從教學出發闡述高等代數的幾個重要概念

楊帆+楊晶

摘要：高等代數是數學專業的基礎課，與中學代數相比，理論更抽象，結構更嚴謹，基于這樣的學科特點，本文針對高等代數的幾個比較難以理解的幾個概念，深入分析剖析，從而幫助學生更好地理解及掌握高等代數這門學科。

關鍵詞：多項式；矩陣；線性空間；歐幾里德空間

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）01-0209-02

高等代數是高校數學專業一年級的專業基礎課，包含許多現代數學的基本觀點和方法，其研究的主要對象是代數系統的結構以及相互間的關系和法則，它以嚴密的邏輯推理形式來考察各種代數的結構并逐層抽象。下面針對高等代數的主要幾個概念，深入闡述。

一、多項式理論

多項式理論與整數理論有很多的相似之處，比如帶余除法、整除、最大公因式（數）、因式（子）分解及唯一性定理等等，除此之外，定理的內容與形式也很類似。因此，整數理論能夠幫助我們更好地理解多項式。但是，它們還有著很多顯著的區別。通過了解這兩者的區別，才能更好地掌握多項式理論。

1.多項式理論是系數在某一數域上研究的，而整數理論是固定在整數環中。這意味著整數理論中任意兩個整數之間的整除、分解等關系都是確定的，而多項式理論中任意兩個多項式的整數、分解等等關系是隨著數域的不同而變化著的，取決于數域。比如多項式的因式分解及唯一性定理在不同數域上分解式不同，而整數理論中數的標準分解式是唯一的。

2.多項式理論中，利用導函數可以判斷一個多項式有無重因式。

3.多項式理論雖然只在一章中出現，但是實際上它的性質定理會應用在后面很多章節中。比如二次型，特征多項式，特征值的求解等都需要用到多項式相關的理論。因此，要多注意多項式理論與矩陣理論的關聯性。例如，在求矩陣或是線性變換的特征值時，其特征多項式實際上是關于的多項式，根據多項式的因式分解理論可求出特征值。

二、矩陣

矩陣是一堆數（或者變量）有規律的排列而成的一個數表，并且對矩陣定義了加法、減法、數乘、乘法、可逆等運算，并規定了運算滿足的一些性質，比如數乘的分配律，以及加法的交換律等。矩陣根據相似、合同、等價等關系可以分成不同的等價類，這些等價類具有一些共同的性質，通過將矩陣分類，可以清楚地了解和更好地掌握矩陣的結構以及性質。矩陣是高等代數的一個重要的工具，它貫穿于整個高等代數理論的學習中。但是由于學生第一次接觸到矩陣定義，并且它的高度抽象性，導致了學生理解的困難。下面我們歸納矩陣作為工具，可以處理的問題，以幫助學生熟練掌握學習矩陣這個概念。

1.解線性方程組。通過矩陣可將線性方程組用矩陣和向量乘積的方式寫出來，例如由m個n元一次方程組組成的方程組可寫成矩陣的形式，AX=B，其中A為一個m×n矩陣，X為未知量組成的列向量，B為一個列向量。解線性方程組只需要對矩陣A施行初等行變換，就可以解出未知量X。

2.二次型化為標準二次型。二次型借助矩陣，可以寫成形如XTAX的矩陣與向量的乘積的形式，其中A為一個實對稱矩陣，X為未知量組成的列向量。將二次型轉化為標準二次型只需要對（A E）T施行初等行變換以及相應的初等列變換將A化成對角形，則E轉化成C，C即為二次型所做的非退化的線性退化。

除此之外，向量也可以看做矩陣（行向量是1×n矩陣，列向量是n×1矩陣）。而m×n矩陣利用分塊的知識可以看作是m個行向量，或者n個列向量。因此向量組的線性相關（無關）性在特定的情況下可以通過矩陣的初等變換很容易的解出來。向量組的線性相關性教學是高等代數教學中的一個難點。對于大一新生來講，向量組的線性相關性概念過于抽象。線性相關（無關）性：對n維向量組α1，α2…αm，如果存在一組不全為零（全為零）的實數k1，k2…km，使得k1α1+k2α2+…+kmαm=0。在教學實踐中，我們換一種形象的語言來進行描述，學生對它的理解就會更加透徹。將向量看成“人”，線性相關可以理解為，對一群人，如果其中有人互相認識，則這群人認識相關的，否則稱為認識無關的。這樣向量組的線性表示、等價向量組及相關定理等的后續的學習理解就容易多了。比如線性相關理論中的“部分相關則整體相關，整體無關則部分也無關”理論。利用“認識相關”的方法輔助理解，有利于學生理解和記憶。上述理論轉化為“認識相關”形式就是：“若有一群人中有人互相認識，則不論再向人群中加入多少人，還是有人相互認識；如有一群人中沒有人互相認識，則不論從中挑選多少人，還是沒有人互相認識”。

3.線性變換。線性變換是線性空間上的一個滿足加法及數乘封閉的變換。通過線性空間的任一組基，可以將線性變換和矩陣對應起來，并且同一個線性變換在不同基下的對應矩陣是相似的。因此，對線性變換的研究可以通過研究其對應的矩陣的性質推得。借助于矩陣，線性變換的一些參數，更容易理解和求解。比如線性變換的特征值、特征向量、特征多項式、秩與其相應的矩陣的特征值、特征向量、特征多項式、秩相等。

線性變換在任一組基下對應一個矩陣，自然就想到能否存在一組基使得對應矩陣為對角形。并且是否任意一線性變換都能找到這樣一組基，如果不是，那么能找到這樣一組基的線性變換需要滿足的充分，或者充要條件是什么。順著這樣一個思路，和線性變換相關的一些定理、性質就能掌握的比較全面。

除此之外還有兩類特殊的線性變換需要重點了解掌握：（a）對稱變換，其在標準正交基下的對應矩陣為實對稱矩陣，而實對稱矩陣這又對應了一個二次型，那么這個對稱矩陣又可以通過二次型的相關知識化為對角形矩陣；（b）正交變換，其在標準正交基下對應的矩陣為正交矩陣，根據正交矩陣的性質可以充分理解掌握正交變換。

三、線性空間，歐幾里德空間

在空間這部分，主要介紹了線性空間和歐幾里德空間。線性空間及歐幾里德空間是兩個抽象的概念。線性空間的運算，如，空間的和以及交仍是線性空間，并且還定義了直和這一運算，即空間和的分解式唯一。線性空間是Rn向量空間概念的推廣，歐幾里德空間是在線性空間上另外定義了內積這一運算的空間。

1.非空集合V與數域P，在V上定義了加法與數乘，并且加法和數乘滿足一定的性質，則稱V是數域P上的一個線性空間。線性空間是為了解決實際問題而引入的，它是某一類事物在量的方面的一個抽象，即把實際問題看作線性空間，進而通過研究線性空間來解決實際問題。歐幾里得空間是在實數域R上的線性空間V上定義了一個二元實函數，稱為內積，這個內積也滿足一定的性質。

2.線性空間與歐幾里德空間的基本區別是歐幾里德空間是完備的，而線性空間不是。

3.無論是線性空間還是歐幾里德空間，都有同構這一等價關系。兩個線性空間同構，那么這兩個空間具有一些共同性質。只需研究其中一個具體的線性或者歐幾里德空間，與它同構的其他線性或者歐幾里德空間的性質也就清楚了。

隨著學習的不斷深入，以后還會碰到度量空間，拓撲空間等等。因此，在代數知識學習的同時還需要注意各個學科間的聯系，融會貫通，才能更清晰的掌握我們所學習的知識。

多項式理論，矩陣理論，空間理論是高等代數理論體系的主要內容。在上面的分析中，可以看出他們之間不是獨立的理論體系，他們之間有交叉，且相互滲透影響。因此在學習過程中，需要注意同類概念的內在聯系，進行類比學習。如同構：線性空間的同構，以及歐幾里德空間的同構。對這兩個同構進行比較，結合兩個空間的不同性質，注意這個兩個同構的區別和相同之處。實際上，兩個同構的歐幾里德空間，作為線性空間也是同構的。但反之不一定成立。又比如矩陣出現了很多等價關系：合同，相似，相等。在學習的過程中，除了要將這三者的定義進行比較，還要了解他們的內在性質，這樣才不會造成后面學習的困難，也對能對矩陣間的關系比較清晰明了。

總之，概念是高等代數的重要組成部分，學生對于概念的認識不是直線發展的，而是螺旋式前進的。因此，教師傳授概念的過程也不應是一次性完成的，而是盡量在教學過程中注意引入能夠幫助學生理解概念的感性材料，降低學習的難點，激發學習的主動性，同時有意識地引導學生對所學概念及時分類整理，回首返顧，了解概念之間的關系，以達到對所學的數學概念能夠形成一個有機的整體，進而能夠靈活運用數學概念去分析問題和解決問題。

參考文獻：

[1]北京大學數學系幾何與代數教研室[M].高等代數（第四版）.北京：高等教育出版社，2003.

[2]朱春鋼.向量組線性相關性的教學方法與技巧[J].高等數學研究，2010，13（4）：119-121.

Several Important Concepts in Advanced Algebra in View of Teaching

YANG Fan，YANG Jing

（School of Mathematics and Physics，Jiangsu University of Science and Technology，ZhenjiangJiangsu 212003，China）

Abstract：Advanced algebra is a basic course of math major. Advanced algebra is more abstract，with more rigorous structure，compared with high school algebra. Based on such discipline characteristic，this article analyzes several difficult concepts in advanced algebra，so as to help students understand and master advanced algebra more better.

Key words：polynomial；matrix；linear space；Euclidean space