“遞進式問題鏈”在數學課堂教學中的應用
——基于中考一輪復習課“旋轉”的教學過程及感悟

“遞進式問題鏈”在數學課堂教學中的應用
——基于中考一輪復習課“旋轉”的教學過程及感悟

■劉春云

基于“問題驅動思維”的教學理念，科學合理地創設具有邏輯關聯、螺旋上升的遞進式問題鏈，有助于激發學生主動探究的熱情，使學生在獲得數學知識和數學解題方法的同時，逐步形成解決問題的能力。

遞進式 問題鏈 復習課

“問題是數學的心臟”，沒有問題就沒有數學，數學教學應該是以不斷地提出問題，并解決問題的方式來獲取知識、發展思維。而“遞進式問題鏈”，就是指教師在課堂教學中，按照由易到難、由特殊到一般、由局部到整體、由直觀到抽象，科學合理地創設一系列問題，形成一個螺旋上升的“問題鏈”，促使學生在設問和體驗的過程中，形成自主學習的動機和欲望，在分析和解決問題的過程中，獲得知識和方法，逐步形成解決問題的能力，從而達成教學目標。

一、教學過程

1.問題引領，回顧旋轉。

人們常說“一年之計在于春”，同理，“一課之計在于始”，良好的開端是成功的一半。課堂導入的方式很多，最重要的宗旨就是引起學生的注意力和興趣，而遞進式問題鏈的運用就是以學生原有認知為基礎，逐步展開、引申，循序漸進地設置問題，經歷平滑過渡的階段，從而激起學生探究的興趣。

教學片斷1

教師：同學們，現在有一張帶網格的直角坐標系（如圖1），你覺得最方便在圖中找到什么？

學生：橫縱坐標為整數的點。

教師：好！那就請同學們找出點A（-2,-4）。（學生找出點A后，期待地看著老師。）

教師：我想將點A旋轉一下，還需要知道什么？

學生1：還要知道旋轉中心、旋轉方向、旋轉角度。

教師：很好！說明旋轉有三要素：旋轉中心、旋轉方向、旋轉角度。（教師板書。）

教師：將點A繞原點O逆時針旋轉90°得到點A'。（學生畫圖。）

教師：你知道點A經過的路徑長嗎？

學生2：根據點A旋轉前后到點O的距離不變，所以點A所經過的路徑是以點O為圓心，OA長（即2）為半徑，90°為圓心角的一條弧，算出來是π。

（教師板書“旋轉性質1：對應點到旋轉中心的距離相等”。）

教師：繼續畫出點B（1，-1）繞原點O逆時針旋轉90°的對應點B'，再想想點B經過的路徑長是多少。（學生畫圖。）

教師：你能畫出線段AB所掃過的圖形，并算出面積嗎？

學生3：掃過的圖形是一個不規則圖形，但可以轉化成規則圖形計算面積。用扇形OAA'與△OA'B'之和減去扇形OBB'與△OAB之和，根據旋轉角相等，可以證明△OA'B'與△OAB全等，因此面積相等，相互抵消，只要算出兩個扇形面積之差即可。

（教師板書：“旋轉性質2：對應點與旋轉中心所連線段的夾角相等，即旋轉角”。）

教師：很好！如果A、B兩點都是繞點O旋轉360°，點A的路徑又是什么？線段AB掃過的圖形又是什么呢？

學生4：點A的路徑是半徑為OA的⊙O，線段AB掃過的圖形是半徑為OA與半徑為OB的兩個⊙O間的圓環。

教師：我們繼續畫出點C（0，-4）繞原點O逆時針旋轉90°的對應點C'，連接AB、BC、CA得到△ABC，連接A'B'、B'C'、C'A'得到△A'B'C'。（學生畫圖。）請問，這兩個三角形有何關系？又是通過怎樣的變換得到的？

學生5：這兩個三角形全等，而且△A'B'C'是由△ABC繞原點O逆時針旋轉90°得到的。（教師板書：“旋轉性質3：旋轉前后的圖形全等”。）

教師：你知道△ABC所掃過的面積嗎？

學生6：△ABC所掃過的面積是剛才AB掃過的面積與△A'B'C'的面積之和。

教師：至此，在旋轉過程中，我們不但知道點旋轉所經過的路徑，而且還知道線段旋轉所掃過的面積，以及三角形旋轉所掃過的面積。非常棒！

教師：在你手中的這幅圖中，如果只有△ABC和△A'B'C'，你能找出旋轉中心嗎？

學生7：由旋轉的性質1可知，只要畫出線段A A'、B B'、CC'中任意兩條的垂直平分線，得到的交點即為旋轉中心。

（教師板書“旋轉中心在每對對應點所連線段的垂直平分線上”。）

中考一輪復習課，既要注重知識點的復習鞏固，又要兼顧學生思維能力的培養。如何把這類復習課上得不枯燥無味，如何激起學生的興趣，是我們一線教師一直在不斷思考的問題。這節課的導入，運用了“遞進式問題鏈”，通過由淺入深、由局部到整體的螺旋式提問，最終形成圖1這樣一個整體，既達到復習旋轉三要素及三個性質的目的，又揭示了研究數學圖形的通法：由點到線，再由線到面，同時在求不規則圖形面積時，還滲透了轉化的數學思想方法。整個引入復習過程，學生有著濃厚的興趣以及強烈的求知欲，猶如嗷嗷待哺的嬰兒期待看母親的乳汁似的等待著教師新的問題。充滿了期待的課堂，充滿了活力的課堂，教學效果就不言而喻了。

2.拓展應用，深化理解。

教學片斷2

教師：這里有一組“手拉手”的等邊三角形（如圖2、3、4），現考查一下大家的眼力，請在各圖中的五個點間連接兩條線，構造一對全等三角形。

學生8：連接AD、CE，得到△ABD和△CBE全等，判定理由是“邊角邊”。

教師：這對全等的三角形可以通過怎樣的旋轉得到呢？（再次鞏固旋轉的三要素，學生回答略。）

教師：若直線AD與CE的交點為F，你知道∠AFC的度數嗎？（盡管圖形位置有變，但處理問題的方法不變，在此滲透類比思想，學生回答略。）

圖1

圖2

圖3

圖4

教師：鑒于圖形的特殊性，我們還可以進一步設置問題。如圖5，在等邊△ABC內有一點P，PA=5，PB=3，PC=4，則∠BPC是多少度？（學生輕松作答。）

教師：若我們推廣開去，如圖6、7，在正方形ABCD和正六邊形ABCDEF內各有點P，你能求出∠BPC嗎？（此處設置的問題鏈，既是對圖5的拓展延伸，也是想讓學生明白如何將零散的線段集中到同一個三角形中去解決問題，同時，也是想向學生說明，旋轉不僅僅是一種圖形變換，也可以作為一種解題方法。）

圖5

圖6

圖7

此處從兩條線路設置遞進式問題鏈展開課堂研討，旨在進一步深化旋轉三要素、旋轉性質，以及旋轉的應用，既開闊了學生的視野，讓學生了解到旋轉可以作為一種解題途徑，通過旋轉可以將零散的線段集中到某一個三角形中，從而使問題得以解決，又滲透了類比思想，達到讓學生“會一題、通一類”的目的。

二、幾點體會

1.遞進式問題鏈的設計要“承上啟下”。

設計遞進式問題鏈，要根據學生已有的認知結構以及身心特點，循序漸進地設置問題，必須有承上啟下之功效。無論是新課，還是復習課，都應該先對學生已有的知識基礎和學習能力有個清晰的掌握，然后巧妙地設置問題，激發學生去主動參與、主動探究。同時，還應該使設置的遞進式問題鏈有個適中的梯度，讓學生跳一跳才能摘到果子，逐步把學生的最近發展區轉變成現實發展區，最終使學生的數學知識和思維能力都得到有效發展。

2.復習課的導入形式要高效到位。

布魯納說過：“思維永遠是從問題開始的。”如果教師依然采用程式化的復習方式，那么就很難調動學生的積極性，同時也很難喚醒學生沉睡的知識。基于此，本課例的設計是將知識點蘊藏于問題鏈之中，由點旋轉，到線段旋轉，再到三角形旋轉，一步步喚醒學生對旋轉概念、旋轉性質的記憶，再進一步求由旋轉引起的路徑長、掃過的圖形面積。整個引入是環環相扣地呈現的，學生始終帶著期待，帶著濃厚興趣，于是課堂就有了活力，真正達到激活學生復習基礎知識的效果。

3.中考一輪復習的設計要精準定位。

一輪復習應以基礎知識為主線，反饋矯正為輔助，能力培養為目標。因此，我們要對目標達成度、知識容量和思維容量做一個梳理和編排，力求做到精細化復習，切實落實“低起點、小坡度、大容量、高效益”的復習指導思想，確保學生在夯實基礎知識的同時，有足夠的思維強度，最終達到提升數學能力的目標，同時還應兼顧數學方法、數學思想的滲透。

三、結束語

真正優秀的數學教師，在課堂教學中，不會局限于知識點的傳授，也不會僅僅局限于某一問題的解決，而是更加重視數學思維的訓練和提升。因此，無論是新授課，還是復習課，我們都應該做到對教學內容進行重組，根據學生身心特點，設置精煉、高效的問題，培養學生良好的思維品質。遞進式問題鏈的設計，應從一個簡單知識點或一個簡單問題出發，通過引申、拓展，引導學生去聯想、探索，探究出某類問題的內在聯系，進而提升學生由此及彼的思維遷移能力，更為學生知識的獲得和思維的發散提供廣闊的發展空間。

（作者為江蘇省無錫市前洲中學教師）