關注教材旁白浸潤數學文化提升核心素養*
——由“數列”中的一個旁白引發的思考

☉重慶復旦中學 簡榆新

關注教材旁白浸潤數學文化提升核心素養*
——由“數列”中的一個旁白引發的思考

☉重慶復旦中學 黃益全

☉重慶復旦中學 簡榆新

一、問題源起

1.關注教材旁白，拓展教學空間

在人教A版教材必修5［1］P29例1的旁邊，教材編者給出了一個旁白“根據數列的前若干項寫出數列的通項公式的形式唯一嗎？請舉例說明.”教材P32“閱讀與思考”欄目又提供了“斐波那契數列”的閱讀材料.數學教材中“旁白”“閱讀與思考”等拓展欄目的素材常成為教師彰顯自身教學風格的“自留地”，既拓展了教師的教學空間，又為學生自主學習搭建了平臺，滲透著數學文化和數學思想，融理性思辨與實踐智慧于一體，同時也是高考命題專家比較青睞的命題素材.可以說，教材“旁白”等拓展欄目及教材中的數學史料在積淀學生數學文化、提升學生核心素養方面起著相當重要的作用.教材沒有太多的筆墨，但教師卻不能沒有思考.

2.浸潤數學文化，提升核心素養

目前，新一輪課程改革正在積極醞釀中，中國基礎教育課改正處于“再出發”階段，與之相伴的則是核心素養的提出.數學課標修訂組提出了六大數學核心素養：數學抽象、數學推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析，它是五大基本能力（空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和數據處理能力）的延續和深化.學生核心素養的培養應當依托一定的載體，以構建“數學文化背景下的思維活動”為價值取向的教學設計是一種較好的選擇［2］.在文化取向的教學設計中，我們的課堂教學不僅僅關注知識，還包括知識在內的整個文化.

二、旁白引發的思考

1.通項公式顯魅力，深探妙賞育素養

數列的通項公式相當于函數的解析式，有了它，無異于抓住了數列的全貌，為我們計算數列的任意項和研究數列的性質提供了一個關鍵的抓手.那么“根據數列的前若干項寫出數列的通項公式的形式唯一嗎？”事實上，除等差數列、等比數列和一些項與序號n的函數關系明顯的數列，可以直接憑歸納法寫出通項公式外，一般有限數列通項公式的獲取，其途徑豐富多彩，過程妙趣橫生.

例1數列｛an｝由1，-1，1，-1，…交替構成，其通項公式可表示為an=（-1）n+1，或an=cos（n+1）π，或an=sin或，也可表示為

以上構建過程均不失嚴謹，從不同角度體現出數學的抽象美.

例2斐波那契數列的前三項：1，1，2，我們可以設an=an2+bn+c，其圖像過點（1，1），（2，1），（3，2），那么an的表達式不也是該數列的通項公式嗎？［3］

再看該數列的前四項：1，1，2，3.在以上解法的基礎上，可設前四項的通項公式為an=an3+bn2+cn+d，則有

顯然，前后兩個通項公式大相徑庭，但卻都滿足前三項.實際上，斐波那契數列還有一個完整的通項公式：至此，有限數列通項公式不唯一的問題得以佐證.

這個問題引發了我們無限的遐想和追問：對于任意有限數列“a1，a2，…，an”，是否總可以構造一個次數至多是n-1次的多項式函數an=f（n），使其圖象經過n個點A1（1，a1），A2（2，a2），…，An（n，an）呢？答案是肯定的.同時，我們還可以發現，在有限數列“a1，a2，…，an”之后任意增補一項an+1，都可得新數列的通項公式，該公式又同時是原數列“a1，a2，…，an”的通項公式，所以，數列“a1，a2，…，an”的通項公式隨增項an+1的變化而變化，于是，可得數列的通項公式有無限多個.

以上構建多元方程組模型來確定有限數列通項公式的方法，對于缺乏線性代數基礎的中學生而言，有較大的計算障礙.那么，能否規避障礙，讓中學生在充滿樂趣的心境中解決問題呢？答案是肯定的.事實上，早在18世紀，法國數學家拉格朗日就為中學生提供了一個可以掌握的、萬能的插值公式［4］.

按照拉格朗日插值公式的構想，設an=f（1n）×（-1）+ f（2n）×π+f（3n）×10+f（4n）×，只需想法做到f（in）=，an的表達式即為所求.那么，f（in）如何構造呢？

事實上，只需取f1（

因此，對于任意k階有限數列，只需構造an=f（n）=，其中

至此，任意有限數列的通項公式的存在性與構造性問題得以解決.其中，fi（n）（i，n=1，2，3，4，…，k）的構建，更展現了數列的韻律美，使運算過程充滿了情趣.

2.數學文化入高考，核心素養潤無聲

事實上，高考試題中也常出現數列通項公式的背影，學生在解答高考試題的同時，對古典數學及數學文化進行了悄無聲息的浸潤.

例4［2008湖北卷理15題］觀察下列等式：

解析：由觀察可知，當k≥2時，每一個式子的第三項的系數是成等差數列的，所以，第四項均為零，所以ak-2=0.

評注：此試題的命制背景是基于正整數冪和等式.設k，n為整數，n≥1，k≥1，記Sk（n）=1k+2k+3k+…+nk，規定S（0，k）=0，稱S（n，k）=Sk（n）為前n個正整數的k次方冪和.正整數冪和的研究是一個古老而極具魅力的數論問題，它與G.Giuga猜想、偽素數、費馬數、伯努利數等都有關系，長期吸引著古今中外眾多杰出數學家如阿基米德、朱世杰、歐拉、陳景潤等傾心研究.13+23+33+…+n3=（1+2+ 3+…+n）2是著名華裔數學家陶哲軒少年時期最鐘愛的冪和恒等式.中國清代著名數學家李善蘭先生也研究過冪和正整數，并于1859年在《垛積比類》一書中首次提出了“李善蘭恒等式的組合公式”：該式馳名中外，自20世紀30年代以來，受到國際數學界的普遍關注和贊賞.

例5（2012湖北卷文17題）傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上面畫點或用小石子表示數.他們研究過如下圖所示的三角形數：

將三角形數1，3，6，10，記為數列｛an｝，將可被5整除的三角形數按從小到大的順序組成一個新數列｛bn｝，可以推測：

（1）b2012是數列｛an｝中的第_____項；（2）b2k-1=______.（用k表示）

解析：由以上規律可知三角形數1，3，6，10，…，的一個通項公式為寫出其若干項有：1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，110，發現其中能被5整除的為10，15，45，55，105，110，故b1=a4，b2=a5，b3=a9，b4=a10，b5=a14，b6=a15.

故b2012=a2×1006=a5×1006=a5030，即b2012是數列｛an｝中的第5 030項.

評注：事實上，公元前6世紀，還沒有紙，用小石子來研究數的性質，既方便又直觀，也是認識數的一種有趣方法.英語中的“計算”（Calculation）一詞來源于拉丁文“Calculus”，是小石子的意思.最早把正整數和幾何圖形聯系在一起的是古希臘畢達哥拉斯學派，他們把數描繪成沙灘上的小石子，又按小石子所能排列的形狀，把正整數與正三角形、正方形……等圖形聯系起來，將數分為三角形數、正方形數……這樣一來，抽象的正整數就有了生動的形象，尋找它們之間的規律也就容易多了.以此為原形編制的高考試題在考查學生觀察問題、分析問題、解決問題的能力及歸納推理能力、猜想能力的同時，也讓學生感受古代數學家的智慧.真可謂“小石子中蘊藏大天地”！

例6（2013湖北卷理14題）古希臘畢達哥拉斯學派的數學家研究過各種多邊形數.如三角形數1，3，6，10，…，第n個三角形數為記第n個k邊形數為N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k邊形數中第n個數的表達式：三角形數

正方形數N（n，4）=n2，

六邊形數N（n，6）=2n2-n，

……

可以推測N（n，k）的表達式，由此計算N（10，24）= _______.

評析：此例以“形數”知識為背景，有著深厚的文化底蘊，如三角平方數構成的數列的通項公式為fn=·另外斐波那契數列的通項公式為，這兩個含有無理數的通項公式，給出的解卻都是正整數，神奇之處如此一致，不得不令人嘆服！

在前幾年的高考自主命題中，湖北省對數學文化的考查可謂獨樹一幟，從教材正文、教材旁白、閱讀與思考等拓展欄目，到傳世名著、古典數學史料、數學猜想、歷史名題等，都成為湖北省命制高考數學試題的素材，由此逐漸形成了“依托數學史料，嵌入數學名題，彰顯數學文化”的鮮明特色.

人教A版高中數學教材非常關注對學生數學文化的熏陶和感染，在必修5中多次出現了古代數學家研究數學問題的文化背景，如P28畢達哥拉斯學派研究三角形數和正方形數，P30“謝賓斯基（Sieipinski）三角形”，P32“斐波那契數列”，P42“高斯求和”問題，P48以我國古代學者在《莊子.天下篇》中的一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”來引入等比數列，P55以國際象棋起源的故事引入等比數列求和問題，P59中國古老智力游戲“九連環”等.例5、例6就取材于此，這類試題“巧妙地將數列問題融于其中，要求考生充分挖掘信息，根據圖形規律歸納推理出數量關系.既合理引用了經典史料，又不刻意增加難度，同時對考生的‘數感’進行了有效的考查，讓學生在數學史的背景中體會數學的文化價值.”［5］與此同時，學生的六大核心素養在悄無聲息中得以提升.教師如能對教材中的這些內容加以關注，通過課堂教學和選修課加以拓展，則是培養學生核心素養的一種重要途徑.

三、結束語

隨著素質教育的深入推進和立德樹人教育改革目標的實施，學生學科核心素養的培養已正式提上日程，數學文化也將漸入高中數學課堂.核心素養理念支撐下的數學教學應當是以知識教學為核心的文化教學，是數學文化背景下的思維活動，是孕育學生核心素養的重要載體之一.關注和培養學生核心素養的課堂，不應忽視教材的拓展性欄目.誠然，自新課程改革以來，課時緊張，高考壓力增大是不言的事實.但對學生核心素養的浸潤和培養更是我們中學數學教師不二的選擇.在不斷重視過程性教學和學科核心素養的今天，我們的課堂教學要對局部核心知識的學習、重要數學方法的體驗、拓展欄目涉及的古典數學史料的追尋等數學學習過程以“慢”來浸潤，需要有意拉長被壓縮了的思維過程和數學發展歷程來豐富學生發現、探索、體驗的過程，提供文化背景，創建文化氛圍，挖掘文化內涵，浸潤文化根基，促使學生在思維的慢鏡頭和歷史的長河中感知、體驗數學及數學文化.教師可以通過開設選修課，以小專題形式對教材拓展欄目的內容加以深化、拓展，開闊學生視野，豐富學生的數學意識，增強數學文化的感染力和滲透力，為提升學生的學科核心素養做應有的努力.

1.人民教育出版社等.普通高中課程標準實驗教科書（A版）：數學5（必修）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

2.陳敏，吳寶瑩.數學核心素養的培養——從教學過程的維度［J］.教育研究與評論.中學教育教學，2015（4）.

3.孫泰.數列好玩［J］.中學數學教學參考（上旬），2015（4）.

4.連春興.一個可被中學生掌握的插值公式［J］.數學通報，1990（3）.

5.梅磊.題題充滿數學味十年辛苦不尋常——十年高考數學湖北卷“亮點”題賞析［J］.中學數學（上），2014（1）.

*本文系重慶市教育科學“十二五”規劃2015年度基礎教育課程改革專項重點課題“人教版初高中數學課標教材中旁白的功能價值與教學應用研究”（課題批準號：2015-JC-041，課題負責人：黃益全）研究成果.