剖析“解三角形”，解決相關問題

江蘇省海門市四甲中學 陸叢林

剖析“解三角形”，解決相關問題

江蘇省海門市四甲中學 陸叢林

解三角形試題往往與平面向量、三角恒等變換、數列等相連，通過全面了解有關三角形的知識，考查了許多創新題型。本文通過對這些熱點問題的回顧和分析來了解命題人的命題思路，幫助學生們解決“解三角形”的問題。

解三角形；三角恒等變換；平面向量；數列

“解三角形”考點既是初中解直角三角形的一個拓展，也是三角函數和平面向量知識考查的基礎，同時也是解決三角形的計算問題以及生產、生活實際問題的重要工具，具有廣泛的應用價值。因此，在對解三角形的學習過程中，除了要掌握最基本的知識，還要注意在學習的基礎上，具有科學的方法、較強的觀察力以及綜合運用能力等。

一、解三角形與三角函數交會

三角函數的類型看起來復雜，但只要掌握了三角函數的基礎知識和內部聯系，就會發現三角函數各個公式之間有許多關聯的地方。因此將解三角形與三角函數聯系在一起，熟練掌握三角函數公式，對于我們解三角形有很大的幫助。

點評：此題主要考查了解三角形與三角恒等變換知識，要注意熟練應用公式，對于sin2α=sin2β，在三角形中，不僅要考慮2α=2β，還要考慮到2α+2β=π，主要考察學生的運算求解能力。

二、解三角形與平面向量交會

平面向量的應用十分廣泛，它是高考中經常考查的內容。可以把三角形中的線段看作向量，用向量可以表示線段與線段之間的位置關系、大小關系以及邊角關系等，將三角形與向量結合在一起。用向量解題具有思路寬闊、方法靈活、綜合性強的特點。通過知識的梳理，深化平面向量與三角形相關基本知識的理解及掌握，并歸納相關題型的解決方法，并總結平面向量與三角形結合的常見題型及解題策略。

點評：三角形面積坐標公式的形式與向量共線充要條件的坐標形式特征極其相似，十分有益理解掌握，尤其在解析幾何中可以有效地解決與三角形面積相關的問題。在高中數學中，“向量”也是不可或缺的一部分，因為它有大小有方向，所以也經常被出題者所寵愛，其中“向量”與“三角”之間的聯系占比例較大。因此“三角”中的許多問題都可以利用構造“向量”的方法求解。

三、解三角形與數列交會

在解決數列的問題時，會遇到等差數列與等比數列的問題，在數列的應用時，既可以考查等差數列，又可以考查等比數列，所以命題人一般會選擇此類綜合題型。將解三角形與數列結合也是命題人喜愛的方向，這類題型比較多，通過解題思路的多角度思考，探尋解題的切入點，通過一題多解，多題歸一，拓展解題思路，掌握解題方法，培養學生對數學方法的選擇意識，將三角形與等差數列、等比數列更好地結合在一起。

例3 △ABC的內角A、B、C所對應的邊分別為a、b、c，若a、b、c成等差數列，證明：sinA+sinC=2sin（A+C）。

解析：因為a、b、c成等差數列，所以a+c=2b，由正弦定理得sinA+sinC=2sinB,

又因為在 △ABC中，A+B+C=π，所以sinB=sin（π-A-C）=sin（A+C），即sinA+sinC=2sin（A+C）得證。

點評：本題解題過程中不僅運用了三角形的正弦定理，還有等差數列的知識，在做題時要保持清晰的思路，這類題主要考查對基礎知識的掌握。

通過對以上例題的講解，雖然解三角形問題在高中數學中頻繁出現，但是相信學生們只要掌握好解題技巧，巧用數學方法，就可以輕松上陣。當學生們積累的越來越多，就會熟能生巧，慢慢提高學生對知識的綜合與遷移能力以及邏輯思維能力。