數學概念、性質教學的一點建議
——以蘇教版橢圓性質教學為例

數學概念、性質教學的一點建議
——以蘇教版橢圓性質教學為例

☉江蘇省海安縣曲塘中學 周愛琴

在高中數學某些性質、定理的教學中，部分教師采用讓學生先記憶，再進行解題應用訓練來達到熟練程度的辦法，對相關性質、定理的得出并未進行推理、說明，學生往往也是只知道有這個性質，但這個性質是如何得出的，并不清楚.因此在創新問題的解答中往往找不到問題的切入點.

一、引例說明

題目曲線C是平面內與定點F（2，0）和定直線x=-2的距離的積等于4的點的軌跡.下列四個結論：

①曲線C過坐標原點；②曲線C關于x軸對稱；③曲線C與y軸有3個交點；④若點M在曲線C上，則|MF|的最小值為2（-1）.

其中，所有正確結論的序號是___________.

定義一個新曲線，考查曲線相應的幾何性質.考查學生即時學習的能力，培養學生創新意識.從數（方程）與形（曲線）兩個角度認識事物.解答此題的方法其實在教材中都能找原型，如蘇教版教材“圓錐曲線與方程”橢圓的簡單幾何性質一節中均有詳細的說明.

二、解法探源

以焦點在x上的橢圓方程為例.

1.橢圓上的點（x，y）的坐標范圍

2.橢圓的對稱性

3.橢圓的頂點

4.橢圓上的點到焦點的距離最值問題

所以當x=-a時，|PF1|min=a-c；當x=a時，|PF1|max=a+c.

其實上述性質通過直接觀察橢圓的圖形即可得出，也不難理解、容易接受.但是如果我們真的這樣做了，那就失去了培養學生解題能力的一次有利時機.

三、問題解答

曲線C是平面內與定點F（2，0）和定直線x=-2的距離的積等于4的點的軌跡：設M（x，y）是曲線C上任意一點，則有此方程若進一步化簡較為復雜，但這并不影響我們對題目所給結論正確性的判斷：

對于結論①，判斷曲線C是否過坐標原點，可將x=0， y=0代入方程中，等式成立，故結論①正確.

說明：此結論的判斷方法源于橢圓頂點的求解.

對于結論②，判斷曲線C是否關于x軸對稱，可令-y代換方程中的y，方程不改變，所以曲線C關于x軸對稱，故結論②正確.

說明：此結論的判斷方法源于橢圓對稱性的判斷.

說明：此結論的判斷方法源于橢圓頂點的求解.

故結論④正確.

說明：此結論的判斷方法源于橢圓上點的坐標范圍的確定及橢圓上的點到焦點距離的最值問題的求解.

綜上所述，本題的正確答案為①②④.

四、變式拓展

變式曲線C是平面內與三個定點F（1-1，0），F（21，0）和F（30，1）的距離的和等于2的點的軌跡.給出下列四個結論：①曲線C關于x軸、y軸均對稱；②曲線C上存在一點P，使得③若點P在曲線C上，則△F1PF2的面積最大值是1；④三角形PF2F3面積的最大值

其中所有真命題的序號是_________.

解析設曲線C上任意一點為P（x，y）.由題意可知，C的方程為

對于結論①，在此方程中，用-x，-y分別取代x，y，可知C只關于y軸對稱，不關于x軸對稱.故結論①錯誤.

對于結論③，因為|PF1|+|PF2|≤|PF1|+|PF2|+|PF3|=2，所有的P點都應該在橢圓D：+y2=1內（含邊界），曲線C與D有唯一公共點A（0，1），此時，三角形面積最大，最大值為1.故結論③正確.

對于結論④，△PF2F3面積的最大值為此時需要先考慮以F2，F3為焦點、實半軸為的橢圓E，其短軸頂點到直線F2F（3x+y-1=0）距離為，此時△PFF的23面積為，但是曲線C應該在此橢圓內部，所以三角形PF2F3的面積應小于.故結論④錯誤.

綜上所述，本題正確答案為③.

五、教學反思

通過上述兩例的分析，我們不難發現，對于一道所謂的難題，“難”往往只是體現在問題的形式，透過表象，不難發現問題的求解方法其實都是我們熟悉的內容，關鍵在于有沒有引起我們足夠的重視.

教材是歷代教學專家智慧的結晶，是高考命題的主要依據，很多教師在教學中對教材內容的重視不夠，常常是少講甚至不講，脫離教材.例如很多學生在學完了雙曲線的有關內容之后，仍然不知道為什么雙曲線的離心率越大，曲線的開口越大.是教師不知道嗎？當然不是，只是他們對這一原理沒有進一步解釋，其實道理很簡單，因為離心率，所以離心率越大，越大，曲線的開口越大.

教材中的每一個知識點，甚至每一道例題或習題都是眾多專家精心編排的，具有典型性、代表性、發散性，很多高考命題都是在這些內容的基礎上衍變而來，即使是綜合題的命制也例外，也是由教材中例題或習題的組合、深度加工和拓展而來，因此對教材內容不能孤立地看待，要抓住重點，并且善于從各個方面精心挖掘其內存的潛能，使教材中的每一個知識點、每一道例習題都能充分發揮其應有的作用.

操作起來其實很簡單，在講解某一知識點時，只要我們講清楚該知識點的來龍去脈，并對教材內容進行有效的追問、拓展，將問題的背景進行引伸，將問題形式進行變換，這樣就能有效激活學生的思維，幫助學生建立章節內部及章節之間的知識網絡，形成系統，進而有效促進學生分析問題能力、解決問題能力的提高與發展.