“二次函數”，想說愛你不容易

江蘇省蘇州工業園區星浦學校 周育敏

“二次函數”，想說愛你不容易

江蘇省蘇州工業園區星浦學校 周育敏

九年級數學下冊“二次函數”一章，在整個初中數學中占有非常重要的地位，在中考中也是一大熱點和難點。二次函數體現了數形結合的重要思想方法，同時也為高中階段一元二次不等式的學習提供基礎。從多年的經驗來看，對于學生而言，要想學好這一章并不容易，特別是一遇到難度較大的綜合題，更是手足無措，甚至有的學生還對這一章產生了恐懼癥，認為二次函數的題都是難題，只要遇到，不經思考便放棄。下面我就以“二次函數圖象的平移”這個較為常見的知識點為例，談談我對這章內容的思考，不到之處，請各位同仁指正。

蘇科版九下“二次函數”其中有一個知識點是“二次函數的圖象與性質”，在有關于圖象的平移這一方面，學生在學習時經常發生錯誤，方向不明確。用“平移法則”與“方程和圖象相結合”的方法進行對比研究實驗：

教材中通過畫幾個二次項系數相同的二次函數圖象，如：y=2x2，y=2（x+1）2和y=2（x+1）2+3的圖象，歸納總結y=a（x+m）2+k的圖象可以由函數y=ax平移得到，進而得出平移法則：“一般地，函數y=a（x+m）2+k的圖象可以由函數y=ax2的圖象經兩次平移得到：當m＞0時，向左平移m個單位，當m＜0時，向右平移|m|個單位；當k＞0時，再向上平移k個單位，當k＜0時，向下平移|k|個單位。”這三個方程式的內容，很多同學在老師講解一次過后沒過多久便會遺忘或混淆，其根本原因就是對這部分的內容沒有深刻的理解，很多學生只是似懂非懂。其實這一部分的本質在于平移，都是在y=2x2這個方程式的基礎上衍變而來的，只要我們將y=2x2搞清楚，剩下的兩個就不難掌握了。

在這一部分的學習中還可運用法則“左加右減，上加下減，變自變量”來解題，但很多同學仍然不知所云，主要癥結還是在于腦海中的常規思維定式無法打破，對y軸和x軸的移動法則分不清楚，容易混淆。數形結合是數學中最重要的方法之一，所以在教學的實踐中，利用方程與二次函數的關系來理解函數是教師所推崇的，令x+m=0，得x=-m；當x=-m時，y=k。即頂點（0，0）到（-m，k）的移動，從而在平面直角坐標系內獲得圖象的移動，這種方法簡稱為“方程——圖象結合法”，只要畫出坐標軸來，在坐標軸上移動圖象既簡單，又直觀，幫助不少同學解決了二次函數的難題。

二次函數的頂點坐標解析式y=a（x-h）2+k是學生熟記的公式，平移二次函數時，圖象的開口方向和開口大小是不變的，所以a是不變的，我們只需求出h、k即可，而（h，k）又是頂點坐標，所以，平移時把頂點坐標作為參照物，只平移頂點坐標，學生很容易求出平移后的頂點坐標（h，k），把（h，k）代入解析式y=a（x-h）2+k就是平移后的解析式，這也是教學中的一個難點，但究其根本是只要把頂點坐標作為參照物，便很容易就能判斷出兩個函數是如何進行平移的。下面我們將通過舉例來梳理這一類題目的解題思路。

1．求平移后的解析式

例1 拋物線y=2x2向左平移8個單位，再向下平移9個單位后，所得拋物線的解析式是什么？

分析：原來拋物線的頂點坐標是（0，0），平移后的頂點坐標很容易就能口算出來是（-8，-9），即：h=-8，k=-9，a是不變的，所以平移后的拋物線解析式就是：y=2（x+8）2-9。

2．確定函數圖象的平移

例2 函數y=2（x-5）2+3的圖象是由y=2（x+2）2-3的圖象經過怎樣的平移變化得到的？

分析：首先確定兩個拋物線的頂點坐標：變化前的頂點坐標為（-2，-3），變化后的頂點坐標為（5，3），然后在直角坐標系中畫出變化前后兩個頂點的位置，對照兩個頂點坐標，學生很容易就能看出來函數y=2（x+2）2-3的圖象先向右平移7個單位，再向上平移6個單位即可得到函數y=2（x-5）2+3的圖象。

縱觀近幾年的中考數學與二次函數相關的題目，其實都是一些基礎題或是中等難度的題目，所謂“萬變不離其宗”，他們都是在簡單的二次函數的基礎上演化的，只要我們撥開偽裝的外衣，就能發現它本來的面目。例如下面這兩道中考題：

例3 （2013年四川）在同一平面直角坐標系中，將二次函數y=2x2+4x+1的圖象先向左平移9個單位，再向上平移2個單位，得到的函數的頂點坐標為多少？

在解這個題時，只要題目的問題沒有那么直接，很多同學就可能不知道從何下手了。其實這道題運用我們上面的知識，稍加變通便可解決。首先，我們根據平移的法則“左加右減”，先在x的基礎上進行加減，因為是左移，所以得到y=2（x+9）2+4（x+9）+1，然后再根據“上加下減”的法則，得到一個新函數y=2（x+9）2+4（x+9）+3，化簡之后得到最終平移后的函數為y=2（x+10）2+1。這是一個頂點式，根據所學的知識可知其頂點為（-10，1），問題得解。

拿到這個題目時，首先我們腦海里的第一反應是這個題的考點在于考查二次函數的最值問題，需要把二次函數的解析式整理成頂點式，才能確定最大值。我們首先將整理后得出，所以，該拋物線的對稱軸是x=2，且在x上y隨x的增大而增大，因為，所以當時，y取最大值，為，問題得解。

在學習二次函數的過程中，我們還要注意以下策略：

1．利用配方法解決一般形式為y=A（x+B）2+C的圖象問題

將一般式化為頂點式是二次函數的一個重難點，也是有效解決二次函數問題的有效方法，起著舉足輕重的作用，通過頂點式，學生可以直觀畫出每一個二次函數的圖象，并知道相應的數學性質，可以使用它來掌握二次函數的對稱軸、最值等問題。頂點公式是求最值的一個最有效的突破口，因此，老師在教學中要注意啟發，與學生共同配方，指出頂點坐標公式中相應字母的值。

2．學以致用，解決實際問題

數學在學生的整個學習生涯中一直都是難點，也是教學工作開展的難點，這不僅來自于教學實際，更是來自于學生的心理，所以數學的“學與教”不是一蹴而就的，教師在教學時必須循循善誘，掌握方法。在教學過程中，教師首先必須認真分析教材，并在吃透教材的基礎上恰當分析究竟采用什么樣的教學手段，是使用一種教學手段，還是使用多種教學手段。為了加深學生對二次函數的理解，掌握利用二次函數解決實際問題，我帶領學生參加一些實際的二次函數生活問題，加深學生對二次函數的理解，例如拱橋問題、籃球拋擲、隧道問題等等，讓學生充分認識到“數學來源于生活，應用于生活”，這樣就能夠不斷提高學生發現問題、分析問題、解決問題的能力，而且可以促進學生認真領略二次函數中的數學理念，達到深層次理解的目的。

總之，作為初中數學教學中最重要的內容，二次函數的教學是不容忽視的問題，數學教師必須認真閱讀教材，吃透原理，通過各種策略和方法有效喚起學生學習的積極性，通過各種生活中學生所熟悉的例子來啟發學生，讓所有的數學知識“深入淺出”，從而不斷培養學生發現問題、分析問題、解決問題的綜合能力。