公式課不能淪為習題課
——基于核心素養下的公式課教學思考

☉江蘇省宜興市和橋高級中學 杜健

公式課不能淪為習題課
——基于核心素養下的公式課教學思考

☉江蘇省宜興市和橋高級中學 杜健

解題是數學教學的主要內容，但不是數學教學的全部，但鑒于解題在應試中的重要作用，相當多的教師把解題視為壓倒一切的重要任務，從而導致“新課習題化”傾向嚴重.最近筆者觀摩了一節市級公開課——“同角三角函數基本關系”，恰恰反映了上述傾向.

一、公式課內容簡單，不能這樣上

在評課環節中，授課教師介紹了自己的教學設計思路，他認為本堂課的教學內容實在太簡單了，就兩個公式而已，學生很容易理解掌握，并且學生在初中銳角三角函數的學習中已經知道了這兩個公式，所以這兩個公式沒什么好講的.公式的證明思路也簡單，所以他就把重點放在公式的應用上，盡可能讓學生接觸更多類型的題目，從而掌握公式的應用技巧.

二、公式課還可以這樣上

說實話，跟這位教師存在相同想法的教師不在少數，但仔細斟酌后，這樣的想法是有問題的.最糟糕的是犯了“就課論課”的錯誤，本節課內容看似簡單，但要知道數學課堂教學的目的不僅僅是傳授基本的知識，更重要的讓學生體會一般數學的研究過程，感悟其中的數學思想與方法.把結論直接拋給學生，舍棄自主探究、獨立思考的過程，過度夸大練習強化的教育功能，這絕對不是我們數學公式教學“常態”，更是與當前提倡的高中數學學科核心素養相違背.數學核心素養是人們能夠用數學的眼光來觀察世界，發現、提出、分析和解決問題的內在素養，由數學知識與技能、數學思想與方法、數學能力與觀念等組成.數學核心素養是數學課程目標的集中體現，是數學課堂教學的依據.下面筆者就立足數學核心素養，對這節課進行重新設計.

1.公式的發現：以數學運算為手段激活邏輯推理問題1計算下列三角函數值并思考：

（1）sin30°=________，cos30°=________，tan30°= ________=________，sin230°+cos230°=_______.

（2）sin45°=________，cos45°=________，tan45°= ________=________，sin245°+cos245°=_______

（3）sin60°=________，cos60°=________，tan60°= ________=________，sin260°+cos260°=_______

思考：通過上述計算，你有什么發現？

問題2：在初中學習的公式sin2x+cos2x=1，tanx=，角x應滿足什么條件？

問題3：若對任意角x，上述公式還成立嗎？

意圖：一方面在復習舊知識的基礎上由特殊角三角函數值為切入點，讓學生通過運算，驗證關系、發現規律；另一方面由于筆者所在學校學生基礎比較差，所以采用由簡單到較復雜的問題串形式更容易激發學生的學習欲望，降低學習的門檻，這也充分體現螺旋上升的教學理念.

點評：這樣的設計一方面發展了學生的數學運算核心素養，另一方面在明晰運算對象的基礎上依據運算法則激活邏輯推理的過程，從而使學生進入公式猜想的思維歷程.

2.公式證明：以直觀想象為突破口實現數學抽象

問題4：在初中時怎么證明公式sin2x+cos2x=1，tanx=

意圖：引導學生回顧銳角三角函數的定義過程，滲透證明公式要回歸定義的思想.

問題5：任意角三角函數是如何定義的？

問題6：任意角三角函數的幾何意義是什么？

問題7：公式sin2x+cos2x=1，tanx=怎么證明？

意圖：引導學生用單位圓表示點的坐標的方法進行證明，因為單位圓在三角函數一章的學習中發揮重要的作用，包括后續誘導公式的推導，兩角差的余弦公式推導，所以課堂教學還是要引導學生使用單位圓進行推導，理解單位圓在學習中的價值.

點評：引導學生借助單位圓及三角函數線，通過直觀想象發現公式證明的方法，以初中的同角函數關系為基礎進一步抽象出高中的同角三角函數公式.但數學抽象并不是“自動化”的過程，需要教師提供足夠的學習、想象素材，從數量與數量、圖形與圖形的關系中，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構.

3.公式應用：以數學運算為平臺開展數學建模

問題8：如何理解“同角”的含義？說說你對公式的理解.

意圖：在公式應用前要給學生一點感悟理解的時間，公式sin2x+cos2x=1，tanx=容易使學生產生思維定式，以為角只能是“x”.讓學生按自己的方式體會公式、理解公式，有助于知識的內涵.實際上“同角”就是同一個角，可以是α，可以是2α，也可以是，也可以是α+等

等.只要角存在（且有意義），就有這兩個關系成立.

編題：利用公式sin2x+cos2x=1，tanx=編題.

學生編題題3：已知tanx=2，求另外兩個三角函數值.

意圖：通過自主編題，體會公式在計算中的重要作用；通過計算，三角函數基本關系中明確“知一求二”基本原理.

（1）sinαcosα；

（2）sinα-cosα；

（3）sin3α+cos3α.

例2已知tanα=2，分別求以下三角函數式的值：

意圖：在運算中進一步體會三角函數基本關系，揭示數學問題的本質.在此基礎上，再對解題方法進行歸納總結，從中提煉出一般的數學模型.比如，sinα+cosα、sinαcosα、sinα-cosα三者可以相互表示與轉換，可以做到“知一求二”；對于類似于的齊次式，可以直接轉化為關于tanx的代數式.這些模型對于后續的學習具有非常積極的意義.

三、公式課中如何落實核心素養

1.公式課教學應立足核心素養的養成

相比其他課型，數學公式課相對簡單，學生往往記住公式后，就能夠直接應用公式進行數學解題活動，這就容易給教師錯覺，以為“記住公式=真正理解”.眾所周知，數學教學是以數學知識、方法、技能的學習逐步展開的，而在知識、方法、技能、思想的累積過程中，應始終把相關的核心素養蘊含其中.從學生已有的知識出發，順應學生思維發展，讓學生有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動，而不是直接把公式“灌輸”給學生，通過引導學生獨立思考、主動探究、合作交流，使學生理解和掌握基本的數學知識與技能，體會和運用數學思想與方法，逐步建立和形成數學核心素養.

2.公式課教學要凸顯主要核心素養

一般說來，高中數學核心素養由數學抽象、邏輯推理、數學建模、數據分析、直觀想象、數學運算六大素養組成.這六大核心素養之間既有聯系又有區別，既各有側重又形成體系，因此，很難實現在一節課中同時使這六大素養得到凸顯和培養.課堂教學究竟要落實和培養哪個核心素養是由課型與教學內容決定的.當然，在一節課中教師既要培養盡量多的核心素養，也要使主要核心素養得以進一步凸顯與落實，也就是說教師應基于教學內容，開發具有明確目標指向的教學資源及素材，突出數學的主要核心素養.對本節課來說，數學運算核心素養貫穿整個教學過程，在落實數學運算核心素養的過程中，使得數學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養也同時獲得提升.

數學公式課當然離不開習題的講解與練習，關鍵要控制習題訓練在整堂課比重，公式的發現、證明、理解是整堂課的主旋律，而公式的應用或者說習題訓練只是實現公式理解的一種手段，否則就容易偏離教學的軌道，陷入“題海”之中，那么這就與數學核心素養的基本理念背道而馳了.

1.彭翕成.例說數學核心素養［J］.教育研究與評論·中學教育教學，2016（5）.

2.華志遠.數學核心素養的內涵與構成［J］.教育研究與評論·中學教育教學，2016（5）.