“遞進(jìn)式問題鏈”在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用
——基于中考一輪復(fù)習(xí)課“旋轉(zhuǎn)”的教學(xué)過程及感悟

“遞進(jìn)式問題鏈”在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用
——基于中考一輪復(fù)習(xí)課“旋轉(zhuǎn)”的教學(xué)過程及感悟

■劉春云

基于“問題驅(qū)動(dòng)思維”的教學(xué)理念，科學(xué)合理地創(chuàng)設(shè)具有邏輯關(guān)聯(lián)、螺旋上升的遞進(jìn)式問題鏈，有助于激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探究的熱情，使學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)解題方法的同時(shí)，逐步形成解決問題的能力。

遞進(jìn)式 問題鏈 復(fù)習(xí)課

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，沒有問題就沒有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是以不斷地提出問題，并解決問題的方式來獲取知識(shí)、發(fā)展思維。而“遞進(jìn)式問題鏈”，就是指教師在課堂教學(xué)中，按照由易到難、由特殊到一般、由局部到整體、由直觀到抽象，科學(xué)合理地創(chuàng)設(shè)一系列問題，形成一個(gè)螺旋上升的“問題鏈”，促使學(xué)生在設(shè)問和體驗(yàn)的過程中，形成自主學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)和欲望，在分析和解決問題的過程中，獲得知識(shí)和方法，逐步形成解決問題的能力，從而達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。

一、教學(xué)過程

1.問題引領(lǐng)，回顧旋轉(zhuǎn)。

人們常說“一年之計(jì)在于春”，同理，“一課之計(jì)在于始”，良好的開端是成功的一半。課堂導(dǎo)入的方式很多，最重要的宗旨就是引起學(xué)生的注意力和興趣，而遞進(jìn)式問題鏈的運(yùn)用就是以學(xué)生原有認(rèn)知為基礎(chǔ)，逐步展開、引申，循序漸進(jìn)地設(shè)置問題，經(jīng)歷平滑過渡的階段，從而激起學(xué)生探究的興趣。

教學(xué)片斷1

教師：同學(xué)們，現(xiàn)在有一張帶網(wǎng)格的直角坐標(biāo)系（如圖1），你覺得最方便在圖中找到什么？

學(xué)生：橫縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)。

教師：好！那就請(qǐng)同學(xué)們找出點(diǎn)A（-2,-4）。（學(xué)生找出點(diǎn)A后，期待地看著老師。）

教師：我想將點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一下，還需要知道什么？

學(xué)生1：還要知道旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度。

教師：很好！說明旋轉(zhuǎn)有三要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度。（教師板書。）

教師：將點(diǎn)A繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)A'。（學(xué)生畫圖。）

教師：你知道點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長(zhǎng)嗎？

學(xué)生2：根據(jù)點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)前后到點(diǎn)O的距離不變，所以點(diǎn)A所經(jīng)過的路徑是以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)（即2）為半徑，90°為圓心角的一條弧，算出來是π。

（教師板書“旋轉(zhuǎn)性質(zhì)1：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等”。）

教師：繼續(xù)畫出點(diǎn)B（1，-1）繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'，再想想點(diǎn)B經(jīng)過的路徑長(zhǎng)是多少。（學(xué)生畫圖。）

教師：你能畫出線段AB所掃過的圖形，并算出面積嗎？

學(xué)生3：掃過的圖形是一個(gè)不規(guī)則圖形，但可以轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形計(jì)算面積。用扇形OAA'與△OA'B'之和減去扇形OBB'與△OAB之和，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角相等，可以證明△OA'B'與△OAB全等，因此面積相等，相互抵消，只要算出兩個(gè)扇形面積之差即可。

（教師板書：“旋轉(zhuǎn)性質(zhì)2：對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角相等，即旋轉(zhuǎn)角”。）

教師：很好！如果A、B兩點(diǎn)都是繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)360°，點(diǎn)A的路徑又是什么？線段AB掃過的圖形又是什么呢？

學(xué)生4：點(diǎn)A的路徑是半徑為OA的⊙O，線段AB掃過的圖形是半徑為OA與半徑為OB的兩個(gè)⊙O間的圓環(huán)。

教師：我們繼續(xù)畫出點(diǎn)C（0，-4）繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'，連接AB、BC、CA得到△ABC，連接A'B'、B'C'、C'A'得到△A'B'C'。（學(xué)生畫圖。）請(qǐng)問，這兩個(gè)三角形有何關(guān)系？又是通過怎樣的變換得到的？

學(xué)生5：這兩個(gè)三角形全等，而且△A'B'C'是由△ABC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的。（教師板書：“旋轉(zhuǎn)性質(zhì)3：旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等”。）

教師：你知道△ABC所掃過的面積嗎？

學(xué)生6：△ABC所掃過的面積是剛才AB掃過的面積與△A'B'C'的面積之和。

教師：至此，在旋轉(zhuǎn)過程中，我們不但知道點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所經(jīng)過的路徑，而且還知道線段旋轉(zhuǎn)所掃過的面積，以及三角形旋轉(zhuǎn)所掃過的面積。非常棒！

教師：在你手中的這幅圖中，如果只有△ABC和△A'B'C'，你能找出旋轉(zhuǎn)中心嗎？

學(xué)生7：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)1可知，只要畫出線段A A'、B B'、CC'中任意兩條的垂直平分線，得到的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心。

（教師板書“旋轉(zhuǎn)中心在每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線上”。）

中考一輪復(fù)習(xí)課，既要注重知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)鞏固，又要兼顧學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。如何把這類復(fù)習(xí)課上得不枯燥無味，如何激起學(xué)生的興趣，是我們一線教師一直在不斷思考的問題。這節(jié)課的導(dǎo)入，運(yùn)用了“遞進(jìn)式問題鏈”，通過由淺入深、由局部到整體的螺旋式提問，最終形成圖1這樣一個(gè)整體，既達(dá)到復(fù)習(xí)旋轉(zhuǎn)三要素及三個(gè)性質(zhì)的目的，又揭示了研究數(shù)學(xué)圖形的通法：由點(diǎn)到線，再由線到面，同時(shí)在求不規(guī)則圖形面積時(shí)，還滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。整個(gè)引入復(fù)習(xí)過程，學(xué)生有著濃厚的興趣以及強(qiáng)烈的求知欲，猶如嗷嗷待哺的嬰兒期待看母親的乳汁似的等待著教師新的問題。充滿了期待的課堂，充滿了活力的課堂，教學(xué)效果就不言而喻了。

2.拓展應(yīng)用，深化理解。

教學(xué)片斷2

教師：這里有一組“手拉手”的等邊三角形（如圖2、3、4），現(xiàn)考查一下大家的眼力，請(qǐng)?jiān)诟鲌D中的五個(gè)點(diǎn)間連接兩條線，構(gòu)造一對(duì)全等三角形。

學(xué)生8：連接AD、CE，得到△ABD和△CBE全等，判定理由是“邊角邊”。

教師：這對(duì)全等的三角形可以通過怎樣的旋轉(zhuǎn)得到呢？（再次鞏固旋轉(zhuǎn)的三要素，學(xué)生回答略。）

教師：若直線AD與CE的交點(diǎn)為F，你知道∠AFC的度數(shù)嗎？（盡管圖形位置有變，但處理問題的方法不變，在此滲透類比思想，學(xué)生回答略。）

圖1

圖2

圖3

圖4

教師：鑒于圖形的特殊性，我們還可以進(jìn)一步設(shè)置問題。如圖5，在等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，PA=5，PB=3，PC=4，則∠BPC是多少度？（學(xué)生輕松作答。）

教師：若我們推廣開去，如圖6、7，在正方形ABCD和正六邊形ABCDEF內(nèi)各有點(diǎn)P，你能求出∠BPC嗎？（此處設(shè)置的問題鏈，既是對(duì)圖5的拓展延伸，也是想讓學(xué)生明白如何將零散的線段集中到同一個(gè)三角形中去解決問題，同時(shí)，也是想向?qū)W生說明，旋轉(zhuǎn)不僅僅是一種圖形變換，也可以作為一種解題方法。）

圖5

圖6

圖7

此處從兩條線路設(shè)置遞進(jìn)式問題鏈展開課堂研討，旨在進(jìn)一步深化旋轉(zhuǎn)三要素、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，以及旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用，既開闊了學(xué)生的視野，讓學(xué)生了解到旋轉(zhuǎn)可以作為一種解題途徑，通過旋轉(zhuǎn)可以將零散的線段集中到某一個(gè)三角形中，從而使問題得以解決，又滲透了類比思想，達(dá)到讓學(xué)生“會(huì)一題、通一類”的目的。

二、幾點(diǎn)體會(huì)

1.遞進(jìn)式問題鏈的設(shè)計(jì)要“承上啟下”。

設(shè)計(jì)遞進(jìn)式問題鏈，要根據(jù)學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)以及身心特點(diǎn)，循序漸進(jìn)地設(shè)置問題，必須有承上啟下之功效。無論是新課，還是復(fù)習(xí)課，都應(yīng)該先對(duì)學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力有個(gè)清晰的掌握，然后巧妙地設(shè)置問題，激發(fā)學(xué)生去主動(dòng)參與、主動(dòng)探究。同時(shí)，還應(yīng)該使設(shè)置的遞進(jìn)式問題鏈有個(gè)適中的梯度，讓學(xué)生跳一跳才能摘到果子，逐步把學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)轉(zhuǎn)變成現(xiàn)實(shí)發(fā)展區(qū)，最終使學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)和思維能力都得到有效發(fā)展。

2.復(fù)習(xí)課的導(dǎo)入形式要高效到位。

布魯納說過：“思維永遠(yuǎn)是從問題開始的。”如果教師依然采用程式化的復(fù)習(xí)方式，那么就很難調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，同時(shí)也很難喚醒學(xué)生沉睡的知識(shí)。基于此，本課例的設(shè)計(jì)是將知識(shí)點(diǎn)蘊(yùn)藏于問題鏈之中，由點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，到線段旋轉(zhuǎn)，再到三角形旋轉(zhuǎn)，一步步喚醒學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)概念、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的記憶，再進(jìn)一步求由旋轉(zhuǎn)引起的路徑長(zhǎng)、掃過的圖形面積。整個(gè)引入是環(huán)環(huán)相扣地呈現(xiàn)的，學(xué)生始終帶著期待，帶著濃厚興趣，于是課堂就有了活力，真正達(dá)到激活學(xué)生復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)的效果。

3.中考一輪復(fù)習(xí)的設(shè)計(jì)要精準(zhǔn)定位。

一輪復(fù)習(xí)應(yīng)以基礎(chǔ)知識(shí)為主線，反饋矯正為輔助，能力培養(yǎng)為目標(biāo)。因此，我們要對(duì)目標(biāo)達(dá)成度、知識(shí)容量和思維容量做一個(gè)梳理和編排，力求做到精細(xì)化復(fù)習(xí)，切實(shí)落實(shí)“低起點(diǎn)、小坡度、大容量、高效益”的復(fù)習(xí)指導(dǎo)思想，確保學(xué)生在夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，有足夠的思維強(qiáng)度，最終達(dá)到提升數(shù)學(xué)能力的目標(biāo)，同時(shí)還應(yīng)兼顧數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想的滲透。

三、結(jié)束語

真正優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師，在課堂教學(xué)中，不會(huì)局限于知識(shí)點(diǎn)的傳授，也不會(huì)僅僅局限于某一問題的解決，而是更加重視數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練和提升。因此，無論是新授課，還是復(fù)習(xí)課，我們都應(yīng)該做到對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行重組，根據(jù)學(xué)生身心特點(diǎn)，設(shè)置精煉、高效的問題，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。遞進(jìn)式問題鏈的設(shè)計(jì)，應(yīng)從一個(gè)簡(jiǎn)單知識(shí)點(diǎn)或一個(gè)簡(jiǎn)單問題出發(fā)，通過引申、拓展，引導(dǎo)學(xué)生去聯(lián)想、探索，探究出某類問題的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而提升學(xué)生由此及彼的思維遷移能力，更為學(xué)生知識(shí)的獲得和思維的發(fā)散提供廣闊的發(fā)展空間。

（作者為江蘇省無錫市前洲中學(xué)教師）