恰當運用“反例”教學

四川省成都市七中萬達學校 邱 勇

恰當運用“反例”教學

四川省成都市七中萬達學校 邱 勇

反例的運用可以強化推理的嚴謹性，培養思維的批判性，發展逆向思維和發散思維，全面提高解題能力，而構造反例，恰好符合初中學生的思維習慣。

反例；構造

數學是一門嚴謹的科學，它有自己獨特的思維方式和邏輯推理體系。初中學生因為其年齡與知識水平的關系，在學習數學的過程中總有憑借其學習經驗妄下結論的習慣，這與數學的本質精神是背道而馳的。根據初中學生的知識水平和思維習慣，我認為在教學過程中滲透反例教學可以比較好地改變學生隨意猜測的壞習慣。反例的運用可以強化推理的嚴謹性，培養思維的批判性，發展逆向思維和發散思維，全面提高解題能力，而構造反例恰好符合初中學生的思維習慣。我們通常認為找一個反例比找一個證明更需要想象力和創造性，然而初中學生卻不同，他們對舉反例樂此不疲。舉反例的過程，恰好就是他們數學能力逐步提高的過程。

一、運用“反例”可以幫助學生深入理解概念

數學概念本身是抽象的，引入概念之后，還必須有一個去粗取精、去偽存真、由表及里的改造、深化過程，必須在感性認識的基礎上對概念做辨證的分析，用不同的方式進一步揭示概念的本質屬性。通過列舉或構造反例，往往能夠從反面消除一些容易出現的模糊認識，從而嚴格區分那些相近易混的概念，這比僅僅用正面來解讀概念要深刻得多。

例如：命題“帶有正號的數是正數”。對于這個命題，初中學生僅從經驗去做出判斷是很容易出現誤解的，如果我們引導學生舉個反例試試，學生將很容易想到“﹢0”不是正數，“﹢（﹣7）”也不是正數。

又如：學生在歸納絕對值的代數意義時，經常出現“正數的絕對值是一個正數”這樣的不準確表述，這時我們只要舉出一個反例學生就會馬上明白這個表述是不準確的，甚至是錯誤的，從而進一步歸納為“正數的絕對值等于它本身”這一準確表述。

二、運用“反例”可以幫助學生揭示概念的內涵

教學實踐中，我們經常發現一些學生在使用概念時含糊不清，錯引濫用，如正多邊形的概念：每條邊都相等，每個角也都相等的多邊形是正多邊形”。很多學生認為這個概念中的兩個條件可以只取其中一個，我們也可以通過舉反例的方式來予以澄清：（1）菱形的四條邊都相等，但它不是正四邊形。（2）矩形的四個角都相等，但它也不是正四邊形。可見正多邊形必須滿足上述兩個條件，缺一不可。

三、運用“反例”可以幫助學生準確把握概念間的關系

例如：“中心對稱”和“中心對稱圖形”就是一對容易混為一談的概念，對于初學者來說，容易產生這樣一種錯誤的理解，即“中心對稱”和“中心對稱圖形”是等同的概念。其實不然，我們可以構造下面的反例予以澄清。

兩個等邊三角形“成中心對稱”，但等邊三角形本身并非“中心對稱圖形”，究其原因，“成中心對稱”是兩個圖形之間的位置關系，而“中心對稱圖形”是一個圖形本身所具有的一種屬性，因而它們是兩個不同的概念。

四、運用“反例”可以幫助學生駁斥錯誤的命題

在命題學習中，用生動的反例駁斥錯誤的命題是非常簡潔、有效的。更重要的是，長期堅持采用反例來思考問題，有助于學生克服胡亂猜想的壞習慣。我們來看一個七年級學生遇到的命題：“有理數都可以用數軸上的點來表示，反過來，數軸上的點都表示有理數”。對于七年級的學生來講，在學習數軸時對無理數知之甚少，但無理數π已經在他們的知識體系中扎下了根。我們只要把無理數π標在數軸上，這個命題就不攻自破了（具體方法是：直徑為1個單位長度的圓從原點沿數軸向右滾動一周，圓上的一點由原點到達點A，點A所表示的數為π）。

五、運用“反例”可以幫助學生正確掌握基本定理

反例可用來說明正確命題的使用范圍，這對初學者來說非常有益，不僅能澄清一些錯誤的認識，對基本定理和基本性質做出正確的理解，也能促使學生們形成嚴密推理、重視條件的習慣，避免發生“失之毫厘，謬之千里”的錯誤。

例如判定三角形全等的邊角邊定理：如果兩個三角形有兩條邊及其夾角對應相等，那么這兩個三角形全等。

對于“邊角邊定理”，學生往往對“邊角邊”這一條件不完全理解，因而在運用過程中錯誤地用“邊邊角”去證明兩個三角形全等。事實上，如果我們引導學生親自去構造兩個“兩邊及其中一邊的對角對應相等”的不全等的三角形，就能正確理解“邊角邊定理”了。

反例的引入、構造可以促使學生對命題進行再分析，重視和體驗這樣的過程，不僅能增加知識、拓寬思路、活躍思維、提高自學能力，也能提高分析問題和解決問題的能力。我在教學實踐中，通過“反例”使學生澄清對某些概念和性質的模糊認識 ，加深理解教材內容 ，搞清命題成立條件，克服對數學知識理解的偏差。合理使用反例還可以使教學更加豐富生動，可以使一些看似困難的問題意外地得到輕松解決 ，可以使學生對教學中出現的定義、概念、定理等理解得更加透徹，并通過這些反例提高學習數學的興趣。但是值得注意的是，“反例”在教學中的作用也不是萬能的，教學中應用“反例”一要注意主次。學生的主要任務是學習概念、定理和方法，對于基本的命題和結論應予以嚴格的證明和推導。舉反例重在說明結構、辨清是非，因此我們不可一味把太多的注意力放在構造或列舉反例上，反例應該作為圍繞主要內容而進行的有效的輔助學習手段。二要注意適當。反例應是經過挑選的，既要簡單又要能說明問題。學生自己構造的反例難度應當適當，以免浪費很多時間和精力。

[1]郭要紅.反例的來源與潛在功能[J].數學教學，2003（6）.

[2]李文銘.初等幾何教學研究[M].西安：陜西師范大學出版社.

邱勇（1976-10），男，漢族，四川成都人，大學本科，中學數學一級教師，研究方向：數學課堂教學。）