小議多角度思考平面向量綜合性問題

小議多角度思考平面向量綜合性問題

☉江蘇省宜興市和橋高級中學 沈琴

高三數學二輪復習怎么演繹才能落到實效？綜合問題紛繁復雜，如何解讀才能細致入微？難題困難重重，怎么分析才能合情合理？這些都成為一線教師復習教學的困惑.在二輪復習教學中，我們經常會遇到這樣的困惑：一方面是教學中講的時間越來越短，因為各種各樣的考試穿插其中，要把做的題目講完不是易事；另一方面，很多講過做過復習過的內容學生卻越做越差.筆者認為造成這種情況的其中一個原因，是對知識點的總結和梳理不到位，無法合理通過有效的、典型的問題承載所要考查的知識核心.

我們知道，二輪復習主要是對知識點橫向和縱向的鏈接，構建完整的數學知識體系，講題目不在多，而在于精，應注重數學思想方法的滲透，在教學上注重闡述解題的思路及方法的運用.以知識靈活運用較強的向量章節為例，我們不難發現，向量的基本知識并不多，但是其知識的理解并不容易，比如，學生對于向量數量積的投影值的理解僅限于正數，負數和零則無法理解；平面向量基本定理中基底是什么？為什么要這么定義基底？正交向量與一般自由向量之間的關系是什么？向量數量積與向量和、差之間的本質關系？等等.筆者發現，學生對于這些反映向量本質的深層次的知識知之甚少.從向量問題解決的思考角度出發，代數化和圖形化是向量問題最基本的兩個解決路徑，實際教學中我們不難發現學生對向量綜合性問題往往是一片茫然.試想，連基本思想、導向都沒能考慮到位，如何解決這些向量綜合性問題呢？

一、知識的多角度

題目如何解，羅增儒教授把解題總結為“條件預示可知并啟發解題手段，結論預告需知并誘導解題方向”.解題就是“找關系”——找出已知未知的聯系，不斷縮小以至消除二者之間的差距，從而達到解題目的.通過一題多解、滲透了函數與方程思想，參數方程思想，化歸與轉化的思想，使學生學會思考、掌握方法，有利于培養學生思維的廣闊性與深刻性.

通過直觀感知—觀察—操作確認的認識方法理解并掌握用余弦定理解決問題，掌握函數與方程思想，尋找條件中的變量，設出變量.培養學生觀察、探究、發現的能力，在題意中找到兩個變量之間的關系，構造函數.讓學生在觀察、探究、發現中學習，理解向量作為一種工具引入高中數學的價值，在解題中體現向量的高效簡潔，體驗學習的樂趣，增強自信心，樹立積極的學習態度，提高學習的自我效能感.

問題1如圖1，在△PAB中，C，D是AB上兩點，且AC= BD，∠CPD=90°，且PA2+PB2= 10，求2AB+CD的最大值.

圖1

分析：學生在經過一輪知識的系統復習后，對知識點都有了解，但是構建整個知識體系的能力還比較弱，不能做到對于相應知識的相對熟練的掌握，就無法做到信手拈來的最佳狀態.本題筆者認為命題非常不錯，題干短小精悍，題意明確，入口非常廣，考查知識點明確，考查數學思想眾多，但是運算量并不大，不煩瑣，完全起到了考查學生能力的作用.重點是兩個變量的引入與理解，難點是利用減元思想構建一元二次方程，創設平面向量中的情境，構造兩個向量等式，在解題中利用參數思想等.引導學生尋找2AC與BD之間存在的變量關系，將所求的長度問題轉化為兩元變量最值問題.

思路1：設AC=BD=x，CD=y，則所求2AB+CD變成t=4x+3y，在△CPD中，設∠PCD=α，則∠CDP=-α.

在△CPA中，根據余弦定理有：

PA2=x2+PC2-2xPC×cos∠ACP，①

PA2=x2+PC2-2xPD×cos∠BDP，②

將上述①②轉化為：PA2=x2+PC2+2xPC×cosα，③

將③④兩式平方相加可得2x2+PC2+PD2+2xPC×cosα+

所以可以得到2x2+y2+2xy=10.（*）

又設t=4x+3y，將其與（*）式聯立，消去其中一個變量，不妨消去y，得到10x2-2tx+t2-10=0，Δ≥0，得t≤10.

思路2：作CD中點O，則由△CPD是直角三角形，所以|PO|=，利用平面向量知識構造⑦將上述⑥⑦兩式平方相加后可得2x2+y2+ 2xy=10，（*）本思路中將不再運用方程求解，根據參數方程思想，將（*）式化為（x+y）2+x2=10，令x+y=cosθ，x=sinθ，則y=cosθ-sinθ，x=sinθ，所以t= 3cosθ+sinθ，由“合一公式”變形得到t=10sin（θ+φ），同樣可得t≤10.

思路3：對學有余力的同學，可以介紹平行四邊形對角線平方和性質，利用將三角形補全為平行四邊形，進而利用該性質得到定值，結合柯西不等式求解.這種思路是問題本質的體現，是一種巧算，顯然對于多數學生而言并不適用，但是點撥問題的本質，是為了引導學生思考更為深層次的數學知識.

說明：本題是填空中的壓軸問題.也是結合平面幾何知識的向量問題，而我們高中數學教學中，針對平面幾何的知識點主要是正余弦定理或者平面向量，這兩個知識點在整個復習中極易被忽視，事實上，我們仔細研讀近年的《考試說明》和《考試大綱》，可以發現高考數學的考試要求，在“函數的奇偶性”、“函數的零點”、“平面向量的基本定理”等方面要求有所提高.平面向量的問題是最近幾年必考內容，它是求角、距離等的重要工具，越來越受到重視.平面向量可以單獨成題考查，也可以結合三角函數、正余弦問題來解決.要讓學生掌握和熟練運用某個知識，教師就要有意識地給學生提供該知識應用的不同環境，學生只有在不同環境中，形成了自覺運用該知識的“思維定式”時，才可以說是真正掌握了知識.本題在解決過程中，創設了兩種完全不同的情境，分別利用余弦定理和平面向量來解決問題，通過不同解法的比較，平面向量的工具性更加明顯地突顯出來，讓學生在解題中自我比較，自我發現，才能更加深刻地去了解向量.平面向量之所以能在高中數學內容中占有一席之地，是因為其具有“幾何形式”和“代數形式”的雙重身份，既然教材中引入向量法，那我們就要將向量的特點充分發揮出來，而不是“穿新鞋走老路”.

二、思想的多角度

解決向量綜合性問題，我們還可以從思想的角度架構.從思想角度來說，向量有兩個重要的導向，其一是代數化，其二是圖形化.教師可以思考，從培養學生數學素養的角度來說，哪種導向更為重要呢？顯然對平面向量來說，圖形化的導向更重要一些，其往往具備了揭示向量問題本質的特點，也體現了數形結合思想；隨著學習的深入，代數化的特性才會在更高維度的向量問題中揭示出來，比如n維度的向量問題，只能通過代數的視角進行解決.舉一個多角度復習的問題：

問題2設e1，e2為單位向量，非零向量b=xe1+ye2，x， y∈R，若e1，e2的夾角為，則的最大值等于________.

分析：問題以平面向量基本定理為載體，將向量夾角、模長運算、單位向量等相關知識綜合.該題考查了平面向量的基本概念和綜合運用，涵蓋了單位向量、平面向量的基本定理、夾角、向量的模等體現向量特點的概念和定理.最值問題求解，體現了靜中有動，題目簡約而不簡單.

圖形化思路：不妨設x≠0，由b=xe1+ye2，x，y∈R

圖2

說明：利用圖形化，掌握圖形變化的本質，結合數形結合，直觀而簡潔.

說明：筆者問過不少學生，學生都認為本題代數化手段遠遠優于圖形化的思路，但是運算較為煩瑣，而圖形手段較為顯然地揭示了何為模長最小的意義：垂線段最短！教學中，對于綜合性問題復習，更要抓住問題所反映的知識本質.筆者以為從中學三維以下的問題而言，圖形本質的揭示顯得更為直觀一些，也是我們教學更需要提倡的.

總之，平面向量綜合性問題既需要從知識角度去思考，也需要從思想導向上去認識，將這些知識結合起來、思想串聯起來，對于向量教學就有總的導向作用，在學習過程中也會產生較為明確的方向，更有利于我們的教與學.

1.宋衛東.從生“動”到生動，詮釋思維品質的提升［J］.中學數學月刊，2013，5.

2.方厚石.向量教學詮釋思維品質［J］.數學通訊，2014，1.

3.鮑建生等.向量教學研究［J］.數學教學，2013，1.