生活為引，文化為媒，變被動為主動

周光臨

【學情分析】

進入初二之后，學生對幾何圖形的觀察和分析能力已初步形成。部分學生的思維能力比較強，能夠正確歸納所學知識，通過學習小組討論交流，能夠形成解決問題的思路。但是，對于數學學習的價值和意義學生仍然比較模糊。勾股定理歷史十分悠久，縱橫幾千年，幾乎所有的文明古國對它均有研究，在數學的發展歷史上有著重要的作用，在現實世界中也有著廣泛的應用。它的發現、證明和應用都蘊涵著豐富的數學、文化的內涵。現實世界，上至帝王總統，下至平民百姓，都熱衷于對其進行研究，其魅力可見一斑。通過對勾股定理的探究學習，尋根問底，以問題的解決激發學生對數學學習的主體意識。

【設計意圖】

《義務教育數學課程標準》指出，數學是人類文化的重要組成部分，強調數學的文化性。因此，在課程內容的選擇上，既要反映社會的需要、數學的特點，又要符合學生的認知規律，課程內容的呈現應注意層次性和多樣性。數學教學活動旨在激發學生興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考，增強學生的創造性思維。

從教材來看，本節課時是人版教材八年級下冊第17章第1課時，勾股定理在初中數學中扮演著很重要的角色。首先，從知識結構來看，它承接八年級上冊三角形的學習，為九年級下冊解直角三角形的學習打下基礎。其次，從內容上看，它揭示了三角形三條邊之間的數量關系，主要用于解決直角三角形中的計算問題，同時，解決的方法與開方和方程思想等有很多交集。再次，從實際應用來看，它在實際生活中的身影隨處可見，可以說，有直角的地方都有勾股定理，體現了應用數學的思想。教材在編寫時注重培養學生的動手操作能力和分析問題的能力，通過實際操作，使學生獲得較為直觀的印象；通過聯系、比較、探索、歸納，幫助學生理解勾股定理，以利于進行正確的應用。

在有的人看來，數學是枯燥乏味的，這是被數學圖形和符號表面的抽象所迷惑，沒有親身體驗的情感交流，沒有發掘出其內在的價值，從理性的角度發現數學的美，本節課在教法上選擇學生自主學習與教師引導探索相結合，由淺入深，由特殊到一般地提出問題。首先借助生活問題引入，感受數學的來源，將勾股定理的發現和證明以故事的形式講述出來，可以增強數學課的文化性，激發學生的興趣。借助多媒體，引導學生自主探索、合作交流，讓學生思考問題、獲取知識、掌握方法，借此培養學生動手、動腦、動口的能力，使學生真正成為學習的主體。這種教學理念反映了時代精神，有利于提高學生的思維能力，能有效地激發學生的思維積極性。

【教學情景】

一、創境促競，激發興趣

新聞鏈接：重慶沙坪壩一小區住戶家中失火，父子二人不幸遇難。

師：很多人事后都對消防隊表示指責和質疑，究其原因是他們沒能及時趕到現場救火，但是消防隊員也有話說，請看消防隊員的問題：

以上事發點在六樓，我們帶來的云梯長約13米，每層樓高2.5米，為安全起見，梯子的底部須距離墻底5米才能放穩，你認為我們能通過云梯直接進入六樓滅火嗎？

要解決這個問題，就要用到我們今天要學習的勾股定理。

【點評】通過結合我們身邊發生的事，挖掘數學問題，明確數學學習的價值，尤其是學生意識到數學來自于身邊，就會產生積極的心理活動傾向，激發他們學習數學的興趣。

二、自主學習，培養習慣

師：讓我們首先穿越歷史的隧道，回到2500年前的一天，古希臘數學家、哲學家畢達哥拉斯有一次應邀參加一位政要的餐會，他觀察腳下排列規則、美麗的方形瓷磚，發現了方磚對角線圍成的直角三角形三邊的特殊關系，通過思考，反復論證，得出了著名的勾股定理。下面，我們將畢達哥拉斯觀察的地磚圖案抽象出來，看看畢達哥拉斯是怎樣發現勾股定理的。

（教師讓學生打開教科書第22頁，依次觀察教材圖17.1-1和圖17.1-2，通過自主思考、生生交流，感悟并體驗畢達哥拉斯發現勾股定理的過程。）

【點評】通過看書觀察，獨立思考，“問題是思維的起點”，通過層層設問，引導學生通過采用分割、拼接、數格子的個數等方法發現新知，培養學生良好的自主思考和自主學習的習慣。

三、合作研討，師生交流

1.從特殊開始，發現勾股定理

師：對于圖17.1-1中的圖案，我們都很常見，但卻很難發現數學問題，但如果像圖17.1-2中將直角三角形和正方形勾畫出來，就很容易發現數學問題了。你們發現了什么？

（學生交流發現。）

師：很好，看似平淡無奇的現象有時卻蘊含著深刻的道理，我們要向畢達哥拉斯學習，做生活的有心人。

師：剛才觀察的直角三角形有什么特殊之處？

生：是等腰直角三角形。

師：一般的直角三角形是不是也具有“兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”呢？

（教師再給出一個一般的直角三角形，讓學生計算，并引導學生得出勾股定理的內容。）

【點評】為方便計算，網格中的直角三角形邊長通常設定為整數，進一步體會面積割補法，為探究無網格背景下直角三角形三邊的關系打下基礎，提供方法。

2.用拼圖活動，證明勾股定理

師：以上例子都是特殊的例子，對于更一般的情形是否仍然成立？

試一試，剪四個全等的直角三角形，用它們拼成一個正方形。并用所拼得的圖形證明上述結論仍然成立。

（小組活動，同伴交流，學生上臺展示。）

請學生上臺展示拼圖方法，并寫出式子的變形過程。

學生歸納出：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

【點評】通過拼圖活動，培養學生的動手能力，變被動為主動，加深對定理的理解，體會數學中數形結合的思想。同時，給學生展示的空間和舞臺，激發學習的主動性。

3.回溯經典，感悟證明

師：剛才同學們通過拼圖的方式驗證了勾股定理，并用數學式子證明了勾股定理，你們的方法中有與畢達哥拉斯差不多的，這也證明你們有成為數學家的潛質，請為自己鼓掌！

勾股定理的證明方法很多，有興趣的同學可以搜集研究一下。下面介紹幾種證法。

觀察圖17.1-4，傳說這就是畢達哥拉斯的證明方法，你能根據這個圖形得出這個結論嗎？

（學生獨立思考，并在練習本上寫出證明過程。）

師：畢達哥拉斯經過從特殊到一般的研究，得出了勾股定理的證明，所以這個定理在西方也叫畢達哥拉斯定理，傳說畢達哥斯發現勾股定理后很興奮，殺了一百頭牛來慶賀，因此勾股定理又叫百牛定理。

但為什么我們中國又叫勾股定理呢？

這個問題留作課后的作業，請同學們去查閱“勾股定理”這個名稱的來歷。

下面介紹東漢趙爽的證法。說明：該證法是趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，這個圖在2002年在北京召開的第24屆國際數學家大會上被用作大會會徽的圖案。利用這個圖我們很容易證明勾股定理，同學們可以下去證明一下。有興趣的同學還可以了解一下中國東漢的青朱出入圖和美國的總統證法。

【點評】通過介紹畢達哥拉斯的證法，一方面是前面故事的延續，與前面的知識相呼應，另一方面是給予這種方法暗合的同學以鼓勵。通過對趙爽弦圖的介紹以及勾股定理名稱的來歷，了解中國古代數學的成就，增強民族自豪感。

四、實踐反思，課堂精練

例1.求下圖中（圖略）字母A、B所代表的正方形的面積。

學生練習，教師個別指導。

【點評】通過計算，進一步體會勾股定理的面積思想，不忘勾股定理的本源。

例2.畫一個直角三角形ABC，∠C=90°，它的兩直角邊分別是AC=3cm，BC=4cm量一量它的斜邊AB是多少厘米？算一算，你量的結果對嗎？

變式1：在直角三角形中，各邊的長如圖（圖略），求出未知邊的長度。

變式2：已知直角三角形ABC的兩邊長分別是3和4，求第三邊長。

變式3：直角三角形ABC中，∠C=90°，a=6，a∶b=3∶4求b和c。

學生練習，教師個別指導。

解題反思：已知直角三角形兩直角邊，求斜邊可以直接用c=■求解，但當我們不明確是哪兩邊時，要分類討論，即要用c=■；b=■或a=■。也可建立方程解決問題，滲透方程思想。

【點評】通過運算，培養學生的運算能力并正確運用勾股定理解決直角三角形的邊長問題。通過測量進一步驗證勾股定理所得結論的正確性。通過變式練習，加強學生對應用勾股定理解決問題的靈活性。

五、解決問題，分享幫困

解決情景導入中的問題，引導學生將問題抽象成幾何圖形，并將問題轉化為數學問題。

【點評】從問題中來，又回到問題中去，通過解決問題，讓學生體會數學的應用價值。

六、反饋總結，提高認識

學到了哪些數學知識和數學思想方法？有什么疑問？還有什么想要繼續探索的問題？

學生發言，互相補充，教師點評。

【點評】本環節為學生提供交流的空間，在引導學生鞏固對勾股定理理解的同時，注重了數學思想方法的歸納，同時為下節課的教學提供改進方向。

【教學反思】

數學是一門嚴謹的科學，高度的抽象性是其標志，但這對于理性思維不強的初中生來說，也容易導致他們產生畏難情緒。因此如何在數學課堂中為學生創設貼近生活的情境，并讓學生在情境中抽象出數學問題，如何引導學生分析數學問題，如何利用已有的數學知識、數學經驗將未解決的數學問題劃歸，如何潛移默化地幫助學生形成數學思維、養成數學習慣都是我們在備課時需要反復斟酌的關鍵。勾股定理的教學，由于涉及的面積證法是學生第一次接觸，有一定難度，處理得不好很容易讓學生厭煩，因此，在實際教學中突出了四個“注重”：一是注重對學生興趣的激發。二是注重學生的自主探究與合作交流的結合。三是注重數學文化和數學思想的滲透，培養學生的多種能力。四是注重數學應用意識的培養。

數學課的學習不能只是知識的探究甚至是傳遞，重要的是要激發學生探究的欲望，通過數學文化和生活中的數學，讓學生感受數學的魅力，領悟數形結合的思想方法，激發學生內在的學習驅動力，變被動為主動，更能形成深遠的影響。

編輯 李建軍