代數(shù)的認(rèn)知與應(yīng)用教學(xué)研究

郭薇

（安遠(yuǎn)縣東江源小學(xué)，江西 贛州 342100）

[摘 要] “數(shù)”與“代數(shù)”是解決基本數(shù)學(xué)問題必不可少的支柱。從小學(xué)四年級(jí)起，代數(shù)已經(jīng)走進(jìn)數(shù)學(xué)教材，豐富著學(xué)生的數(shù)學(xué)方法和思想。如何理解、運(yùn)用好代數(shù)成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一大瓶頸。從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度看，學(xué)生需要深入了解代數(shù)，運(yùn)用代數(shù)解決數(shù)學(xué)難題；從培養(yǎng)創(chuàng)新思維的角度看，學(xué)生以代數(shù)形式和思想為基礎(chǔ)，進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，不斷擴(kuò)展自己的認(rèn)知，建立數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系。

[關(guān)鍵詞] 代數(shù)理論；數(shù)學(xué)思想；教學(xué)研究；功能作用

隨著數(shù)學(xué)問題的復(fù)雜化，小學(xué)高年級(jí)部分問題需要利用代數(shù)才可以得到快速解決。從廣義上看，代數(shù)涉及數(shù)、圖形、概率等領(lǐng)域；從狹義上看，代數(shù)可以解決同時(shí)存在兩個(gè)變量的問題，可以將問題的求解過程進(jìn)行反向思維，利用代數(shù)的便捷性將求解思路簡(jiǎn)化。從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度看，學(xué)生需要深入了解代數(shù)，運(yùn)用代數(shù)解決數(shù)學(xué)難題；從培養(yǎng)創(chuàng)新思維的角度看，學(xué)生以代數(shù)形式和思想為基礎(chǔ)，進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，不斷擴(kuò)展自己的認(rèn)知，建立數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系。小學(xué)高年級(jí)學(xué)生對(duì)基本數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和運(yùn)用達(dá)到了一定高度，具備了研究代數(shù)的能力。因此，教師應(yīng)利用好課堂時(shí)間，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)代數(shù)的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用能力，系統(tǒng)性地解決復(fù)雜問題。

一、小學(xué)階段的“代數(shù)理論”

小學(xué)生對(duì)代數(shù)的理解一般停留在“x、y”等感性符號(hào)的層次上。對(duì)小學(xué)階段的整個(gè)代數(shù)體系所知甚少，甚至很多教師沒有向?qū)W生明確提出代數(shù)概念。根據(jù)實(shí)際教學(xué)情況，學(xué)生將精力集中在代數(shù)應(yīng)用上，而沒有深入思考和研究自己的學(xué)習(xí)方法和應(yīng)用原理，使得學(xué)生無法及時(shí)運(yùn)用代數(shù)知識(shí)解決問題。簡(jiǎn)單地說，代數(shù)是利用特殊符號(hào)指代變量，利用變量的特性簡(jiǎn)化整個(gè)求解思路和過程。通過對(duì)高年級(jí)教材內(nèi)容的整合會(huì)發(fā)現(xiàn)，代數(shù)用來表示公式、運(yùn)算規(guī)律、方程式、不等式以及簡(jiǎn)單函數(shù)。在學(xué)習(xí)“代數(shù)”知識(shí)的過程中，學(xué)生對(duì)“數(shù)”的認(rèn)知提升了一個(gè)層次，培養(yǎng)了學(xué)生的符號(hào)意識(shí)和估算能力，將現(xiàn)實(shí)問題抽象為數(shù)學(xué)問題或數(shù)學(xué)模型，利用代數(shù)進(jìn)行探究性思考。

二、小學(xué)階段“代數(shù)”知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想

代數(shù)知識(shí)和代數(shù)理論是潛藏于數(shù)學(xué)體系之中的，涉及多方面的知識(shí)，具有分散、靈活的特征。把握好代數(shù)教學(xué)的基礎(chǔ)是弄明白代數(shù)知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想。從本質(zhì)上去了解代數(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)科中的作用，才能更加準(zhǔn)確地把握代數(shù)教學(xué)課堂。

1.轉(zhuǎn)化思想

數(shù)學(xué)是為了解決現(xiàn)實(shí)問題而產(chǎn)生的科學(xué)，數(shù)學(xué)家布魯納提出：“代數(shù)就是將已知數(shù)與未知數(shù)按照數(shù)學(xué)規(guī)則排列，使得未知數(shù)成為已知數(shù)的表示方式?！睆倪@句話中可以體會(huì)到代數(shù)理論中高深的轉(zhuǎn)化思想，這種轉(zhuǎn)化思想體現(xiàn)在數(shù)學(xué)問題的方方面面。

例如：師生十分熟悉的交換律、結(jié)合律、分配律等運(yùn)算法則的表達(dá)方式為：a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c），（a+b）c=ac+bc。如果采用文字或者數(shù)字表示這些法則，學(xué)生會(huì)陷入疲憊之中，而采用代數(shù)符號(hào)表示后，這個(gè)運(yùn)算法則簡(jiǎn)潔明了。漢字到符號(hào)的轉(zhuǎn)化、具體的現(xiàn)實(shí)問題到抽象的數(shù)學(xué)模型都是代數(shù)理論轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn)，幫助學(xué)生快速理解數(shù)學(xué)問題的處理方法，形成代數(shù)思維的意識(shí)。

2.替代思想

“數(shù)”是抽象的概念，“圖形”是具體的概念。利用“圖形”代替“數(shù)”，利用具體的概念代替抽象的概念用于幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題。一般情況下，我們利用抽象的符號(hào)來代替具體內(nèi)容，抽離出問題中的數(shù)學(xué)模型，方便找出條件之間的關(guān)系，但是，在具體的數(shù)值運(yùn)算中，更需要培養(yǎng)學(xué)生“圖形”代替“數(shù)”的能力，提高計(jì)算的準(zhǔn)確性和正確性。

3.逆向思維思想

在高年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中，代數(shù)知識(shí)得以運(yùn)用最廣泛的部分為一元一次方程。在方程中，未知項(xiàng)不再是直接求解的對(duì)象，轉(zhuǎn)變?yōu)榻?shù)學(xué)等式的一個(gè)條件，利用數(shù)學(xué)等式上的關(guān)系進(jìn)行反向求解。這種反向求解的思維方式和方法將逆向思維運(yùn)用到了極致。學(xué)生在運(yùn)用方程方法求解問題時(shí)，先找組成等式的條件，然后將未知項(xiàng)以x、y的符號(hào)形式進(jìn)行帶入，最后，利用等式關(guān)系得出最終的結(jié)果。

三、代數(shù)知識(shí)在教材中的具體應(yīng)用

以上兩個(gè)章節(jié)從代數(shù)理論和代數(shù)理論背后的思想兩個(gè)層面對(duì)代數(shù)進(jìn)行了全面的分析和講解。代數(shù)的特征和思想并不能通過直接講解使學(xué)生獲得深入的體會(huì)，還需要結(jié)合教材中的具體內(nèi)容進(jìn)行應(yīng)用分析，讓學(xué)生從實(shí)踐中體會(huì)代數(shù)數(shù)學(xué)思想的優(yōu)越性。

1.“簡(jiǎn)易方程”中的代數(shù)應(yīng)用

按照教材的講解順序，從代數(shù)意識(shí)的培養(yǎng)做出，比較月球和地球舉重的數(shù)量關(guān)系，比較兩個(gè)人的年齡關(guān)系，定義周長(zhǎng)、面積的表達(dá)方式；然后，提出了等式和等式關(guān)系概念，讓學(xué)生體會(huì)問題包含的內(nèi)在等價(jià)公式；緊接著，提出方程概念，將代數(shù)、等式、數(shù)值運(yùn)算法則等內(nèi)容應(yīng)用到組建方程的體系中，最后，利用方程解決現(xiàn)實(shí)問題。從整個(gè)知識(shí)體系可以看出，方程是由代數(shù)思想發(fā)展而來的，為學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)應(yīng)用問題提供了新途徑。

為了將方程、代數(shù)、數(shù)、圖形建立其緊密聯(lián)系，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成全面理性的認(rèn)識(shí)。教師應(yīng)該抓住教材中的資源，進(jìn)行深入講解和通透，確保學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)合、統(tǒng)一。

2.將代數(shù)應(yīng)用于“運(yùn)算結(jié)果奇偶性”的判斷

小學(xué)高年級(jí)對(duì)數(shù)的分類具有多種標(biāo)準(zhǔn)，包括奇偶性、質(zhì)數(shù)與合數(shù)等。對(duì)數(shù)的分類方便了數(shù)學(xué)計(jì)算的過程，對(duì)處理較大數(shù)值的乘除運(yùn)算具有很大幫助。在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)知不夠深刻，對(duì)自己明顯的計(jì)算錯(cuò)誤無法進(jìn)行及時(shí)有效的檢驗(yàn)。如果將代數(shù)引入其中，就可以幫助學(xué)生進(jìn)行及時(shí)有效地檢驗(yàn)。

通過運(yùn)用知識(shí)巧妙地幫助學(xué)生得出“偶偶相加得偶，奇奇相加得奇，奇偶相加得奇”的結(jié)論。在數(shù)學(xué)中還有更多的結(jié)論可以通過代數(shù)進(jìn)行推算出來，而不需要學(xué)生死記硬背。代數(shù)知識(shí)可以幫助學(xué)生從抽象的層面理解數(shù)學(xué)結(jié)論，重新認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)教材中的法則和規(guī)律。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生不斷探索數(shù)學(xué)世界的潛在規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生思考問題的能力，幫助學(xué)生快速成長(zhǎng)。

3.符號(hào)在數(shù)學(xué)知識(shí)串聯(lián)中的應(yīng)用

小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)具有總結(jié)性和延伸性，同時(shí)，淡化了數(shù)學(xué)知識(shí)板塊之間的界限，增加了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系。未知項(xiàng)代號(hào)可以幫助學(xué)生將不同知識(shí)串聯(lián)起來，實(shí)現(xiàn)不同板塊之間的溝通。其中最重要的部分是數(shù)學(xué)知識(shí)與方程關(guān)系的建立。

例如：在六年級(jí)接觸到的“百分制”知識(shí)。雖然百分制的形式是x%，但其與小數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系緊密，大多可以相互替代表達(dá)。當(dāng)問題中涉及百分制數(shù)值時(shí)，可以將其轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)，分出分子項(xiàng)和分母項(xiàng)，利用等式關(guān)系求出分子，得到所求比例。此外，六年級(jí)教材中延伸了坐標(biāo)內(nèi)方向的表達(dá)，讓學(xué)生根據(jù)文字描述，分析出坐標(biāo)內(nèi)的實(shí)際情況，確定好兩者之間的位置關(guān)系。在文字轉(zhuǎn)化為圖形的過程中，需要根據(jù)已知條件建立其對(duì)應(yīng)等式，將未知項(xiàng)與已知內(nèi)容排列起來，進(jìn)而求解出最終的答案。在小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)總結(jié)和歸納階段，教師應(yīng)該淡化知識(shí)板塊的界限，從組建整個(gè)數(shù)學(xué)體系的角度上，分析各部分知識(shí)的具體使用方法。代數(shù)可以將數(shù)學(xué)中大部分知識(shí)串聯(lián)起來，從逆向思維的角度去重新認(rèn)識(shí)學(xué)過的內(nèi)容，重新構(gòu)造自己的學(xué)習(xí)框架。

小學(xué)數(shù)學(xué)代數(shù)知識(shí)和理論可以幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)法則、概念，探索數(shù)學(xué)運(yùn)算中的規(guī)律，逆向思考數(shù)學(xué)問題，甚至利用方程式將加減乘除、分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)、概率和數(shù)值關(guān)系等進(jìn)行整合，進(jìn)而解決數(shù)學(xué)中的復(fù)雜問題。教師應(yīng)該認(rèn)識(shí)到代數(shù)知識(shí)和思想的重要性，不斷滲透理論背后的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到有效提升。

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責(zé)任編輯 王 慧