有效運用合情推理，發展學生推理能力

毛金兵

摘 要：合情推理能力是小學數學教學的核心問題之一，也是發展學生推理能力的重要任務之一。本文通過深入挖掘合情推理素材、構建合情推理橋梁、關注合情推理過程、把握合情推理本質，讓學生經歷推理活動，積累活動經驗，思辨合情推理的兩面性，發展學生的合情推理能力。

關鍵詞：合情推理；推理能力；推理素材

合情推理能力是小學數學教學的核心問題之一。2011版《小學數學新課標》指出：推理是數學的基本思維方式，也是人們學習與生活中經常使用的思維方式。因此，作為數學教師，我們應該在平時的課堂上滲透合情推理，選取合理的教學內容與材料，分層次、分階段地讓推理思想貫穿“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”等四個領域。為了積累合情推理的教學策略，筆者在自己的數學課堂上展開了培養學生推理能力的實踐活動。

一、深入挖掘合情推理素材，讓學生經歷推理活動

小學數學教材中的數學公式、數學法則、數學性質都是以前數學家通過合情推理得到的結論，也是學生在學習過程中進行合情推理的最佳素材。因此教師要多研究數學教材，深入挖掘教材中關于合情推理的素材，尋找發展學生推理能力的生長點。如筆者在教學蘇教版五年級下冊第五單元“分數加法和減法”一課時，教材先出示一道生活實際問題并列式，再分別用計數單位、折一折、畫一畫來說明分數加法的計算過程，最后總結出分數加法的計算法則。

師：同學們，我們一起來讀一讀題目——明橋小學有一塊長方形試驗田，其中種黃瓜，種番茄。黃瓜和番茄的面積一共占這塊地的幾分之幾？請你在練習本上列式計算。

生1：+，分子1加1等于2，分母2+4=6，所以答案是，也就是。

生2：+，我不同意生1的做法，我是用畫圖的方法算出答案是。

生3：+，我也不同意生1的做法，分母不同，也就是分數單位不同，所以我們不能直接相加。我是這樣算的，先通分化成同分母分數，+=+=。

師：通過大家的智慧，我們終于解決了分數加法的題目，回想一下我們是用什么方法解決這道題目的？

生：遇到分母不同的分數加法，我們要先通分化成同分母分數后再計算，結果能約分的要約分。

在這個教學片段中，教師放手讓學生在獨立思考和小組交流活動中尋找解決問題的策略，學生通過交流討論想到用畫圖或折紙的方法來解決分數加法問題，此時學生就經歷了從形到數的推理過程。接著，學生從+概括出分數加法的計算法則，這個過程中學生經歷了不完全歸納推理。

二、構建合情推理橋梁，讓學生推理有理有據

學生展開合情推理的前提條件是學生頭腦中已經具備了同化新知的相關經驗，這個經驗可以是生活經驗，也可以是知識經驗。小學生的數學思維以具體直觀思維為主，這就決定了他們在計算幾何圖形的面積時，會用已經學過的幾何圖形面積進行類比推理。如筆者在教學蘇教版五年級上冊第二單元“多邊形的面積”一課時，學生在熟悉三角形、平行四邊形、梯形等規則圖形面積計算的基礎上，運用圖形的分割與填補解決了不規則圖形的面積計算問題。

師：華豐小學校園里有一塊草坪（如圖1），你能計算出它的面積是多少平方米嗎？

生1：我把這個不規則圖形分成長方形和梯形。長方形的面積是12×4=48平方米，梯形的面積是（12+15）×（10-4）÷2=81平方米，那么不規則圖形的面積是48+81=129平方米。

生2：我把這個不規則圖形分成三角形和長方形。三角形的面積是3×6÷2=9平方米，長方形的面積是12×10=120平方米，那么不規則圖形的面積是9+120=129平方米。

生3：我把這個不規則圖形先補成長方形，再用長方形面積減去梯形的面積就是不規則圖形的面積。長方形的面積是15×10=150平方米，梯形的面積是（4+10）×3÷2=21平方米，那么不規則圖形的面積是150-21=129平方米。

師：很好，我們用自己的方法解決了這些問題，想一想我們在進行圖形的割補時，要注意什么？

生：我們要根據原來圖形的特點進行思考，利用已知條件計算簡單圖形的面積，可以用不同的方法進行割補。

在這個教學片段中，學生遇到新問題時，通過合情推理構建起“已知知識”和“未知知識”之間的橋梁，使得學生能順利地找到問題的突破口。這樣的教學安排不僅降低了學生的思維難度，還有助于教師在教學中滲透類比推理思想，幫助學生解決不規則圖形面積的計算問題。

三、關注合情推理過程，讓學生的推理有借鑒

培養學生的推理能力是整個小學階段數學教師需要完成的任務，教師要尋找適當的時機，關注合情推理的過程，讓學生在推理之路上模仿借鑒，然后加深對推理思想的印象。如筆者在教學蘇教版六年級下冊第二單元“圓柱和圓錐”一課時，運用類比推理的教學模式，先讓學生回憶長方體的體積公式，再猜想圓柱體的體積公式，最后驗證圓柱體的體積公式。

師：下面長方體、正方體和圓柱體的底面積相等，高也相等。長方體和正方體的體積相等嗎？為什么？

生：不相等。因為長方體和正方體的體積都是底面積乘高，題目告訴我們這些圖形的底面積相同，高也相同，所以長方體和正方體的體積是相等的。

師：那你們猜一猜，圓柱體的體積與長方體、正方體的體積相等嗎？你們能用什么辦法驗證呢？請你在小組內說一說。

（學生動手操作、交流，教師巡視并進行適當指導。）

生：我想把圓柱體切開，可以拼成長方體。

師（課件演示）：我們把圓柱的底面平均分成16份，如果把這個圓柱體的底面平均分成32份、64份……切開后拼成的物體會是什么呢？

生：平均分的份數越多，拼成的物體就越接近長方體。長方體的底面積等于圓柱體的底面積，長方體的高等于圓柱體的高，所以長方體的體積等于圓柱體的體積。

師：看來我們理解了為什么圓柱體的體積等于底面積乘高。回顧一下圓柱體體積公式的探索過程，你有什么體會？

生1：把圓柱轉化成長方體，與探索圓面積的方法類似。

生2：計算長方體、正方體和圓柱體的體積都可以用底面積乘高來表示。

在這個教學片段中，我們看到教師引領著學生經歷了類比推理的學習過程：創設情境—類比猜想—類比推理—類比驗證。學生在推理圓柱體體積公式的過程中，關注了從長方體和正方體體積到圓柱體體積的合情推理過程，為以后推導圓、球等幾何圖形的體積提供了可操作的模型。

四、把握合情推理本質，讓學生積累推理經驗

唯物主義理論認為：萬事萬物都具有兩面性。合情推理中學生獲得的經驗也是如此，有些是觸及合情推理本質的“真”經驗，有些可能是合情推理的“偽” 經驗。如筆者在教學蘇教版三年級下冊第六單元“長方形和正方形的面積”后，在練習中出現了這樣兩組題目：

用24米長的繩子圍一塊長方形土地，每邊都是整米數。

（1）如果一條長邊靠墻，怎樣圍出的面積最大？請你用列表的方法進行探究，尋找最優方案。

（2）如果一條短邊靠墻，怎樣圍出的面積最大？請你用列表的方法進行探究，尋找最優方案。

師：同學們，請你們讀一讀題目，然后猜一猜怎么圍才能使圍出的面積最大。

生：長邊和短邊一樣時，圍出的面積最大。

師：真的是這樣嗎？請你用列表的方法驗證你的猜想。

生1：如果一條長邊靠墻，那么就會出現這樣的結果（見表1）：

師：看來有時我們的猜想、歸納也會發生錯誤，這時我們就要格外注意了。只有靠表格中的一一列舉，才能幫助我們找到正確答案。

在這個教學片段中，教師通過兩組題目的對比，看似同類題目、同樣的猜想，但是通過表格列舉推理，我們看到了出乎意料的結論。可見通過這組題目的教學，學生觸摸到了合情推理的本質，能夠更加辯證地看待合情推理的兩面性，明白推理可以更快地靠近結論，但是有時也會產生錯誤。

在小學階段，數學教師培養學生的合情推理是義不容辭的任務，需要我們在教研活動中全方位多角度地研究思考數學教材，形成培養學生合情推理的相關策略；在平時的數學課堂上滲透推理思想，培養學生的合情推理能力。