一類時間和位移約束的變加(減)速運動問題的求解

趙思迪 董冰冰 張 冰

(石家莊第二中學 河北 石家莊 050043)

一類時間和位移約束的變加(減)速運動問題的求解

趙思迪 董冰冰 張 冰

(石家莊第二中學 河北 石家莊 050043)

列車運動模型常分為單質點和多質點兩類，出于簡化問題目的，采用單質點模型針對列車區間運行控制問題中的運動現象進行了分析.列車的牽引和制動力是列車運行控制的輸入變量，而位移和速度是列車的狀態變量，狀態約束是線路限速和區間時間.首先根據最小能耗運行策略確定列車運行方式，并建立相應的數學模型；其次，基于軟件Matlab數值求解列車距離--速度的關系，并繪制相應計算曲線.

變加(減)速運動 時間和位移約束 列車區間運行 分段函數 數值求解 Matlab編程

1 引言

在物理課程學習中，變加速運動占據重要的位置，特別是對變加(減)速運動時間、位移問題的求解.當考慮運動物體受牽引力、空氣阻力和摩擦阻力等非線性力作用時，通過定量分析就顯得異常復雜，并且很難得到解析表達式.同時變速運動控制將是未來節能的關鍵所在.軌道交通是我國最常見的交通方式(如地鐵等)，其中的列車運行是一種非常典型的變速運動.列車在站間運行時會根據線路條件、自身特性、前方線路狀況計算出一個限制速度.列車運行過程中不允許超過此限制速度.在限制速度的約束下列車通常包含4種運行工況：牽引、巡航、惰行和制動，如圖1所示.

圖1 列車站間運行曲線

牽引階段：列車加速，發動機處于耗能狀態.

巡航階段：列車勻速，所受合力為零，列車需要牽引還是需要制動取決于它當時受到的總阻力.

惰行階段：列車既不牽引也不制動，運行狀態取決于受到的總阻力，發動機不耗能.

制動階段：列車減速，發動機不耗能.如果列車采用再生制動技術，此時可以將動能轉換為電能反饋回供電系統供其他用電設備使用，例如其他正在牽引的列車或者本列車的空調等.

根據相關文獻，對列車牽引過程計算分析,可總結出有利于節能的列車運行工況:運行時間一定時，列車以勻速牽引運行克服的基本阻力功最小;列車以最大加速度加速可減小加速過程中的基本阻力功;列車以最大制動能力制動有利于節能;列車制動前惰行以降低制動前的運行速度,有利于減少列車動能的損失;下坡時盡可能利用列車的勢能,盡量避免或減少下坡道調速制動.這些節能原則在一定限制條件下可以實施.對于在起伏坡道上的列車運行,盡可能利用列車勢能和盡量減少列車動能損失是節能操縱優化的重點.

本文針對某一地鐵運行區間，考慮區間限速、坡度、曲線線路以及非線性阻力等因素來分析列車運行操縱規律，求解列車在時間和速度約束下運行距離和速度的關系.

2 列車動力學模型及其約束條件

2.1 列車動力學模型

列車在運行過程中，實際受力狀態非常復雜.采用單質點模型是一種常見的簡化方法.單質點模型將列車視為單質點，列車運動符合牛頓運動學定律，如圖2所示.其受力可分為4類：重力G在軌道垂直方向上的分力與受到軌道的托力抵消，列車牽引力F，列車制動力B和列車運行總阻力W.

圖2 單質點列車模型受力分析示意圖

本文選取一實例進行具體的力學建模，具體參數如下：列車質量194.295 t，列車能提供的最大加、減速度為±1 m/s2.列車由A站到B站，全程距離為1 354 m，限定運行時間為110 s，線路區間限速和坡度如圖3所示.

圖3 A站至B站區間限速和坡度情況

(1)列車牽引力F

列車牽引力F是由動力傳動裝置產生的,與列車運行方向相同,驅動列車運行并可由司機根據需要調節的外力.針對本文實際工況，參照相關文獻，列車實際輸出牽引力(kN)有如下形式

F(v)=μFFmax(v)

(1)

式中，μF是列車實際輸出有效功率系數，Fmax是最大牽引力，與列車速度有關，表達形式如下

Fmax(v)=203 0

(2)

Fmax(v)=-0.002 032v3+0.492 8v2-

42.13v+1 343 51.5

(3)

式中，v是列車速度.

(2)列車運行總阻力

列車總阻力是指列車與外界相互作用引起與列車運行方向相反、一般是阻礙列車運行的、不能被司機控制的外力.按其形成原因可分為基本阻力和附加阻力.

1)基本阻力

列車的基本阻力是列車在空曠地段沿平直軌道運行時所受到的阻力.該阻力是由于機械摩擦，空氣摩擦等因素作用而產生的固有阻力.具體可分為5部分：車軸軸承間摩擦阻力、輪軌間滾動摩擦阻力、輪軌間滑動摩擦阻力、沖擊阻力、氣動阻力.因此，基本阻力與許多因素有關，它主要取決于機車、車輛結構和技術狀態、軸重，以及列車運行速度等，同時又受線路情況、氣候條件影響.由于這些因素極為復雜，而且相互影響，實際應用中很難用理論公式進行準確計算，通常采用以下經驗公式來表示基本阻力系數w0(N/kN)

w0(v)=2.031+0.062 2v+0.001 807v2

(4)

2)附加阻力

列車由于在附加條件下(通過坡道、曲線、隧道)運行所增加的阻力叫做附加阻力.附加阻力主要考慮坡道附加阻力和曲線附加阻力.附加阻力系數有如下形式，

w1=wi+wc

(5)

式中，wi是單位坡道阻力系數(N/kN)，一般取wi=i，i為線路坡度(‰)，wc是列車的曲線阻力系數，主要取決于軌道線路的曲率半徑，我國軌道交通一般取600.

綜上，列車運行總阻力可按照如下公式計算

(6)

式中，W是總阻力，M是列車質量，g為重力加速度.

(3)列車制動力B

制動力B是由制動裝置引起的、與列車運行方向相反的、司機可根據需要控制其大小的外力.其 表達式如下

B(v)=μBBmax(v)

(7)

式中，μB為實際輸出的制動加速度與最大加速度的百分比，Bmax是最大制動力，與列車速度有關，表達形式如下

Bmax(v)=166×1030

(8)

(9)

式中，v是列車速度.

2.2 列車運行策略

列車運行策略是在列車運行計算方法的基礎上,根據實際需要對列車運行方式進行假設所建立的自動化計算模型.列車運行工況是根據列車運行策略，所釆用的列車牽引、巡航、惰行和制動過程的組合方式.由此可見,列車運行工況的選擇取決于列車所釆用的運行策略.

2.2.1 列車運行策略

根據列車運行過程對能耗和時間的具體要求,列車運行策略有3種:最快速度運行策略、最小能耗運行策略和綜合優化運行策略,具體如圖4所示.

圖4 列車運行策略示意圖

(1)最小耗能運行策略

最小能耗運行策略是列車基于節能原則的運行方式,大量研究表明,列車能耗最小的運行原則為:加速過程釆用最大牽引力加速,中間運行過程保持巡航運行和盡可能惰行,進站過程釆用最大制動力.另外,在運行時間充裕的情況下, 列車運行速度越低、波動越小,能耗越低.因此,列車最小能耗運行策略可描述為:在規定時間內，以最大牽引力加速至經濟速度(vj)(列車以經濟速度運行,單位時間的能耗最小)，然后以此速度巡航運行至惰行轉換點,在時間不足時,列車惰行至制動點,然后采用最大制動力制動,在時間充裕時,可采用惰行至終點(如圖4中A-J1-J2-B曲線).

(2)最快速度運行策略

最快速度運行策略是列車在運行全程中最大程度發揮牽引和制動能力,確保列車以最短時間完成整個運行過程.因此,列車最快速度運行策略為:列車在牽引過程采用最大牽引力,制動過程采用最大制動力,中間過程速度達到最大限速后,保持最大限速(vL)巡航運行(圖4中曲線A-L1-L2-B曲線).

(3)綜合優化運行策略

綜合優化運行策略是在結合上述兩種策略的基礎上,綜合考慮列車運行能耗和速度的優化策略.列車在實際運行中只采取節時或節能運行策略是不現實的,需要采用一種考慮多種因素的綜合優化運行策略.列車在運行過程中,一方面,可以通過調節牽引加速度和制動減速度,改變列車運行時間;另一方面,列車在運行至經濟速度后,應盡量保持以該速度巡航運行和惰行,以降低能耗(如圖4中A-S1-S2-B曲線).

根據本文所選取實例特點(線路距離短、直線，且定時等)，故選取第一種最小能耗運行策略，從而建立如下計算模型.

2.2.2 數學建模

T=Tacc+Tcru+Tco+Tbra=

(m+n+p+q)Δt=110 s

(10)

(1)根據所選列車運行策略，4種運行工況分析

1)列車牽引階段

根據牛頓第二定律可得

(11)

根據已知列車最大加(減)速度為±1 m/s2，可得

得

μ1=0.976 56

(12)

根據式(2)、(3)有

(13)

aacc(v)=-0.000 010 213 15v3+

0.002 458 819 7v2-0.212 373 96v+

6.729 812 9 51.5≤v≤80 km/h

(14)

由于這類變加速運動是多種分段函數問題, 解析求解難度很大，一般采用數值求解.因此首先利用中間插值可得第k時間段內，平均加速度值為

(15)

式中m是自然數，以下k,n,p,q都是自然數.

這樣第k段平均速度(其中v0=0)和行駛距離為

vk=vk-1+akΔtk=1,2,3,…,m

(16)

(17)

式中vk,sk分別是第k段區間上的平均速度和加速度，下同.

2)列車巡航階段

(18)

3)列車惰行階段

同式(13)、(14)相同的思路可得

aco=-0.000 234 187 2v2-

0.002 239 2v-0.020 31

(19)

求解過程中采用如下形式

(20)

(21)

(22)

式中k,n,p都是自然數.

4)列車制動階段

(23)

abra=-0.000 018 07v2-0.006 22v-

0.844 968 97 0≤v≤77 km/h

(24)

abra=-0.000 685 248 913 68v2+

0.123 921 375 77v-

6.478 482 656 627 77≤v≤80 km/h

(25)

(26)

(27)

(28)

式中q都是自然數.

(2)列車運行能耗模型

牽引階段能耗

(29)

巡航階段能耗

(30)

列車的總耗能

E=Eacc+Ecru

(31)

3 數值求解

為了滿足最小能耗策略，同時考慮運行區間較短，本文采取的運行策略：最大加速-惰行-最大制動[2～7]，約束條件是運行距離為1 354 m，運行時間為110 s，同時在各區段不得超過相應限速.本文基于Matlab軟件進行了優化求解，圖5給出了運行區間內距離和速度的關系曲線.

圖5 A站至B站區間距離與速度關系曲線

圖5中，水平直線表示不同區間的限速情況，在0～120 m區間內，限速55 km/h；在120～1 354 m區間內，限速80 km/h.圖中曲線1表示了列車以最大牽引力加速到80 km/h(通過計算，加速過程中，當達到55.5 km/h時，距離已超過120 m的距離)，然后惰行到58.5 km/h左右，最后以最大制動力制動的距離-速度關系.從圖中可以看出，這種運行策略所用時間最短，僅需要91 s就可到達B站.曲線2表示了列車以最大牽引力加速到66 km/h時，然后惰行到38.5 km/h，最后以最大制動力制動的距離-速度關系.從圖中可以看出，這種運行策略所用時間滿足約束要求，即運行時間為110 s, 即為最終求解的運行策略.曲線3表示了列車以最大牽引力加速到39.4 km/h時，然后惰行到終點的距離-速度關系.從圖中可以看出，這種運行策略所用時間最長(運行時間為311 s), 但可以看出這種運行策略最節能.

同時，針對第二種運行控制策略，圖6和圖7分別給出了列車在A站-B站之間運行時，加速度與運行距離以及速度與時間的關系曲線.

圖6 A站至B站區間距離與加速度關系曲線

圖7 A站至B站區間運行時間與速度關系曲線

4 結論

本文基于單質點模型，借助數值編程方法求解了日常生活中常見的列車區間分段變加(減)速運動的優化控制問題.出于節能的目的，采用了牽引-惰行-制動的運行策略，繪制了滿足時間約束和距離約束的距離-速度關系曲線.通過編程計算，較好地掌握了數值求解復雜數學問題的思路，為進一步求解復雜變加速運動奠定了基礎.

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趙思迪(1999- )，男，在讀高中生.

指導教師：張冰(1981- )，男，中教一級，主要從事中學物理教學及研究.

2016-09-12)