淺談圓錐曲線解題教學的優化

福建省寧化縣第一中學 曹光榮

淺談圓錐曲線解題教學的優化

福建省寧化縣第一中學 曹光榮

圓錐曲線是高考的重要內容。圓錐曲線小題以其構思精巧，重在思維靈活性上取勝。圓錐曲線大題則以其復雜的計算，思維的難度讓不少學子望而生畏。如何讓圓錐曲線題變得更加“平易近人”，讓學生學習起來更有效，做起來能夠從容應對呢？除了熟能生巧，多做真題訓練以外，更重要的是我們在教學中要幫助學生優化解題步驟與過程，使圓錐曲線小題、大題都能夠有地方想，有地方展開思路，從而順利解決圓錐曲線問題。

一、整體思維，簡化解題步驟

整體思維也是一種態度，如學習圓錐曲線時，我對學生說：“圓錐曲線的題目表面上看是計算量很恐怖的難題，但總體上看，卻是直線與圓錐曲線的浪漫相遇。它們相遇，相戀，相知，纏纏綿綿的過程在解題過程中淋漓盡致地演繹出來了。”這樣就給很難纏的圓錐曲線問題涂上了一些浪漫色彩，使處于青春期的他們愛學樂學。當然，在解題過程中，也常常應用“設而不求”整體代入的技巧，也應用到整體思考判斷解題過程。特別是在化簡過程中，需要把一些代數式看成一個整體，這樣使解題過程特別簡潔。下面的例子中我們也會看到這一點。

二、抓住主元化簡，可以迅速寫出方程

在圓錐曲線與直線聯立時，抓住主元化簡，能夠迅速寫出二次方程，使整個化簡步驟快捷而且準確。我們來看一個例子。

例1 已知橢圓中心在原點，一個焦點為F（-1,0）。求這類橢圓中與直線l：2x-y+3有公共點且離心率最大的橢圓方程。

如果能夠在計算過程中注意觀察，就容易發現消去的項，剩下的項，從而幫助學生消除畏懼心理，即：

三、靈活設直線，可以優化解題過程

我們知道，在圓錐曲線大題中，一般第一小題比較簡單，主要是求出圓錐曲線的一些待定系數，可以看成是解題熱身。第二小題才是真正開始進入狀態，這時圓錐曲線可以說是已經固定了，或者說是“死”的，而直線則是“活”的。我們的解題，就是這條“活”的直線圍繞“死”的圓錐曲線發生的一系列的“悲歡離合”的故事。對于直線，我們一般情況下是設y=kx+b，這時我們要討論斜率k不存在的情況。但如果直線過x軸上定點（一般就是橢圓、雙曲線、拋物線焦點），那么我們就設直線方程為x=mx+a,這樣不僅可以避免討論斜率不存在的情況，還可以簡化計算并化簡。同時，也體現了x與y的對等地位，即y=kx+b與x=mx+a體現的是x與y的地位對等。

四、系統化整理下的學習，可以深化理解

我們還要通過知識整理，加強整體思維的訓練。如，對于拋物線，我們來研究過焦點的直線,它與拋物線交于A、B兩點，與x軸的夾角為θ，則則這八個量之間可以“知二求六”。這里我總結了以下八個公式：③⑥

這樣系統化的總結可以加強學習之間的聯系，增強對比與區分。當然，知識的系統化是一個需要長期堅持、總結的過程。如，從以上拋物線的公式如何推廣到橢圓、雙曲線，則在更大層面上建構起系統化的整體思維。

五、善于總結，繼續把優化的路走下去

其實，例1也可以轉化為平面幾何中的求距離最小問題。如我們已知橢圓的左焦點為F（-1,0），則右焦點為F1（1,0）。又問題轉化為在直線2x-y+3=0上找一點P，使最小。方法很經典，也很簡單：找出F的對稱點，連接， 交直線于P，則P為所求點，而

圓錐曲線是一座等待我們開采的金礦，表面上看是不可捉摸的靈活的小題，或者繁雜計算的大題，但其中卻蘊含著可以不斷優化的思考過程。讓我們一起努力，把這座美麗的金山呈現在學生的面前，讓他們更加樂學，愛學！