一道數學題的思考

江蘇省泰州市姜堰區婁莊中學（2016級青海師范大學教育碩士在讀） 凌春霞

一道數學題的思考

江蘇省泰州市姜堰區婁莊中學（2016級青海師范大學教育碩士在讀） 凌春霞

二元變量求最值問題是高中數學的一大難點，近年來，高考試題中屢有考查。求解二元變量的最值，涉及函數、不等式、線性規劃、解析幾何、導數等諸多高中數學重點知識，更體現了函數思想、化歸轉化思想、數形結合思想等若干核心數學思想的應用。學好二元變量最值的求解，是函數部分的一大重點。

一、消元法，函數思想

二元最值問題因為問題含有兩個變量，導致學生無法使用熟悉的函數工具來解決問題。因為同學們所熟悉的函數是單變量的，因此可以結合條件進行變量的轉化。

評析：將變量a，b轉化為關于單變量的表達式，實現二元最值問題轉化為熟悉的單變量函數問題，簡化了問題，實現了問題由未知到已知的轉化。

二、基本不等式

若條件與目標含有和、積、倒數和以及平方和等表達形式，可以考慮使用基本不等式建立關于目標的不等式來解決問題。

故當a=b=2時， 取最小值8。

評析：借助基本不等式將條件和目標巧妙地聯系起來，建立關于目標的不等式，是解決問題的關鍵。

三、數形結合，幾何意義

若條件和目標可以在直角坐標系中用相應的幾何圖形表示，則數形結合，考查其幾何意義對解決問題有很大幫助，而且能夠直觀地感受數學問題。

解：因為滿足a＞0，b＞0,a+b=4的點（a，b）的軌跡是一條線段（如圖），即線段AB，而的幾何意義是原點到點（a ， b）的距離的平方，所以的最小值為原點到線段AB的距離的平方，即的最小值為

評析：本題的關鍵是條件和目標具備幾何意義，能在直角坐標系中轉化為相關圖形，這樣就將代數問題幾何化，利用幾何性質解決問題。

目標常見形式及其幾何意義：

目標 幾何意義與直線的截距有關表示點（x ，y）到定點（a ，b）的距離的平方

點（x ，y）與點（a ，b）連線的斜率與點（x ，y）到直線的距離有關

小結：以上三種方法都有一個共同的條件，即已知二元變量的等量關系。通過這一等量關系去進行等價變形、代換、轉化等，從而將我們不熟悉的問題轉化為運用已有知識能夠解決或熟悉的問題。

四、線性規劃，目標函數

如果試題中的條件是二元變量的不等關系，以上方法就不適用了。

小結：這一類問題的主要特點是條件為二元變量的不等關系，這是運用線性規劃解題的重要標志，因為線性規劃主要就是解決二元變量不等關系的重要手段。同時，題中的a4可以換成關于a1和d的目標函數，也可解決。

再回到開始的問題上，運用以上方法較復雜、煩瑣，但只要中心思想正確就能解決。

評析：對于本題，函數思想是比較容易想到的方法，但解題過程較煩瑣，而基本不等式的方法又不容易想到，所以不少學生會放棄。因此，加強學生的運算化簡技巧和能力也是至關重要的。

總之，在解題時要綜合分析條件和目標，發現它們之間的關系，發現它們與知識、思想的聯系，對號入座，選擇適當、恰當的方法解決問題。如何分析和選擇方法，完全因題而異，而通過一定的解題實踐和經驗積累，對于二元最值問題的分析和解決會有很大幫助。