體直觀思維為主，這就決定了他們?cè)谟?jì)算幾何圖形的面積時(shí)，會(huì)用已經(jīng)學(xué)過(guò)的幾何圖形面積進(jìn)行類比推理。如筆者在教學(xué)蘇教版五年級(jí)上冊(cè)第二單元“多邊形的面積”一課時(shí)，學(xué)生在熟悉三角形、平行四邊形、梯形等規(guī)則圖形面積計(jì)算的基礎(chǔ)上，運(yùn)用圖形的分割與填補(bǔ)解決了不規(guī)則圖形的面積計(jì)算問(wèn)題。

師：華豐小學(xué)校園里有一塊草坪（如圖1），你能計(jì)算出它的面積是多少平方米嗎？

生1：我把這個(gè)不規(guī)則圖形分成長(zhǎng)方形和梯形。長(zhǎng)方形的面積是12×4=48平方米，梯形的面積是（12+15）×（10-4）÷2=81平方米，那么不規(guī)則圖形的面積是48+81=129平方米。

生2：我把這個(gè)不規(guī)則圖形分成三角形和長(zhǎng)方形。三角形的面積是3×6÷2=9平方米，長(zhǎng)方形的面積是12×10=120平方米，那么不規(guī)則圖形的面積是9+120=129平方米。

生3：我把這個(gè)不規(guī)則圖形先補(bǔ)成長(zhǎng)方形，再用長(zhǎng)方形面積減去梯形的面積就是不規(guī)則圖形的面積。長(zhǎng)方形的面積是15×10=150平方米，梯形的面積是（4+10）×3÷2=21平方米，那么不規(guī)則圖形的面積是150-21=129平方米。

師：很好，我們用自己的方法解決了這些問(wèn)題，想一想我們?cè)谶M(jìn)行圖形的割補(bǔ)時(shí)，要注意什么？

生：我們要根據(jù)原來(lái)圖形的特點(diǎn)進(jìn)行思考，利用已知條件計(jì)算簡(jiǎn)單圖形的面積，可以用不同的方法進(jìn)行割補(bǔ)。

在這個(gè)教學(xué)片段中，學(xué)生遇到新問(wèn)題時(shí)，通過(guò)合情推理構(gòu)建起“已知知識(shí)”和“未知知識(shí)”之間的橋梁，使得學(xué)生能順利地找到問(wèn)題的突破口。這樣的教學(xué)安排不僅降低了學(xué)生的思維難度，還有助于教師在教學(xué)中滲透類比推理思想，幫助學(xué)生解決不規(guī)則圖形面積的計(jì)算問(wèn)題。

三、關(guān)注合情推理過(guò)程，讓學(xué)生的推理有借鑒

培養(yǎng)學(xué)生的推理能力是整個(gè)小學(xué)階段數(shù)學(xué)教師需要完成的任務(wù)，教師要尋找適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)，關(guān)注合情推理的過(guò)程，讓學(xué)生在推理之路上模仿借鑒，然后加深對(duì)推理思想的印象。如筆者在教學(xué)蘇教版六年級(jí)下冊(cè)第二單元“圓柱和圓錐”一課時(shí)，運(yùn)用類比推理的教學(xué)模式，先讓學(xué)生回憶長(zhǎng)方體的體積公式，再猜想圓柱體的體積公式，最后驗(yàn)證圓柱體的體積公式。

師：下面長(zhǎng)方體、正方體和圓柱體的底面積相等，高也相等。長(zhǎng)方體和正方體的體積相等嗎？為什么？

生：不相等。因?yàn)殚L(zhǎng)方體和正方體的體積都是底面積乘高，題目告訴我們這些圖形的底面積相同，高也相同，所以長(zhǎng)方體和正方體的體積是相等的。

師：那你們猜一猜，圓柱體的體積與長(zhǎng)方體、正方體的體積相等嗎？你們能用什么辦法驗(yàn)證呢？請(qǐng)你在小組內(nèi)說(shuō)一說(shuō)。

（學(xué)生動(dòng)手操作、交流，教師巡視并進(jìn)行適當(dāng)指導(dǎo)。）

生：我想把圓柱體切開，可以拼成長(zhǎng)方體。

師（課件演示）：我們把圓柱的底面平均分成16份，如果把這個(gè)圓柱體的底面平均分成32份、64份……切開后拼成的物體會(huì)是什么呢？

生：平均分的份數(shù)越多，拼成的物體就越接近長(zhǎng)方體。長(zhǎng)方體的底面積等于圓柱體的底面積，長(zhǎng)方體的高等于圓柱體的高，所以長(zhǎng)方體的體積等于圓柱體的體積。

師：看來(lái)我們理解了為什么圓柱體的體積等于底面積乘高?；仡櫼幌聢A柱體體積公式的探索過(guò)程，你有什么體會(huì)？

生1：把圓柱轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體，與探索圓面積的方法類似。

生2：計(jì)算長(zhǎng)方體、正方體和圓柱體的體積都可以用底面積乘高來(lái)表示。

在這個(gè)教學(xué)片段中，我們看到教師引領(lǐng)著學(xué)生經(jīng)歷了類比推理的學(xué)習(xí)過(guò)程：創(chuàng)設(shè)情境—類比猜想—類比推理—類比驗(yàn)證。學(xué)生在推理圓柱體體積公式的過(guò)程中，關(guān)注了從長(zhǎng)方體和正方體體積到圓柱體體積的合情推理過(guò)程，為以后推導(dǎo)圓、球等幾何圖形的體積提供了可操作的模型。

四、把握合情推理本質(zhì)，讓學(xué)生積累推理經(jīng)驗(yàn)

唯物主義理論認(rèn)為：萬(wàn)事萬(wàn)物都具有兩面性。合情推理中學(xué)生獲得的經(jīng)驗(yàn)也是如此，有些是觸及合情推理本質(zhì)的“真”經(jīng)驗(yàn)，有些可能是合情推理的“偽” 經(jīng)驗(yàn)。如筆者在教學(xué)蘇教版三年級(jí)下冊(cè)第六單元“長(zhǎng)方形和正方形的面積”后，在練習(xí)中出現(xiàn)了這樣兩組題目：

用24米長(zhǎng)的繩子圍一塊長(zhǎng)方形土地，每邊都是整米數(shù)。

（1）如果一條長(zhǎng)邊靠墻，怎樣圍出的面積最大？請(qǐng)你用列表的方法進(jìn)行探究，尋找最優(yōu)方案。

（2）如果一條短邊靠墻，怎樣圍出的面積最大？請(qǐng)你用列表的方法進(jìn)行探究，尋找最優(yōu)方案。

師：同學(xué)們，請(qǐng)你們讀一讀題目，然后猜一猜怎么圍才能使圍出的面積最大。

生：長(zhǎng)邊和短邊一樣時(shí)，圍出的面積最大。

師：真的是這樣嗎？請(qǐng)你用列表的方法驗(yàn)證你的猜想。

生1：如果一條長(zhǎng)邊靠墻，那么就會(huì)出現(xiàn)這樣的結(jié)果（見(jiàn)表1）：

師：看來(lái)有時(shí)我們的猜想、歸納也會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤，這時(shí)我們就要格外注意了。只有靠表格中的一一列舉，才能幫助我們找到正確答案。

在這個(gè)教學(xué)片段中，教師通過(guò)兩組題目的對(duì)比，看似同類題目、同樣的猜想，但是通過(guò)表格列舉推理，我們看到了出乎意料的結(jié)論。可見(jiàn)通過(guò)這組題目的教學(xué)，學(xué)生觸摸到了合情推理的本質(zhì)，能夠更加辯證地看待合情推理的兩面性，明白推理可以更快地靠近結(jié)論，但是有時(shí)也會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤。

在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)教師培養(yǎng)學(xué)生的合情推理是義不容辭的任務(wù)，需要我們?cè)诮萄谢顒?dòng)中全方位多角度地研究思考數(shù)學(xué)教材，形成培養(yǎng)學(xué)生合情推理的相關(guān)策略；在平時(shí)的數(shù)學(xué)課堂上滲透推理思想，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力。