簡單特例在解題中的應用

江蘇省昆山市第一中學 劉 超 李博宇

簡單特例在解題中的應用

江蘇省昆山市第一中學 劉 超 李博宇

數學教學歸根結底就是解題教學。解題的基本思維操作流程：尋求陌生新穎問題的突破口，弄清等價轉換問題的表征，弄清題意，明確知識點，正確合理地解題。目前大多數學生的解題狀態為：對老師講過的題目能夠照葫蘆畫瓢，對基本及中檔以上的問題處理較好，對于常規題目的突破口能夠合理準確有效地把握，但對于新穎的問題、陌生的問題，望而卻步，無從下手，缺乏自己獨立探究問題的能力。由于老師沒有講過此類問題，無法畫瓢，搶分爭分的能力不足。有一部分學生基本上就是一筆不動，從未感受過自己對一類新問題發現，分析、解決這種成功的喜悅。那么，問題的通性通法是如何而來呢？是通過大量的具體實例，通過檢驗——修改——檢驗，高度概括出的一類規律性極強的解題策略，舉例與類比的關系相輔相成。從課本教材舉生活實例，引出數學概念，到教師講解經典例題，再到學生通過大量的習題訓練，無非都是從特殊到一般的歸納猜想及證明。

高中數學內容的學習畢竟是基礎部分的教學，我們所能處理的、解決的都是規律性極強的問題，既然是這樣，那么問題中的規律，問題本身所要給我們呈現的數學事實，肯定能夠挖掘出來。特殊到一般，具體到抽象，舉幾個簡單特例，也許能夠幫助我們找到問題的突破口。

一、通過舉特例來尋求集合間的關系

集合間的關系從大方向上分為兩種：包含與不包含。明確目標，鎖定方向，即使猜也能猜出答案。

高一學生剛接觸集合概念時，對此類問題還是比較陌生的，無從下手。給出兩個一般性的集合，二者元素個數均是無限的，二者元素的特征似乎有相同點又有不同點，無法精準弄清其內在的聯系。學生若是能夠將一般性問題特殊化處理，通過舉特例，轉換成具體的數字，嘗試著推推看，也許就能發現其中的規律所在了。分別令k取1，2，3，4，現集合M中的元算在集合N中會交替出現，而集合N中又出現了集合M中不存在的元素，所以.其實在舉特例的過程中，已有部分學生發現集合M中的元素特點為由于比較是在統一的平臺下進行的，故想到集合N中的元素特點可改寫為奇數，為整數，所以。其實越有規律的問題就越經不住推敲，只要善于舉特例，舉好例，就可猜透其中的奧妙。

例2 設集合 M={1，2，3，4，5，6}，S1、S2、…、Sk都是 M的含兩個元素的子集，且滿足：對任意的Si={ai，bi}，Sj={aj，bj}（i≠j，y}表示兩個數x、y中的較小者）。求k的最大值。

該問題由于包含較多數學中的專業符號，具有一定的抽象性，致使很多學生無法下手，找不到突破口，讀不懂題意。若學生能將每個信息具體化，舉幾個具體實例，感受一下題意，便能馬上解決此問題。

S1、S2、…、Sk都是M的含兩個元素的子集，而M的所有含有兩個元素的子集是：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15個，分別記為S1，S2，……，S15。

例如{1，2}與{2，4}就只能保留一個，由此弄清題意，4個值是重復的舍去，最后答案是11。善于舉特例，將抽象問題具體化不失為快速掌握陌生概念的一個行之有效的方法。

二、通過舉特例來尋找解析幾何中的定點、定直線

解析幾何問題的最大特點在于解題方向岔口較多，貌似個個可行，理論上可行，實際操作卻不可以，又或者在操作中由于計算量大，學生對自己的解題前景堪憂，導致半途而廢。若能嘗試特殊推一般，鎖定解題的最終方向，就會有效提升自身解題的信心，摸索其最優解。

若G恒在一直線上，則此直線必為x＝4。只需證對任意m,A1M與A2N的交點G在x＝4上。這樣利用特殊性尋求出問題的突破口，讓學生有方向可尋，不再一籌莫展。在目標意識的引領下，結合題目的條件特點，也許能夠幫助我們在解題中少走一些彎路，快速有效地投入到題目中弄清研究方向。

四、通過舉例推求數列中項的特點規律

數列具有規律性極強的特征，弄清其變化發展規律，研究數的表征，通過舉例歸納猜想其發展規律，是解決數列問題的一個重要解題策略。

該數列的遞推關系式已知明確，首項確定，則數列中的每一項肯定唯一確定，若從一般情況角度推其通項，構造過程中技巧性較強，研究對象容易混淆。若通過特殊推一般，通過求出具體的前幾項，歸納猜想其通項，就會大大降低思維高度，快速有效地明確其發展方向。

簡答：按照遞推關系，求出數列的前幾項，從第13項開始，呈現以3為周期的數列，從而得解。

教材編寫的兩個特點是：情景導入和問題驅動，從具體情境導入的，在教學上要求以具體情境作為教學素材，將其抽象提煉，以便接近教學主題。

無論從實際情境出發，還是從具體問題出發，都要求學生歸納已知事實形成抽象概念，歸納已知事實形成數學猜想，這種活動的共同本質在于使用抽象的、簡約的數序符號表示“數學現實（既包括生活事實，也包括數學事實），這樣能使學生經歷數學抽象的具體過程，在這個基礎上形成抽象概括能力。荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾早就指出：數學起源于現實，數學教育必須基于學生的“數學現實”，應該從數學與它所依附的學生親身體驗的現實之間去尋找聯系。學生的認知規律是從直觀到嚴謹，從具體到抽象。從特殊到一般是人類認識事物的基本規律。

萬事開頭難，找到問題的方向性與導向性，我們就可用方法來對問題進行解決了。