打開一句話的世界

【關(guān)鍵詞】釘子板上的多邊形；皮克定理；教學(xué)實(shí)踐；教學(xué)思考

【中圖分類號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2016）52-0056-02

【作者簡(jiǎn)介】彭文珍，江蘇省海安縣明道小學(xué)（江蘇海安，226600），一級(jí)教師，南通市骨干教師。

20年前，在輔導(dǎo)學(xué)生趣味數(shù)學(xué)時(shí)，我就知道了皮克定理，當(dāng)時(shí)學(xué)生不善提問(wèn)，我也教得簡(jiǎn)單，只是告訴他們這個(gè)定理，然后讓他們用它來(lái)解決各種變化的圖形的面積計(jì)算問(wèn)題。20年來(lái)，每次教到多邊形的面積計(jì)算，遇到一兩道稍難的問(wèn)題，我都會(huì)忍不住告訴學(xué)生皮克定理，并立刻再出幾道難題讓他們用皮克定理來(lái)解決，每一次總能如我所愿地收獲學(xué)生驚奇、狂喜的目光。

如今，皮克定理已經(jīng)走進(jìn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)課本。一次要上一節(jié)市級(jí)公開課，我想也不想就把課題定為它，我要將一句話變?yōu)橐还?jié)課來(lái)好好地演繹皮克定理。

環(huán)節(jié)一：分析

師：這是老師昨晚留下的思考題，圖1中這個(gè)多邊形的面積是多少？

生：24平方厘米。

學(xué)生簡(jiǎn)要介紹分、補(bǔ)、移等方法。

師：用分和補(bǔ)做這道題，過(guò)程往往特別長(zhǎng)，全班最多的好像是28步。如果圖形再多拐幾個(gè)彎，估計(jì)算式會(huì)更長(zhǎng)。解決這樣的問(wèn)題還有沒(méi)有其他的方法？

師：你們看，老師給圖形加了格點(diǎn)，你們覺(jué)得圖形的面積可能和什么有關(guān)？

生：和點(diǎn)，和圖形里面的點(diǎn)以及邊上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有關(guān)。

師：有可能有關(guān)系，也有可能沒(méi)關(guān)系，所以咱們這節(jié)課就來(lái)研究它。這一個(gè)個(gè)點(diǎn)像釘子，我們就叫它“釘子板上的多邊形”。

環(huán)節(jié)二：探路

師：圖形里面的點(diǎn)簡(jiǎn)稱內(nèi)點(diǎn)，用字母a表示，邊上的點(diǎn)簡(jiǎn)稱邊點(diǎn)，用字母b表示，面積用字母S表示。在釘子板上可圍的圖形太多了，為了便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，你們覺(jué)得應(yīng)該先研究什么樣的圖形？

生：長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形……

師：為什么先選擇這些圖形？

生：這些圖形我們都學(xué)過(guò)，可以直接用公式來(lái)計(jì)算它們的面積。

師：還有補(bǔ)充嗎？

生：先研究點(diǎn)少的圖形，再研究點(diǎn)多的。

【探究一】

教師出示圖2，引導(dǎo)學(xué)生研究釘子板上的四個(gè)多邊形，并把研究結(jié)果填入表格中。

師：你們發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律了嗎？

生1：a÷2=S，邊點(diǎn)÷2=面積。

生2：a×b÷2=S，內(nèi)點(diǎn)×邊點(diǎn)÷2=面積。

生3：我覺(jué)得第二個(gè)比第一個(gè)好，它把內(nèi)點(diǎn)也用起來(lái)了。

生4：我發(fā)現(xiàn)多邊形的面積可能真的和點(diǎn)有關(guān)系，1號(hào)和2號(hào)圖形形狀不同，但它們邊點(diǎn)和內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同，面積也相同。

師：為了驗(yàn)證你們說(shuō)的規(guī)律，下面我們來(lái)研究?jī)?nèi)點(diǎn)數(shù)是2的圖形。

【探究二】

教師出示圖3，引導(dǎo)學(xué)生研究并填寫表格。

生1：我發(fā)現(xiàn)剛才的規(guī)律不對(duì)，應(yīng)該是（a+b）÷2=S，（邊點(diǎn)+內(nèi)點(diǎn)）÷2=面積。

生2：我們應(yīng)該繼續(xù)研究?jī)?nèi)點(diǎn)數(shù)是3的圖形，看是否有其他的規(guī)律。

【探究三】

教師出示圖4，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)研究并填寫表格。

生1：我發(fā)現(xiàn)剛才的規(guī)律又不成立了，應(yīng)該是（a+b+1）÷2=S，（邊點(diǎn)+內(nèi)點(diǎn)+1）÷2=面積。

生2：我發(fā)現(xiàn)三次探究的規(guī)律了，圖形的內(nèi)點(diǎn)數(shù)為1時(shí)是a÷2=S，內(nèi)點(diǎn)數(shù)為2時(shí)是（a+b）÷2=S，內(nèi)點(diǎn)數(shù)為3時(shí)是（a+b+1）÷2=S，內(nèi)點(diǎn)數(shù)為4時(shí)是（a+b+2）÷2=S。我畫了有4個(gè)內(nèi)點(diǎn)的正方形和5個(gè)內(nèi)點(diǎn)的梯形，也符合這個(gè)規(guī)律。

生3：我覺(jué)得他說(shuō)得很對(duì)，不過(guò)我換一個(gè)角度發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的規(guī)律，我從第一個(gè)規(guī)律a÷2開始，圖形有1個(gè)內(nèi)點(diǎn)時(shí)是a÷2=S，2個(gè)內(nèi)點(diǎn)時(shí)是a÷2+1=S，3個(gè)內(nèi)點(diǎn)時(shí)是a÷2+2=S，4個(gè)內(nèi)點(diǎn)時(shí)是a÷2+3=S。

環(huán)節(jié)三：挑戰(zhàn)

師：如果上述規(guī)律成立，怎么用一句話來(lái)概括這個(gè)規(guī)律？

生：a÷2+（b-1）=S，也就是a÷2+b-1=S，邊點(diǎn)÷2+內(nèi)點(diǎn)-1=面積。

師：現(xiàn)在我們好像找到了一個(gè)從頭到尾都成立而且很簡(jiǎn)潔的規(guī)律，接下來(lái)你想干什么？

生：自己畫圖驗(yàn)證。

環(huán)節(jié)四：反思

師：回顧這節(jié)課，你還有什么想問(wèn)、想說(shuō)的？

生1：太奇妙了，我想知道為什么。

生2：其實(shí)剛才我也發(fā)現(xiàn)了，內(nèi)點(diǎn)數(shù)是3時(shí)是（a+b+1）÷2=S，用字母公式表示是（a+b+b-2）÷2=S，即（a+2b-2）÷2=S，也就是a÷2+b-1=S。

師：聽明白他的意思了嗎？看來(lái)看似不一樣的算式，變一變可能一樣。

生3：我想知道這個(gè)規(guī)律是誰(shuí)第一個(gè)發(fā)現(xiàn)的，它有什么用。

課件介紹數(shù)學(xué)家喬治·皮克和皮克定理。

對(duì)于皮克定理，我研究了20年，研究的結(jié)果是：那些解釋都太深?yuàn)W，我無(wú)法讓學(xué)生也明白。因此，每一年我都是以一句話的形式將它直接告訴學(xué)生。選擇這個(gè)課題來(lái)上公開課，同事們都說(shuō)：“這有什么好上的？就一個(gè)公式，一點(diǎn)就破。”可是，課堂上學(xué)生卻探究出了一個(gè)又一個(gè)成立的公式，連聽課教師都忍不住說(shuō)：“還真對(duì)呢！”每一個(gè)公式的得出都是一份欣喜，每一個(gè)小小的發(fā)現(xiàn)卻又只是拔根“小刺”，直至“大釘子”被尋出。這節(jié)課沒(méi)做什么鞏固練習(xí)，學(xué)生卻有條理地進(jìn)行了大量的基礎(chǔ)性研究。看學(xué)生到課末都興趣盎然，我不禁自問(wèn)：在我們自認(rèn)為終結(jié)的世界里，還有多少?zèng)]被打開的空間？

學(xué)生在自己的世界里尋找到了自己的解釋，并創(chuàng)造出了自己的答案。我不知道還有多少未知能變成已知，為人師的我們都該重新審視我們的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)世界！