高考數學試題對高三復習的啟示*

高考數學試題對高三復習的啟示*

☉廈門大學附屬實驗中學 林運來

一、問題提出

在大力倡導創新教育的形勢下，數學教育正經歷從“雙基”到“三維目標”直至今日“核心素養”的轉型和跨越.相應地，高考試題命題范式已經經歷了政治立意、知識立意、能力立意三個階段，以后的命題趨勢必轉化為素養立意［1］.鐘啟泉先生指出，新的學力概念——“核心素養”意味著課堂的根本轉型，從“知識傳遞”到“知識建構”的轉型.教學中，教師需要思考如何在數學思維能力和創新意識方面“補鈣”.在高考備考復習中，如何才能最大限度地提高課堂教學的有效性，讓學生掌握數學知識的本質，領悟數學思想方法的精髓，提升數學思維品質，提高數學素養，確是一個值得探索與急需解決的問題.

相同的知識內容，相同的能力要求，在不同年份的高考中從不同的角度和形式進行考查，這就需要學生有更開闊的視野和思維，也為高三數學復習角度的多元化、立體化提出了新的要求.當我們仔細去研讀新課程高考下的試題，總會有不一樣的發現，總會給我們的教學帶來思考.如果只是去關注這些題目的解法考查的知識，將會使我們錯過它們帶給我們的精彩和對教學的啟示.

二、高三復習“新”角度

1.從“聯系”的角度拓展教學

例1（2016年高考全國卷Ⅰ文科第5題）直線l經過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為（）.

解法2：如圖1，|OB|為橢圓中心到l的距離，則|OA|·|OF|=|AF|·|OB|，即bc=a·，

圖1

解法3：如圖1，|OB|為橢圓中心到l的距離，即|OB|=所以∠OAB=30°，在Rt△OAF中，|OF|=|AF|，即c=a，所以e=.故選B.

方法1從代數角度尋求a與c的關系，方法2利用等面積法得出a與c的關系，方法3根據“已知條件集中于橢圓的特征△OAF”（三邊長分別為a，b，c）這一特點，轉化為求∠OAF的大小，從而快速解決問題.

圖2

解析：不少學生看到直線與橢圓相交就聯立方程組，陷入符號運算的泥潭，不能自拔，無功而返.事實上，若注意到直線的斜率為，可得直線的傾斜角等于60°，畫出橢圓的“焦點△MF1F2”，如圖2，則橢圓的離心率這一解法刻畫出問題最本質的幾何關系，是對橢圓定義的靈活使用.可見，概念就是本質！命題人對學生“觀察發現，多思少算”的思維品質的考查是刻意為之.

中學數學知識的聯系比較緊密，數學知識的考查也注重相關知識之間的綜合考查，這就要求教師在高三復習教學中對相關聯的知識進行拓展，有效引導學生構建知識網絡.以上兩題涉及“橢圓離心率”知識的綜合，教學時可以圍繞求橢圓離心率的方法引導學生構建如下的思維導圖：

2.從“變式”的角度深化教學

例3（2008年高考江蘇卷第13題）滿足條件AB=2，AC=BC的三角形ABC的面積的最大值為______.

解析：本題的常規解法是利用解三角形的知識，建立△ABC的面積關于邊長BC的函數，進而轉化為函數的最值問題.若考慮到此題的幾何背景——阿波羅尼奧斯圓，利用數形結合思想，充分發揮“形的直觀”（AB是定長，問題轉化為求動點C到直線AB距離的最大值）與“數的精確”（通過建立直角坐標系，求出動點C的軌跡方程）兩方面的優勢，問題便能快速獲解.這樣解題把握了題目的本質，也揭示了題目的真面目.

本題還有很大的變式空間.如針對動點的軌跡類型，教師可以通過搭建螺旋式上升的變式題這個“腳手架”，設計一串變式，“一網打盡”式地進行展示、解決題型.該形式能大大節約講解時間，并提高效率，新課和復習課都適用，也適用于試卷講評課中作為思考題留給學生［2］.比如［3］：

變題1滿足條件AB=2，周長為8的△ABC面積的最大值為______（.答案：2）

變題4在△ABC中，若a=2，b-c=1，△ABC的面積為

變題5（2013年高考江蘇卷第17題）在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），直線l：y=2x-4.設圓C的半徑為1，圓心在l上，若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍

這樣就有助于揭示此題內隱的知識鏈，看清題目的來龍去脈，從而把握問題的本質.

3.從“創新”的角度思考問題

在國家倡導“大眾創業、萬眾創新”的背景下，“創新”無疑將成為教育領域關注的熱點.數學學科對培養學生的創新能力具有不可推卸的責任.教育最終的目的是培養人才，特別是培養和造就高素質的創造性的人才.教育系統應當為推動大眾創業、萬眾創新提供人才支撐.在考試中凸顯對創新能力的要求，不僅符合社會對人才選拔的核心要求，也是數學時代性和實踐性的應有之意.一般來說，高考中往往通過設置綜合性、開放性、探索性試題，考查學生的創新意識和探究精神［4］.

例4（2015年高考全國卷Ⅰ理科第16題）在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是______.

解析：此題注重考查學生的思維能力和創新意識，計算不可或缺，但是更注重對學生的數學思想方法的考查.題目中的動點D具有無限性的特征，若立足于有限與無限思想，可以考慮運用極限化策略進行解答.當D→A時，∠B=∠C=75°，∠A=30°，由正弦定理易求得AB=；當D→C時，∠A=∠B=75°，∠C=30°，由正弦定理易求得AB=，從而AB的取值范圍是

高考中，對于較難的問題，經常需要“感性分析”和“直覺判斷”，常見的題型是小題和探究性的解答題.上述分析過程將解三角形的知識和極限思想很好地結合在一起，通過對問題的特殊認識形成特殊的解法（極限法），體現出“考數學思想方法而不是考知識記憶、考數學素養而不是考模式套路”的特點.數學背景的新穎才可以真實地檢測應用數學知識、思想解決問題的水平，體現真正的數學素養的差異［1］.

解析：一些考生看到判斷函數圖像問題，立即想到利用導數知識進行解答，陷入“大運動量”的計算困境.若注意到函數的定義域為｛x|x≠0｝，當x→0+時→+∞，可排除B、C、D三項，應選A.利用極限思想解答既快捷又準確，幾乎不用任何計算就能得出正確選項，顯示出命題者對數學本質的執著追求.

變題2（2013年日本早稻田大學入學試題）給定拋物線C：y2=4px（p＞0），焦點F（p，0）.設過焦點F且相互垂直的兩條直線l1，l2，曲線C與l1交于點P1，P2，與l2交于點Q1，Q2.

（1）設直線l1的方程為x=ay+p，點P1，P2相應坐標為（x1，y1），（x2，y2），試用a，p表示y1+y2，y1y2；

（2）證明：無論如何取直線l1，l2，都是一個常數.

在解答第（2）問時可以先“遙望”一下問題的結果.當直線l1垂直于x軸時，直線l2就是x軸，此時線段P1P2是拋物線的通徑，Q1，Q2中的一個點為坐標原點，另一個點為“無窮遠點”，即|P1P2|=4p，|Q1Q2|→∞，則，因此需要證明無論如何取直線l，l12都是常數，這就為解題指明了方向.一個有科學素養的人，在研究一個問題的時候，第一件事就是遙望一下這個問題的結果！問題研究的過程，從來都是“大膽猜想、小心證明”的過程［5］.

4.從“素養”的角度回歸本真

即將頒布的“課程標準”中明確了中學數學的6個核心素養：數學抽象，邏輯推理，數學建模，數學運算，直觀想象，數據分析.根據現行的課程標準下的高考，也可以看出以上核心素養的影子［1］.哈爾莫斯認為，具備一定的數學修養比具備一定的量的數學知識更重要.教師在強調解題的同時更應該注重課堂教學的思想性，注重學生數學素養的提高［6］.

在高三復習教學中，把簡約出的時間和空間還給學生，教師要善于變“習題”為“問題”，變“問題”為“課題”，變“講授”為“悟道”，讓學生的學習更主動、更自由，學生通過自己的思考、探究、揣摩，悟出數學學習之道，提高學科素養.經驗告訴我們，有時教師講得越多，學生越不明白，而讓學生自悟自得，效果會更好，這需要教師通過非常巧妙、到位的設計和智慧的引導，回歸數學教育的本真——為發展學生的核心素養而教.

A.（-2，0）B.（-3，0）C.（-4，0）D.（-5，0）

這是我校高三月考選擇題最后一題，講解后，筆者進一步提出一些問題引導學生思考.教學過程如下：

師：這道題是在“左特征點”這一“新定義”包裝下的定點問題.近年來，定值定點問題是高考和競賽的一個熱點，其解法充分體現了解析幾何的基本思想：運用坐標法逐步將題目條件轉化為數學關系式，然后綜合運用代數、幾何知識化簡求值.解答此類問題要大膽設參，運算推理到最后參數必消，定點、定值自然顯露.觀察發現此題的結論非常優美，這難道是巧合嗎？是否還有更一般的規律有待我們去發現？這些問題促使我們去思考、聯想.大家不妨研究一下，看有什么收獲？學生很快探究得出：

師（追問）：此時一個自然的想法是，若弦AB不是經過橢圓的左焦點F，而是經過x軸上的某個定點N（t，0），在x軸上是否存在定點M，使得MN平分∠AMB呢？

師：結論2給我們的一個“信息”就是“定點M的坐標與橢圓方程中的b2無關”，而在橢圓+=1（a＞b＞0）中，只需把b2換成（bi）（2其中i是虛數單位），就得到雙曲線C：-=1（a＞0，b＞0），于是可以大膽猜想：

學生進一步探究得到：

學生證明結論3后，筆者進一步追問：橢圓、雙曲線、拋物線都是圓錐曲線，對比橢圓、雙曲線，上述的結論對拋物線還成立嗎？

學生探究得到：

結論4過定點N（t，0）（t≠0）作拋物線C：y2=2px（p＞0）的一條與x軸不垂直的弦AB，則存在定點M（-t，0），使得MN平分∠AMB.

最后，筆者展示下面的高考題：

例6（2015年高考全國卷Ⅰ理科第20題）在直角坐標系xOy中，曲線C：y=與直線l：y=kx+a（a＞0）交于M，N兩點.

（1）當k=0，分別求C在點M和N處的切線方程；

（2）y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.

師：不難發現結論4與這道高考題的第（2）問“如出一轍”.例6難度不大，但內涵豐富.解答后，提出一些問題供大家課后探究.如：可以從結論入手，繼續向下追問；也可以反思題目的條件，尋求問題的本源；還可以進行更深層次、更多元的思考：證明兩個角相等有哪些方法？題目的結論反過來成立嗎？題目的背景換成橢圓，或雙曲線，結論還成立嗎？……

這些有意義有價值的開放性問題，不僅有助于創造自主探究與發現的機會，培養學生終身受益的學習習慣和思維方法，也為教學提供了豐富的素材［4］.上述教學中，教師本著“夯實基礎、激發興趣、著眼高考、適當提高”的原則，利用問題引導學生在簡單整齊的數學美的驅動下，通過對問題的結論產生聯想，進而提出猜想，通過證明猜想，得出新的結論，從而把握問題的本質.這正是數學研究的一種基本套路.

數學大師華羅庚說過：“獨立思考能力是科學研究和創造發明的一項必備才能.”數學活動經驗的積累是提高學生數學素養的重要標志，在積累數學活動經驗的過程中，教師要根據學生的“最近發展區”創設問題情境，讓每一個學生領到合適的任務，在問題驅動下進行學習，“跳一跳，夠得著”，實實在在地做一些事情，使學生回到真實環境中去積極體驗和感受新知的構建過程.

三、結束語

羅增儒教授指出：我們可以通過有限的典型考題的學習，去理解那種解無限道題的數學機智.對學生來說，學會考試也是核心素養的一部分，但品格和學習能力的培養才是終極要求，知識只是抓手.教師課堂上的任務則是透過書本知識，引導學生發現隱藏在知識背后的深刻思想，這才是真正的教育［6］.

正因為如此，我們才更要培養學生適應未來的能力而非“填充”當前的知識.對數學學習而言，掌握學習的策略與方法，以數學思想為課程，擁有學以致用的方法，將知識與生活實際相聯系，才能充分體現“能獨立思考，體會數學的基本思想和思維方式”的目標要求.高三數學復習教學要在注重常規復習的基礎上，根據考查的要求及方向探索不同的教學角度，促進學生對知識的理解和掌握，培養學生從不同的角度思考和解決問題的能力，從而提升數學核心素養.

1.朱偉義，曹鳳山.忽如一夜春風來素養之花遍地開——從高中數學核心素養的視角看2016年浙江高考數學試題［J］.中學數學（上），2016（9）.

2.俞新龍.數學教師要盡快學會用變式教學［J］.數學通訊（下），2015（10）.

3.劉鴻春.軌跡問題的命題新趨向［J］.數學通訊（下），2016（7）.

4.林運來，杜錕.注重核心素養，引領數學改革——2013～2016年高考數學全國課標卷試題綜述［J］.中學數學教學參考（上），2016（10）.

5.王雅琪.高觀點下的北京高考解析幾何試題［J］.數學通報，2016（11）.

6.曹廣福.數學課程標準、教材與課堂教學淺議［J］.課程·教材·教法，2016（4）.

2015年度漳州市基礎教育課程教學研究重點課題——《全國高考統一命題后高中數學教學的調整和優化對策研究》（ZPKTZ15008）研究成果.