UI2017江蘇卷第14題的三種解法

摘 要：高考區分題一直是一個高點，很多人望而生畏，然而只要基礎扎實，方法得當，大膽創新，打開它是一件很美妙的事情。

關鍵詞：2017高考區分題；分段函數；數形結合

題目（2017·江蘇文理科，14）設f（x）是定義在R上且周期為1的函數，在區間[0，1）上，f（x）=

x2，x∈D，x，xD，其中集合D=x|x=n-1n，n∈N*，則方程

f（x）-lgx=0的解的個數是。

方法一（以特殊代一般）：待求也是解題的已知信息。從待求“方程f（x）-lgx=0的解的個數是”給我們的啟示：答案與n無關，因此，我們可以從特殊值入手，求得答案。

取n=1，則D={0}，x∈[0，1）時，f（x）=x2，x=0，x，x≠0，

作出y=f（x）與y=lgx的圖象，如圖1，

由圖知，y=f（x）與y=lgx的圖象在[2，3），[3，4），…，[8，9）內各有一個交點，計7個；

在[9，10），[10，11），…，上無交點；在[0，1）內無交點；

要弄清楚x∈[1，2）時，y=f（x）與y=lgx的圖象除（1，0）外還有無其他交點？

易求y′=1xln10，y=lgx在（1，0）處的切線方程為y=1ln10（x-1）=lge（x-1），

顯然，當1lge（x-1），∴y=f（x）與y=lgx的圖象在[1，2）內有且只有1個交點。

綜上，y=f（x）與y=lgx的圖象有8個交點，即f（x）-lgx=0的解的個數是8。

方法二（數形結合法）：y=f（x）在[0，1）上的圖象為一條線段（含左端點不含右端點）扣去一個點n-1n，

n-1n，再補上一個點n-1n，n-1n2，

其值域是0，n-1n∪n-1n，1，n∈N*。

由0≤lgx<1得1≤x<10，因此，研究方程f（x）-lgx=0的解的個數，只須在1≤x<10內。

作出y=f（x）的圖象，再作出y=lgx的圖象，如圖2，

易見y=f（x）與y=lgx的圖象在[2，3），[3，4），…，[8，9）內各有一個交點；在[9，10）內無交點；另外，y=f（x）與y=lgx的圖象在[1，2）內有且只有1個交點（1，0）（仿方法一證明）。

∴y=f（x）與y=lgx的圖象有8個交點，即f（x）-lgx=0的解的個數是8。

方法三（大膽猜，小心證）：運用特殊或數形結合，猜測出y=f（x）與y=lgx的圖象有8個交點，即f（x）-lgx=0的解的個數是8。

下面給出嚴格證明。

易求f（x）=（x-k）2，x-k∈D，x-k，x-kD，x∈[k，k+1），k∈Z。

f（x）的值域是0，n-1n∪n-1n，1，n∈N*。

由0≤lgx<1得1≤x<10，因此，研究方程f（x）-lgx=0的解，只須在1≤x<10內。

設F（x）=f（x）-lgx，x∈[k，k+1），k=1，2，3，…，9。

先證明：x=n-1n（n∈N*）不是F（x）的零點。假設x=n-1n（n∈N*）是F（x）的零點，則n-1n-k2=lgn-1n，n>1，10（n-1-kn）2=n-1nn2，左邊為整數，右邊為真分數，矛盾，∴x=n-1n（n∈N*）不是F（x）的零點。

再證：在[1，2）上時，F（x）的零點有且只有一個x=1，此時k=1。

顯然，k=1時，F（1）=0，∴x=1是F（x）的零點。

當10，∴F（x）在（1，2）上單調遞增，∴F（x）>F（1）=0，∴F（x）在（1，2）上有且只有一個零點x=1。

最后證明：F（x）在[k，k+1）內有唯一零點，k=2，3，…，8。

當x∈[k，k+1），k=2，3，…，9時，F（k）=-lgk<0；F（k+1）=1-lg（k+1）=lg10k+1>0

Symbol^C@ 2≤k<9，又F（x）在[k，k+1）上連續，∴F（x）在[k，k+1）內有唯一零點，k=2，3，…，8。

綜上，F（x）在x>0上有且只有8個零點，故f（x）-lgx=0的解的個數是8。

方法四（換元簡化）：f（x）-lgx=0

Symbol[C@ f（x）=lgxT=1

Symbol^C@ f（x-k）=lgx，k∈Z。

設t=x-k，則t∈[0，1），方程化為f（t）=lg（t+k），t∈[0，1）。

f（t）=t2，t=n-1n，t，t≠n-1n，（n∈N*），其值域是

0，n-1n∪n-1n，1，n∈N*。

由0≤lg（t+k）<1有1≤t+k<10，又t∈[0，1），k∈Z，∴k=1，2，…，9。

先證明：t=n-1n（n∈N*）不是f（t）=lg（t+k）的解。假設t=n-1n（n∈N*）是f（t）=lg（t+k）的解，則n-1n2=lg

n-1n+k，∵當k=2，…，9時，2

n-1n+k必為無理數，而n-1n2為有理數，矛盾，∴t=n-1n（n∈N*）不是f（t）=lg（t+k）的解。

注：n-1n是既約分數，且是真分數。

再證：當k=1時，f（t）=lg（t+k）有唯一解t=0。

當k=1時，n-1n2=lgn-1n+1，

∵n-1n+1∈[1，2），∴lgn-1n+1有唯一的有理數lg1=0，此時，n=1，∴f（t）=lg（t+k）有唯一解t=0。

最后證明：f（t）=lg（t+k）在[0，1）內有唯一零點，k=2，3，…，8。

當k=2，3，…，9時，f（t）=lg（t+k）

Symbol^C@ t=lg（t+k），t∈[0，1）。

設F（t）=t-lg（t+k），t∈[0，1），k=2，3，…，9，則F′（t）=1-lget+k=t+k-lget+k

>0，

∴F（t）在[0，1）上增。

∵F（0）=-lgk<0；F（1）=1-lg（k+1）=lg10k+1>0

Symbol^C@ 2≤k<9，又F（t）在上連續[0，1），∴當k=2，3，…，8時，F（t）在[0，1）內有唯一零點。

綜上，F（t）=t-lg（t+k），t∈[0，1）有且只有8個零點，故f（x）-lgx=0的解的個數是8。

最后用四句話概括：分段函數嵌集合，周期對數尋零點；特值數形大膽猜，零點存在嚴謹證。

作者簡介：邢富根，江蘇省南京市，南京淳輝高級中學。