引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)思考”的教學(xué)策略

李培芳 葉建云

一、有效設(shè)問與置疑，引發(fā)學(xué)生有條理的思考

教學(xué)《三角形邊的關(guān)系》時(shí)，教師設(shè)計(jì)練習(xí)：有兩根小棒，長度分別是5厘米與9厘米，再搭配上一根多長的小棒就一定能首尾相連圍成一個(gè)三角形。（教師利用幾何畫板軟件制作了一個(gè)可以拉動(dòng)的三角形，其中兩條邊的長度分別是5厘米與9厘米，第三條邊可以隨著頂點(diǎn)的拉動(dòng)不斷變化它的長度）

師：先想象，第三邊能不能是4厘米？為什么？

生：不能，因?yàn)?5+4=9，兩邊的和沒有大于第三邊，圍不成三角形。

師：如果讓第三邊變成4厘米，會(huì)怎樣？

生：會(huì)成一條直線。（教師演示將第三邊變成4厘米的情況）

師：這個(gè)時(shí)候，只要第三邊的長度變——（長），就能圍成三角形。你們覺得要變長多少才能圍成三角形？

生：一點(diǎn)點(diǎn)。

生：1微米。

生：0.00001微米。（演示：第三邊多一點(diǎn)點(diǎn)變成的一個(gè)很“扁”的三角形）

師：第三邊變得更長一點(diǎn)能形成三角形嗎？

生：當(dāng)然更能形成三角形。

師：第三邊能無限地長嗎？

生：不能無限地長。

生：不能超過14厘米。

在這一教學(xué)過程中，學(xué)生明白了這個(gè)三角形的第三邊的取值范圍是在4厘米與14厘米之間，同時(shí)可以無限地接近4厘米與14厘米，但是不能變成4厘米與14厘米。如果第三邊變成4厘米與14厘米時(shí)，三角形便不復(fù)存在，它將成為一條直線。“先想象，第三邊能不能是4厘米？”“如果讓第三邊變成4厘米，會(huì)怎樣？”“第三邊變得更長一點(diǎn)能形成三角形嗎？”教師有效的、漸近式的設(shè)問，不斷地將學(xué)生心理的平衡狀態(tài)打破，使學(xué)生在自然的學(xué)習(xí)過程中激活了數(shù)學(xué)思維，從中展開了有條理的思考。

二、嘗試歸納、類比與猜測，發(fā)展初步的合情推理能力

1.嘗試分析與歸納，發(fā)展初步的合情推理能力。

在教學(xué)《三角形邊的關(guān)系》時(shí)，在學(xué)生發(fā)現(xiàn)“三角形兩邊的和大于第三邊”之后，教師是這樣開展教學(xué)的：

師：三角形兩邊之和大于第三邊，這是大家的發(fā)現(xiàn)。不過，這一個(gè)發(fā)現(xiàn)，還得加上一個(gè)問號（板書“？”），因?yàn)橹皇沁@幾個(gè)三角形兩邊的和大于第三邊。別的三角形兩邊的和大于第三邊嗎？

生：要驗(yàn)證。

師：咱們班有多少人？（55人）要是有55個(gè)三角形來驗(yàn)證就好了？有辦法嗎？

生：每一個(gè)同學(xué)都畫一個(gè)三角形來驗(yàn)證。

師：你真會(huì)想辦法，就按你說的辦！每一個(gè)同學(xué)在作業(yè)紙上畫出一個(gè)三角形，然后量出它三條邊的長度，再算一算，開始！（學(xué)生操作）

師：同學(xué)們，剛才在驗(yàn)證中，你畫的三角形任意兩邊的和大于第三邊嗎？

生：是的。

師：這樣，咱們畫的這55個(gè)三角形都有一樣的性質(zhì)，是不是就能說明所有的三角形都有這樣的性質(zhì)呢？問號能擦掉嗎？

生：還是不能，因?yàn)楫嫷?00個(gè)、1000個(gè)有可能就會(huì)出現(xiàn)反例。

師：咱們可以通過分類討論的方法來驗(yàn)證。大家知道，三角形畫得再多也就三類，即銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形。在同學(xué)們的驗(yàn)證中這三類三角形都有這樣的性質(zhì)，這樣三角形的所有類型都有這樣的性質(zhì)，我們就可以相信這條結(jié)論是成立的。這個(gè)問號現(xiàn)在就可以擦掉，換上一個(gè)完美的句號了。

在這里，從“三角形兩邊之和大于第三邊”后面的“？”到“。”的教學(xué)過程，是一個(gè)分析與歸納的學(xué)習(xí)與領(lǐng)悟過程，同時(shí)也是一個(gè)初步的合情推理能力跨越式發(fā)展的過程。這樣的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生將積極的“數(shù)學(xué)思考”融入其中，學(xué)得生動(dòng)、主動(dòng)、深入。

2.巧用類比與猜測，發(fā)展初步的合情推理能力。

在教學(xué)《克、千克、噸》時(shí)，學(xué)生完成的作業(yè)中有這樣一道選擇題：小明的體重是30（）。參考答案:A.克；B.千克；C.噸。教師本以為這一道題學(xué)生會(huì)全對，沒想到，居然有不少學(xué)生選擇第1個(gè)答案“克”或第3個(gè)答案“噸”。之所以會(huì)出現(xiàn)這種錯(cuò)誤，除了因?yàn)閷@三個(gè)質(zhì)量單位“建構(gòu)”得還不夠好之外，更重要的是在完成時(shí)學(xué)生沒有聯(lián)系實(shí)際加以理解。為此，教師到市場去挑選了一大一小兩個(gè)雞蛋，做了一個(gè)課件（5輛貨車，每輛車身標(biāo)明“載重：6噸”），開始了特殊的類比與猜測的教學(xué)過程：

師：我們不僅要做學(xué)習(xí)的小能手，還要做生活的小能手。下面，老師來考考大家，看誰猜得最準(zhǔn)確？

教師邊說邊從抽屜里拿出事先準(zhǔn)備好的較大的那個(gè)雞蛋，問：這個(gè)雞蛋大約有多重？

生：這個(gè)雞蛋大約重50克。（因?yàn)榻滩闹杏校詫W(xué)生還記得較清楚）

教師又從抽屜里拿出事先準(zhǔn)備好的較小的那個(gè)雞蛋，問：那這個(gè)雞蛋大約有多重？

學(xué)生意見不一，有的說約重40克，有的說約重30克。

師：老師昨天特意去市場挑了半天才找到這個(gè)寶貝雞蛋呢！老師已稱過，大約重30克。

師：剛才同學(xué)們說得不錯(cuò)。下面，老師繼續(xù)考考大家，有一個(gè)運(yùn)貨車隊(duì)（邊說邊投影顯示課件：5輛貨車，每輛車身標(biāo)明“載重：6噸”），一次能運(yùn)多少東西？

學(xué)生快速地回答：30噸。

師：非常正確！看來大家還真是考試高手呢。（學(xué)生顯露得意之色）

師：可是，昨天晚上，不少同學(xué)把老師嚇了一大跳呢！請看（教師邊出示學(xué)生所做的選擇題，邊展示較小的那個(gè)雞蛋），有這么輕的人嗎？（學(xué)生大笑）

師：再請看，也有同學(xué)選擇“小明的體重是30噸”，那可要5輛貨車才能拉得動(dòng)的，有這樣的人嗎？（學(xué)生再次大笑）

師：感謝選擇“克”和“噸”的同學(xué)，為大家?guī)砹诵β暋Ｗ屛覀冇脽崃业恼坡曋x謝他們！

這一教學(xué)過程，教師將學(xué)生錯(cuò)誤的學(xué)習(xí)資源，巧用類比與猜測，在充盈民主的教學(xué)氛圍里，在學(xué)生和諧的笑聲中，學(xué)生對“克”和“噸”的認(rèn)識是立體的、生動(dòng)的，促進(jìn)學(xué)生對知識的有效、生動(dòng)、科學(xué)建構(gòu)，在動(dòng)態(tài)建構(gòu)過程中切實(shí)發(fā)展了學(xué)生初步的合情推理能力。

三、體悟證明的必要性，發(fā)展初步的演繹推理能力

在教學(xué)過程中，要引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)信息作出合理的解釋、推斷和證明，扎實(shí)有效地發(fā)展學(xué)生初步的演繹推理能力。

在教學(xué)《三角形內(nèi)角和》時(shí)，可突出以下幾個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)。

預(yù)測與檢驗(yàn)：讓學(xué)生從自備的各類三角形中，隨意取出一個(gè)，當(dāng)場量出其中兩個(gè)角的度數(shù)，老師馬上報(bào)出第三個(gè)角的度數(shù)，讓學(xué)生檢驗(yàn)是否正確，引發(fā)學(xué)生的好奇心，老師是怎么樣知道的？激起學(xué)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。

解釋與推斷：思考、討論，怎么樣才能知道三角形內(nèi)角和的度數(shù)？引導(dǎo)學(xué)生通過計(jì)算法（把各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)加起來，可能會(huì)有微小的誤差，但都是在180度左右）和剪拼法（將三個(gè)角剪下或撕下，然后將頂點(diǎn)對在一起，連成一個(gè)平角）得出結(jié)論。

證明與深化：是不是所有的三角形都有這樣的特點(diǎn)呢？如果把一個(gè)大三角形剪成兩個(gè)小三角形，內(nèi)角和會(huì)怎樣？如果把兩個(gè)小三角形合成一個(gè)大三角形，內(nèi)角和又會(huì)是怎樣呢？

這樣，教學(xué)將操作、思維和語言表達(dá)有機(jī)地結(jié)合起來，將合理的解釋、推斷和證明聯(lián)系起來，使學(xué)生能全方位地參與探索知識的形成過程，讓學(xué)生在知識建構(gòu)中嘗試證明，使學(xué)習(xí)更具魅力與活力，使學(xué)生初步的演繹推理能力不斷得到提升。