關注題型，積累方法
——以“平面向量問題”高考復習為例

☉江蘇省無錫市大橋實驗中學 吳燕

關注題型，積累方法
——以“平面向量問題”高考復習為例

☉江蘇省無錫市青山高級中學 俞飛

☉江蘇省無錫市大橋實驗中學 吳燕

高三直面高考，高考復習可謂臨門一腳，必須拿捏到位，通過復習幫助學生熟悉高考中熱點問題的常見題型及其解決方法.本文以“平面向量問題”的高考復習為例，就該話題進行分析.

一、關注高考熱點

什么是熱點問題？高中數學涉及的知識點很多，但是有些知識內容在各地高考卷和模擬卷中經常出現，則這一類問題屬于高考熱點問題.例如，近年來，高中數學的平面向量問題在高考卷以及各地高考模擬試卷中經常涉及，且其解題方法多種多樣.平面向量兼具代數和幾何特性，是溝通代數與幾何的一種工具，是數學中數形結合思想的典型體現.筆者作為高中數學教學中的一線教師，對近年來各地區平面向量的高考題以及各地模擬題的類型進行了一些歸納整理.

二、注重題型整理與方法歸納

我們的整理要有明確的知識目標指向，在此基礎上配以典型例題及其解析，通過對典例的分析總結出解決這一題型的數學思想方法.例如，“平面向量問題”進行了如下的題型劃分.

1.運用平面向量數量積的幾何意義

知識目標指向：向量數量積的幾何意義是：a的模與b在a方向上的投影之積或者b的模與a在b方向上的投影之積.向量數量積實現了把不共線的兩個向量積轉化為共線的兩個向量之積.《普通高中數學課程標準（實驗）》中對該知識的要求是通過物理中“功”的實例，理解平面向量數量積的含義及其物理意義；體會向量數量積與向量投影的關系等.向量數量積既具有“形”的特征，又具有“數”的特征，是溝通三角、函數、空間、不等式等知識的橋梁.

例1設△ABC，P0是邊AB上的一定點，滿足P0B=AB，且對于AB上的任一點P，恒有則（）.

A.∠ABC=90°B.∠BAC=90°

C.AB=ACC.AC=BC

分析：這是2013年浙江省高考理科數學第7題.題目雖條件簡單，卻涉及動態變化的點，是一道具有平面幾何背景關于平面向量數量積運算、不等式以及變量最值的綜合問題.讓眾多學生不知所措，無法把握題目的要領所在.不少老師學生都采用坐標法，或基底法解決.下面，筆者用向量的幾何意義解決.

圖1

由數量積的幾何意義可知，

只需Δ=（m+1）2-4m=（m-1）2≤0即可，

即H是AB的中點.

所以△ABC是等腰三角形，AC=BC.

反思：從向量的幾何意義著手、運用數形結合的思想方法，使得抽象的數學運算形式化、簡單化、直觀化，思路清晰明朗，有助于學生掌握和理解.但是鮮少會有學生從幾何意義出發去解決有關向量數量積的相關問題.而事實上，掌握好向量數量積的幾何意義對于理解向量數量積，解決其相關問題都有很大的幫助.

2.運用坐標法，將向量問題轉化為函數問題

知識目標指向：在教學中經常提及的平面向量的解決方法是建系引入坐標，將向量的運算轉化為代數運算，這樣就可以將“形”與“數”緊密結合.建立直角坐標系是平面向量代數化的最直接的方法.

例2已知a，b是單位向量，a·b=0.若向量c滿足|ca-b|=1，則|c|的取值范圍是__________.

分析：由于a，b是相互垂直的單位向量，故可建立直角坐標系，運用向量的坐標運算來求解.

解析：由a，b是單位向量，a· b=0，故可設a=（1，0），b=（0，1），則a+b=（1，1），令=c=（x，y），得c-a-b=（x-1，y-1）.又|c-a-b|= 1，所以有（x-1）2+（y-1）2=1，即點C在以（1，1）為圓心，以1為半徑的圓上，如圖2.

圖2

3.運用平面向量幾何特性解決問題

知識目標指向：很多向量問題無法建立坐標系，基向量法是個很好的選擇，使用已知長度或者夾角的兩個向量作為基底表示出需要的其他向量.下面舉例說明.

例3在△ABC中，D是BC的中點，E，F是AD上的兩個三等分點，的值是__________.

解法1（基底法）：因為D為BC中點，E，F是AD上的兩個三等分點，所以

同理

解法2（基底法）：因為D為BC中點，E，F是AD上的兩個三等分點，所以E為AF的中點，則

點評：解法2的本質仍然基底思想，通過向量的中點

基底法是平面向量的本質，是解決向量問題的通法，是培養思維能力的有效途徑.

又D為BC中點，E，F是AD上的兩個三等分點，

點評：極化恒等式是向量數量積的重要工具，應用十分廣泛.本解法通過極化恒等式直接建立方程，簡捷、快速，思維量小，大大減少了運算量.

由平行四邊形的性質及余弦定理知，

（2AD）2+BC2=2（AB2+AC2）=2（BC2+2AB·ACcosA）= 2（BC2+8），即4AD2=BC2+16.（1）

又（2ED）2+BC2=2（EB2+EC2）=2（BC2+2EB·ECcosE），

點評：平面向量中的很多問題都有著其特定的幾何背景，優美的幾何意義，充分利用向量的幾何模型，是解決向量問題的常用手段和重要策略.本解法正是通過利用平行四邊形的性質、余弦定理建立方程，從而順利解決問題.幾何法解向量問題指向明確，可操作性強.

圖3

4.通過構造圖形解決

知識目標指向：向量加法、減法等運算特有的幾何意義使得數形結合這一重要的數學思想在在解題中發揮著重要的作用.

分析：由本題條件可以考慮建系，用坐標運算解題，但變量較多，計算量相對較大.而按照題目要求直接構造圖形，化繁為簡.

三、結語

近幾年的高考中，平面向量的題型越來越靈活、多變.應引導學生根據題中不同的條件選擇相應的解題方法.本文僅僅例舉了幾種解決常見方法，意在教學中加強學生對解題工具的選擇能力，加深學生對數學本質的理解.當然，除了“平面向量”這個考點，對于高中數學其他考點也是如此，我們要通過靠考前的復習幫助學生實現知識與方法的羅列，幫助學生提分增效.