立足本質(zhì)屬性 關(guān)注思維生長
——“雞兔同籠問題”的教學(xué)與思考

浙江省義烏市經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)學(xué)校 何奇斌

立足本質(zhì)屬性 關(guān)注思維生長
——“雞兔同籠問題”的教學(xué)與思考

浙江省義烏市經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)學(xué)校 何奇斌

觀摩過“雞兔同籠問題”各種版本的精彩演繹，研究過各版教材的教材編排和教學(xué)定位，也見識(shí)過一些年輕教師教學(xué)的一味求全和標(biāo)新立異，發(fā)現(xiàn)要上好這節(jié)課很難，關(guān)鍵是“度”的把握。“雞兔同籠問題”作為算法多樣化的典型代表，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想。筆者認(rèn)為應(yīng)該立足本質(zhì)屬性，在準(zhǔn)確把握文本教學(xué)價(jià)值的前提下，關(guān)注孩子的思維生長，兩者結(jié)合進(jìn)行合理地取舍與整合，提高彈性，把教學(xué)真正落到實(shí)處。

本質(zhì)屬性；解題策略；思維生長

“雞兔同籠問題”在我國民間廣為流傳，以解法多樣性著稱。由于其在培養(yǎng)發(fā)散性思維，關(guān)注孩子思維生長方面具有較高的研究價(jià)值，一直以來都是我們教學(xué)研究的好素材。根據(jù)其解法的多樣性,適合在不同的學(xué)段開展教學(xué)嘗試。

據(jù)統(tǒng)計(jì)，“雞兔同籠問題”現(xiàn)在有30多種解法，其實(shí)它們都滲透了假設(shè)的思想，也就是搞明白雞兔之間腿的數(shù)量關(guān)系。

一、各版教材的解題策略，體現(xiàn)了不同的教學(xué)定位

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“要面向全體學(xué)生，適應(yīng)學(xué)生個(gè)性發(fā)展的需要，使不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。”教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，均衡考慮學(xué)生的個(gè)性差異。

各版教材在編排上充分體現(xiàn)了自身的教學(xué)定位：

北師大版在五年級(jí)上冊(cè)“嘗試與猜測”中安排了“雞兔同籠”問題，強(qiáng)調(diào)通過列表的方式解決問題，切入口徑非常小，主題比較單一。所以在列表法上做足了文章，在猜測的基礎(chǔ)上，以例題引導(dǎo)的形式引導(dǎo)孩子通過“逐一列表法→跳躍列表法→取中列表法”有序地思考并解決問題。教參明確指出，教師不宜補(bǔ)充其他解法，以免分散孩子的注意力，影響孩子對(duì)列表這一常用數(shù)學(xué)方法的掌握。

人教版改編幅度更大，教材比重和學(xué)段的安排都進(jìn)行了調(diào)整。改版前的教材安排在六年級(jí)上冊(cè)，用了6頁的篇幅詳細(xì)介紹了問題的來源、各種解法和應(yīng)用練習(xí)，體現(xiàn)解法的多樣性，主要用列表法、假設(shè)法和方程法解決問題。改版后教材安排在四年級(jí)下冊(cè)，主要采用了逐一列表法和假設(shè)法解決問題，通過“還有其他方法？”引導(dǎo)孩子嘗試方法的多樣化。

蘇教版將其編排在六年級(jí)上冊(cè)，僅以一道練習(xí)題出示，用來鞏固“假設(shè)和替換”的策略，引導(dǎo)孩子借助畫圖和列表的方法解決問題。

“雞兔同籠問題”的教學(xué)應(yīng)該充分考慮解題策略的定位問題，應(yīng)該進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)取舍，而不一味求全或標(biāo)新立異，否則容易導(dǎo)致學(xué)生思維的混亂。

二、立足其本質(zhì)屬性，理解算理算法

在“雞兔同籠問題”的教學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)一些教師過度強(qiáng)化“知其然”而忽視了“知其所以然”。筆者認(rèn)為應(yīng)該立足于教材的本質(zhì)屬性，在解題策略多樣性的背后，特別是常用的五種解題策略中，都有“假設(shè)法”的影子。

本質(zhì)屬性的核心是腿的條數(shù)隨著雞兔只數(shù)的變化進(jìn)行變化，滲透假設(shè)的思想解決問題。“畫圖法”其實(shí)就是“假設(shè)法”計(jì)算過程的直觀化，借助數(shù)形結(jié)合幫助孩子更好地理解，“假設(shè)法”是“畫圖法”的文字記錄；“列表法”介于“畫圖法”與“假設(shè)法”兩者之間的過渡，以表格的形式記錄畫圖的過程，又借助表格中雞兔腿數(shù)的調(diào)整變化規(guī)律，幫助“假設(shè)法”的難點(diǎn)突破；“方程法”是“假設(shè)法”的特殊表現(xiàn)形式，直接借助等量關(guān)系“雞的腿數(shù)+兔的腿數(shù)=總腿數(shù)”列方程解決問題；“二元一次方程組”是“方程法”的升級(jí)版，借助“雞的只數(shù)+兔的只數(shù)=總只數(shù)”和“雞的腿數(shù)+兔的腿數(shù)=總腿數(shù)”兩個(gè)并列的等量關(guān)系，通過代數(shù)法或消元法解決問題。

三、關(guān)注思維生長，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想的滲透

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)中，發(fā)展合情推理能力，能有條理地思考，能比較清楚地表達(dá)自己的思考過程與結(jié)果。會(huì)獨(dú)立思考，體會(huì)一些基本的數(shù)學(xué)思想。”

“數(shù)學(xué)是思維的體操。”這根植于學(xué)生已有的認(rèn)知水平和生活經(jīng)驗(yàn)及生活經(jīng)驗(yàn)到數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的轉(zhuǎn)化程度。“雞兔同籠問題”可以在不同的學(xué)段展開教學(xué)，因其特有的“思維土壤”，不同學(xué)段孩子的思維層次是不同的。雞兔同籠的解題策略從“畫圖法→列表法→假設(shè)法→方程法→二元一次方程組→抬腿法等變式”的過程中，孩子的思維層次在不斷生長。畫圖法是思維的種子，孩子借助數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，以直觀畫圖的形式解決問題，在這一過程中，孩子始終處于思維的萌芽區(qū)間。列表法讓孩子從直觀逐步走向抽象，思維層次也相對(duì)有所提高，特別是在列表的過程中，孩子從“逐一列表”，到“跳躍列表”，通過不斷修正調(diào)整到相對(duì)優(yōu)化的“取中列表”，逐步“逼近”問題的本質(zhì)。在這一過程中完成了思維生長的三級(jí)跳躍，打通了畫圖法和列表法之間的聯(lián)系，抽象出假設(shè)法。在整個(gè)生長體系中，假設(shè)法處于一個(gè)非常重要的思維“節(jié)點(diǎn)”，既是畫圖法和列表法的高度概括，又是方程法和二元一次方程組的思維生長基礎(chǔ)。

我們的教學(xué)就是釋放其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，讓孩子感悟、建模。在準(zhǔn)確把握文本教學(xué)價(jià)值的前提下，根據(jù)孩子的學(xué)情恰到好處地進(jìn)行取舍與整合，提高彈性，進(jìn)行適時(shí)調(diào)整教學(xué)。當(dāng)孩子思維水平較弱時(shí)，教師的目標(biāo)定位可以更單純一點(diǎn)，教學(xué)內(nèi)容更集中一點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)深入探究；當(dāng)孩子思維水平較強(qiáng)時(shí)，可以在匯總不同解題策略的基礎(chǔ)上，研究各種解題策略之間的聯(lián)系，從一般的“畫圖法、列表法、假設(shè)法、方程法”拓展到“二元一次方程組和砍腿法”等一些特殊的解題方法。

在解決“雞兔同籠”問題時(shí)，猜測是基礎(chǔ)，假設(shè)是根本，解題是目的，探究才是真正的重點(diǎn)。教師應(yīng)該給予學(xué)生充分的時(shí)間和空間，讓孩子在自主思考、合作探究的過程中，讓思維進(jìn)行碰撞，滲透數(shù)學(xué)思想，提高孩子的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力。

著名特級(jí)教師俞正強(qiáng)老師提出了“種子課”的概念，讓我明白了教師應(yīng)該了解數(shù)學(xué)知識(shí)的生長方式，同時(shí)還要關(guān)注孩子的思維生長方式。“教材”和“學(xué)生”永遠(yuǎn)是教師課堂教學(xué)研究的主題，兩者相長。你若花開，蝴蝶自來！

[1]中華人民共和國教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011（07）.

[2]俞正強(qiáng).種子課一個(gè)數(shù)學(xué)特級(jí)教師的思與行[M].北京：教育科學(xué)出版社，2013（05）.

[3]牛獻(xiàn)禮.追求“真正意義上的理解”——《雞兔同籠》教學(xué)思考與實(shí)踐[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，2013（05）.

[4]秦和平.雞兔同籠問題中的數(shù)學(xué)思想方法及其滲透策略[J]湖北教育，2013（06）.